アノソフ微分同相写像

数学、特に力学系と幾何学的位相幾何学の分野において、多様体M上のアノソフ写像は、 MからM自身への写像の一種であり、局所的な「拡大」と「縮小」の方向がかなり明確に示されています。アノソフ系は公理 A系 の特殊なケースです。

アノソフ微分同相写像はドミトリ・ビクトロヴィッチ・アノソフによって導入され、彼はその振る舞いが適切な意味で一般性があることを証明した（そもそも存在する場合）。^[1]

密接に関連する 3 つの定義を区別する必要があります。

• M上の微分可能写像 f が接束上に双曲的構造を持つ場合、それはアノソフ写像と呼ばれる。例としては、ベルヌーイ写像やアーノルドの猫写像などがある。
• 写像が微分同相写像である場合、それはアノソフ微分同相写像と呼ばれます。
• 多様体上の流れが接線バンドルを 3 つの不変サブバンドルに分割し、そのうち 1 つのサブバンドルは指数的に収縮し、もう 1 つは指数的に拡大し、3 つ目は拡大も収縮もしない 1 次元サブバンドル (流れの方向によって張られる) である場合、その流れはAnosov フローと呼ばれます。

アノソフ微分同相写像の古典的な例は、アーノルドの猫写像です。

アノソフは、アノソフ微分同相写像が構造的に安定しており、 C ¹トポロジーを持つマッピング (フロー) の開いたサブセットを形成することを証明しました。

すべての多様体がアノソフ微分同相写像を許容するわけではありません。たとえば、球面上にはそのような微分同相写像は存在しません。アノソフ微分同相写像を許容するコンパクト多様体の最も単純な例はトーラスです。トーラスは、モジュラス 1 の固有値を持たない同型写像である、いわゆる線型アノソフ微分同相写像を許容します。トーラス上の他のアノソフ微分同相写像は、この種のアノソフ微分同相写像と位相 的に共役であることが証明されています。

アノソフ微分同相写像を許容する多様体を分類する問題は非常に困難であることが判明し、2023年現在でも^{[アップデート]}次元が3を超える場合の答えは存在しません。唯一知られている例はインフラニル多様体であり、それが唯一のものであると推測されています。

推移性を得るための十分な条件は、すべての点が非移動性であることである。これは、余次元 1 のアノソフ微分同相写像（つまり、収縮または膨張サブバンドルが 1 次元であるもの）^[2]と、3 より大きい次元の多様体上の余次元 1 のアノソフフロー^[3]およびマザースペクトルが 2 つの十分に薄い環状体に含まれるアノソフフローにも当てはまる。^[4]アノソフ微分同相写像が推移的であるかどうかはわかっていない（インフラニル多様体上を除く）が、アノソフフローは位相的に推移的である必要はない。^[5]${\displaystyle \Omega (f)=M}$

また、体積保存アノソフ微分同相写像がすべてエルゴード的であるかどうかは不明です。アノソフは仮定の下でそれを証明しました。これは体積保存アノソフ微分同相写像 にも当てはまります。${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle C^{1+\alpha}}$

推移的アノソフ微分同相写像に対して、その流域が完全な体積であるような、 支持される唯一のSRB測度（頭文字はSinai、Ruelle、Bowenの略）が存在する。${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle f\colon M\to M}$${\displaystyle \mu_{f}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle B(\mu _{f})}$

${\displaystyle B(\mu _{f})=\left\{x\in M:{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\delta _{f^{k}x}\to \mu _{f}\right\}.}$

例として、このセクションでは、負の曲率のリーマン面の接線バンドル上のアノソフフローの場合を展開します。このフローは、双曲幾何学のポアンカレ半平面モデルの接線バンドル上の流れの観点から理解できます。負の曲率のリーマン面は、フックスモデルとして、つまり、上半平面とフックス群の商として定義できます。以下では、H を上半平面、Γ をフックス群、M  =  H /Γ を、群 Γ の作用による「M」の商としての負の曲率のリーマン面とし、を多様体M上の単位長ベクトルの接線バンドル、をH上の単位長ベクトルの接線バンドルとします。面上の単位長ベクトルのバンドルは、複素線バンドルの主バンドルであることに注意してください。 ${\displaystyle T^{1}M}$${\displaystyle T^{1}H}$

まず、 がリー群PSL(2, R )と同型であることに注目する。この群は上半平面の向き保存等長写像群である。 PSL(2, R ) のリー代数は sl(2, R )であり、行列で表される。 ${\displaystyle T^{1}H}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}1/2&0\\0&-1/2\\\end{pmatrix}}\qquad X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\\end{pmatrix}}\qquad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}}$

代数を持つ

${\displaystyle [J,X]=X\qquad [J,Y]=-Y\qquad [X,Y]=2J}$

指数マップ

${\displaystyle g_{t}=\exp(tJ)={\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{pmatrix}}\qquad h_{t}^{*}=\exp(tX)={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\\\end{pmatrix}}\qquad h_{t}=\exp(tY)={\begin{pmatrix}1&0\\t&1\\\end{pmatrix}}}$

は、の多様体上の右不変フローを定義し、 についても同様です。 と を定義すると、これらのフローは、 TPとTQにあるベクトルを持つPとQ上のベクトル場を定義します。 これらは、リー群の多様体上の標準的な通常のリーベクトル場であり、上記の表現は、リーベクトル場の標準的な説明です。 ${\displaystyle T^{1}H=\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle T^{1}M}$${\displaystyle P=T^{1}H}$${\displaystyle Q=T^{1}M}$

アノソフフローとの関連は、PとQ上の測地線フローが実現されることから来ています。リーベクトル場は（定義により）群要素の作用に対して不変であるため、これらの場は測地線フローの特定の要素に対して不変であることがわかります。言い換えると、空間TPとTQ は、それぞれが測地線フローに対して不変である3 つの 1 次元空間、つまりサブバンドルに分割されます。最後のステップは、1 つのサブバンドルのベクトル場が拡大し（指数的に拡大し）、別のサブバンドルのベクトル場は変化せず、3 つ目のサブバンドルのベクトル場は縮小する（指数的に縮小する）ことに気付くことです。 ${\displaystyle g_{t}}$${\displaystyle g_{t}}$

より正確には、接線束TQは直和として表される。

${\displaystyle TQ=E^{+}\oplus E^{0}\oplus E^{-}}$

あるいは、ある点において、直和 ${\displaystyle g\cdot e=q\in Q}$

${\displaystyle T_{q}Q=E_{q}^{+}\oplus E_{q}^{0}\oplus E_{q}^{-}}$

は、それぞれリー代数生成子Y、J、Xに対応し、群元gの左作用によって原点eから点qまで運ばれます。つまり、およびが成り立ちます。これらの空間はそれぞれ部分束であり、測地線フローの作用、つまり群元 の作用の下で保存されます（不変です） 。 ${\displaystyle E_{e}^{+}=Y,E_{e}^{0}=J}$${\displaystyle E_{e}^{-}=X}$${\displaystyle g=g_{t}}$

異なる点qにおけるベクトルの長さを比較するには、計量が必要です。における任意の内積は、P上の左不変リーマン計量に拡張され、したがってQ上のリーマン計量に拡張されます。 ベクトルの長さは、の作用により exp(t) として指数的に拡大します。 ベクトルの長さは、の作用により exp(-t) として指数的に縮小します。 におけるベクトルは変化しません。これは、群の要素がどのように交換するかを調べることで確認できます。測地線フローは不変です。 ${\displaystyle T_{q}Q}$${\displaystyle T_{e}P=sl(2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle v\in E_{q}^{+}}$${\displaystyle g_{t}}$${\displaystyle v\in E_{q}^{-}}$${\displaystyle g_{t}}$${\displaystyle E_{q}^{0}}$

${\displaystyle g_{s}g_{t}=g_{t}g_{s}=g_{s+t}}$

しかし、他の 2 つは縮小したり拡大したりします。

${\displaystyle g_{s}h_{t}^{*}=h_{t\exp(-s)}^{*}g_{s}}$

そして

${\displaystyle g_{s}h_{t}=h_{t}\exp(s)}g_{s}}$

ここで、 の接線ベクトルは、の設定で曲線のtに関する微分によって与えられることを思い出してください。 ${\displaystyle E_{q}^{+}}$ ${\displaystyle h_{t}}$${\displaystyle t=0}$

上半平面の点に作用する場合、上半平面上の点を通る測地線に対応する。この作用は、上半平面上のSL(2, R )の標準的なメビウス変換作用であり、 ${\displaystyle z=i}$${\displaystyle g_{t}}$${\displaystyle z=i}$

${\displaystyle g_{t}\cdot i={\begin{pmatrix}\exp(t/2)&0\\0&\exp(-t/2)\end{pmatrix}}\cdot i=i\exp(t)}$

一般的な測地線は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot i\exp(t)={\frac {ai\exp(t)+b}{ci\exp(t)+d}}}$

ここで、a、b、c、dはそれぞれ実数、 です。曲線はホロサイクルと呼ばれます。ホロサイクルは、上半平面上の ホロスフィアの法線ベクトルの動きに対応します。${\displaystyle ad-bc=1}$${\displaystyle h_{t}^{*}}$${\displaystyle h_{t}}$

• エルゴードフロー
• モース・スメール方式
• 擬似アノソフマップ

• 「Yシステム、Uシステム、Cシステム」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• Anthony Manning、「一定の負の曲率を持つ表面上の測地線およびホロサイクルフローのダイナミクス」 (1991 年)、 Tim Bedford、Michael Keane、Caroline シリーズ編『エルゴード理論、記号的ダイナミクス、双曲的空間』の第 3 章に掲載。オックスフォード大学出版局、オックスフォード (1991 年)。ISBN 0-19-853390 -X ( SL(2, R )上のアノソフフローの解説的な入門書です。) 
• この記事には、Creative Commons Attribution-Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされているPlanetMathの Anosov 微分同相写像からの資料が組み込まれています。
• 砂田俊一、「リーマン面上の磁気流」、KAIST数学ワークショップ論文集（1993）、93–108。