代数的量子場理論

代数的量子場理論（AQFT ）は、C*-代数理論の局所量子物理学への応用である。ルドルフ・ハーグとダニエル・カストラー（1964）によって導入されたため、量子場理論のハーグ-カストラー公理的枠組みとも呼ばれる。公理は、ミンコフスキー空間のすべての開集合に与えられた代数と、それらの間の写像  によって述べられる。

をミンコフスキー空間の開有界部分集合全体の集合とする。代数的量子場理論は、次の公理を満たす共通ヒルベルト空間上のフォン・ノイマン代数の集合によって定義される: ^[1]${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle \{{\mathcal {A}}(O)\}_{O\in {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}(O)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

• 等位性:を意味します。${\displaystyle O_{1}\subset O_{2}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}(O_{1})\subset {\mathcal {A}}(O_{2})}$
• 因果関係:が から空間的に分離されている場合、 となります。${\displaystyle O_{1}}$${\displaystyle O_{2}}$${\displaystyle [{\mathcal {A}}(O_{1}),{\mathcal {A}}(O_{2})]=0}$
• ポアンカレ共変性:ポアンカレ群の強連続ユニタリ表現が存在し、${\displaystyle U({\mathcal {P}})}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}(gO)=U(g){\mathcal {A}}(O)U(g)^{*},\,\,g\in {\mathcal {P} }.}$
• スペクトル条件:エネルギー運動量演算子(つまり、時空変換の生成元)の結合スペクトルは、閉じた前方光円錐に含まれます。${\displaystyle \mathrm {Sp} (P)}$${\displaystyle P}$
• 真空ベクトルの存在: 巡回的かつポアンカレ不変なベクトルが存在する。${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {H}}}$

ネット代数は局所代数と呼ばれ、C* 代数は準局所代数と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}(O)}$${\displaystyle {\mathcal {A}}:={\overline {\bigcup _{O\in {\mathcal {O}}}{\mathcal {A}}(O)}}}$

Mink を、包含写像を射とするミンコフスキー空間 M の開部分集合のカテゴリとします。Minkから単位C* 代数のカテゴリであるuC*algへの共変関手が与えられており、 Minkのすべての射はuC*algの単射に写像されます(等式)。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

ポアンカレ群はミンクに連続的に作用する。この作用の引き戻しが存在し、これはのノルム位相において連続である（ポアンカレ共変性）。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}(M)}$

ミンコフスキー空間は因果構造を持つ。開集合 Vが開集合Uの因果補集合に含まれる場合、写像の 像は

${\displaystyle {\mathcal {A}}(i_{U,U\cup V})}$

そして

${\displaystyle {\mathcal {A}}(i_{V,U\cup V})}$

可換性（空間的可換性）。 が開集合Uの因果完備化である場合、 は同型性（原始的因果性）である。 ${\displaystyle {\bar {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}(i_{U,{\bar {U}}})}$

C*-代数に関する状態は、単位ノルム を持つ 上の正の線形関数です。上の状態がある場合、「部分トレース」を実行して、ネット単射を介して各開集合に関連付けられた状態を取得できます。 開集合上の状態は、プレシェーク構造を形成します。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}(M)}$${\displaystyle {\mathcal {A}}(U)}$

GNS 構成によれば、各状態に対して、のヒルベルト空間 表現を関連付けることができます。純粋状態は既約表現に対応し、混合状態は既約表現に対応します。各既約表現 (同値を除く) は、超選択セクターと呼ばれます。真空と呼ばれる純粋状態があり、それに関連付けられたヒルベルト空間が、ネットのポアンカレ共変性と互換性のあるポアンカレ群のユニタリ表現であると仮定します。そのため、ポアンカレ代数を見ると、エネルギー運動量に関するスペクトル(時空変換に対応) は、正の光円錐上および 内にあります。これが真空セクターです。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}(M).}$

最近では、このアプローチは、曲がった時空における量子場理論の代数バージョンを含めるようにさらに実装されています。実際、局所量子物理学の観点は、曲がった背景で展開される量子場の理論に繰り込み手順を一般化するのに特に適しています。ブラックホールが存在する場合の QFT に関するいくつかの厳密な結果が得られています。^[要出典]

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• 局所量子物理学クロスロード2.0 – 局所量子物理学に取り組む科学者のネットワーク
• 論文 – 代数的場理論に関するプレプリントのデータベース
• 代数的量子場理論 – ハンブルク大学の AQFT リソース