離散空間

位相幾何学において、離散空間は位相空間または類似の構造の特に単純な例であり、点が不連続な列を形成する、つまりある意味で互いに孤立している空間である。離散位相は、集合上に与えることができる最も細かい位相である。離散位相ではすべての部分集合が開集合であり、特に、すべての単集合は離散位相において開集合となる。

集合が与えられた${\displaystyle X}$:

• の離散トポロジー${\displaystyle X}$は、のすべての部分集合を にすることで定義されます。${\displaystyle X}$開いている^{[ 1 ]}（したがって閉じている）、${\displaystyle X}$は離散位相空間とは、離散位相を備えている空間のことである。
• の離散的な均一性${\displaystyle X}$は、対角線のすべてのスーパーセットによって定義されます。${\displaystyle \{(x,x):x\in X\}}$で${\displaystyle X\times X}$取り巻きであり、${\displaystyle X}$は離散的な均一性を備えている場合、それは離散的な均一空間となる。
• の離散的メトリック${\displaystyle \rho }$の上${\displaystyle X}$定義される$${\displaystyle \rho (x,y)={\begin{cases}0&{\text{if}}\ x=y,\\1&{\text{if}}\ x\neq y\end{cases}}}$$いかなる場合でも${\displaystyle x,y\in X.}$この場合${\displaystyle (X,\rho )}$と呼ばれる離散的な距離空間、または孤立点の空間。
• 1ある与えられた位相空間の離散部分空間${\displaystyle (Y,\tau )}$位相部分空間を指す${\displaystyle (Y,\tau )}$（${\displaystyle Y}$部分空間トポロジーとともに${\displaystyle (Y,\tau )}$（その上に誘導される）そのトポロジーは離散トポロジーと等しい。たとえば、${\displaystyle Y:=\mathbb {R} }$通常のユークリッド位相を持つ${\displaystyle S={\bigl \{}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots {\bigr \}}}$（部分空間トポロジーを備えた）は離散部分空間である${\displaystyle \mathbb {R} }$しかし${\displaystyle S\cup \{0\}}$そうではない。
• セット​${\displaystyle S}$距離空間において離散的である${\displaystyle (X,d),}$のために${\displaystyle S\subseteq X,}$すべての${\displaystyle x\in S,}$いくつか存在する${\displaystyle \delta >0}$（に応じて${\displaystyle x}$) のように${\displaystyle d(x,y)>\delta }$すべての人々のために${\displaystyle y\in S\setminus \{x\}}$;このような集合は孤立点から構成される。集合${\displaystyle S}$は距離空間において一様に離散的である${\displaystyle (X,d),}$のために${\displaystyle S\subseteq X,}$存在する場合${\displaystyle \varepsilon >0}$任意の２つの異なる${\displaystyle x,y\in S,d(x,y)>\varepsilon .}$

距離空間${\displaystyle (E,d)}$は、 が存在する場合に一様離散的であると言われる。梱包半径${\displaystyle r>0}$任意の${\displaystyle x,y\in E,}$どちらか一方${\displaystyle x=y}$または${\displaystyle d(x,y)>r.}$^{[ 2 ]} 距離空間の基礎となる位相は離散的であっても、距離が一様に離散的である必要はない。例えば、集合上の通常の距離は${\displaystyle \left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}.}$

離散距離空間における基礎となる均一性は離散均一性であり、離散均一空間における基礎となる位相は離散位相である。したがって、離散空間の異なる概念は互いに両立する。一方、非離散均一空間または距離空間の基礎となる位相は離散的である可能性がある。例えば、距離空間が挙げられる。${\displaystyle X=\{n^{-1}:n\in \mathbb {N} \}}$（実数直線から継承された計量で、以下で与えられる）${\displaystyle d(x,y)=\left|x-y\right|}$これは離散距離ではありません。また、この空間は完備ではなく、したがって一様空間としては離散的ではありません。しかしながら、位相空間としては離散的です。${\displaystyle X}$位相的に離散的であるが、一様離散的でも計量的にも離散的ではない。

さらに：

• 離散空間の位相次元は0に等しい。
• 位相空間が離散的であるのは、その単一集合が開集合である場合のみであり、これは集積点を含まない場合に限る。
• シングルトンは離散トポロジーの基礎を形成する。
• 均一な空間${\displaystyle X}$は、対角線が${\displaystyle \{(x,x):x\in X\}}$側近です。
• すべての離散位相空間は、分離公理のそれぞれを満たします。特に、すべての離散空間はハウスドルフ空間、すなわち分離空間です。
• 離散空間は、有限である場合に限りコンパクト である。
• すべての離散的な均一空間または距離空間は完全である。
• 上記の2つの事実を組み合わせると、すべての離散的な一様空間または距離空間は、それが有限である場合に限り、完全に有界である。
• すべての離散距離空間は有界である。
• すべての離散空間は第一可算空間である。さらに、それが可算空間である場合に限り、第二可算空間でもある。
• それぞれの個別の空間は完全に分断されている。
• 空でない離散空間はすべて第2カテゴリーである。
• 同じ濃度を持つ任意の2つの離散空間は同相である。
• すべての離散空間は（離散距離によって）距離化可能である。
• 有限空間が距離化可能であるのは、それが離散的である場合に限る。
• もし${\displaystyle X}$は位相空間であり、${\displaystyle Y}$離散トポロジーを持つ集合である場合、${\displaystyle X}$均等に覆われている${\displaystyle X\times Y}$（投影図は、目的の被覆範囲を示すものです）
• 実数直線の部分空間としての整数上の部分空間位相は、離散位相である。
• 離散空間が分離可能であるのは、それが可算空間である場合に限る。
• の任意の位相部分空間${\displaystyle \mathbb {R} }$（通常のユークリッド位相を持つ）離散的な集合は必然的に可算集合である。^{[ 3 ]}

離散位相空間から別の位相空間への任意の関数は連続であり、離散一様空間から別の一様空間への任意の関数は一様連続である。すなわち、離散空間は一様連続である。${\displaystyle X}$撮影現場では無料です${\displaystyle X}$位相空間と連続写像のカテゴリー、あるいは一様空間と一様連続写像のカテゴリーにおいて、これらの事実は、離散構造が集合上で通常自由であるという、より広範な現象の一例である。

距離空間の場合、射の選択によって距離空間のカテゴリが複数存在するため、事態はより複雑になります。確かに、射がすべて一様連続写像またはすべて連続写像である場合、離散距離空間は自由ですが、これは距離構造については何も興味深いことを示さず、一様構造または位相構造のみを示しています。距離構造により関連のあるカテゴリは、射をリプシッツ連続写像またはショート写像に制限することによって見つけることができます。ただし、これらのカテゴリには（複数の要素上の）自由オブジェクトはありません。しかし、離散距離空間は、有界距離空間とリプシッツ連続写像のカテゴリでは自由であり、1で境界付けられた距離空間とショート写像のカテゴリでも自由です。つまり、離散距離空間から別の有界距離空間への任意の関数はリプシッツ連続であり、離散距離空間から1で境界付けられた別の距離空間への任意の関数はショートです。

反対方向には、関数${\displaystyle f}$位相空間から${\displaystyle Y}$離散的な空間へ${\displaystyle X}$は、のすべての点が であるという意味で局所的に一定である場合に限り連続である。${\displaystyle Y}$近隣には${\displaystyle f}$定数である。

すべてのウルトラフィルター${\displaystyle {\mathcal {U}}}$空でない集合上で${\displaystyle X}$トポロジーと関連付けることができる${\displaystyle \tau ={\mathcal {U}}\cup \left\{\varnothing \right\}}$の上${\displaystyle X}$すべての空でない真部分集合が${\displaystyle S}$の${\displaystyle X}$は開集合か閉集合のどちらかであり、両方であることはありません。言い換えれば、すべての部分集合は開集合か閉集合のどちらかですが、（離散トポロジーとは対照的に）開集合かつ閉集合（つまりclopen）である部分集合はだけです。${\displaystyle \varnothing }$そして${\displaystyle X}$比較すると、${\displaystyle X}$離散トポロジーでは、開集合と閉集合が存在する。

離散構造は、他の自然な位相、一様性、または計量を持たない集合の「デフォルト構造」としてよく使用されます。離散構造は、特定の仮定を検証するための「極端な」例としてよく使用されます。たとえば、任意の群に離散位相を与えることで、位相群とみなすことができ、位相群に関する定理がすべての群に適用されることを意味します。実際、解析学者は、代数学者が研究する通常の非位相群を「離散群」と呼ぶことがあります。場合によっては、これは、たとえばポントリャーギン双対性と組み合わせるなど、有用に適用できます。0 次元多様体(または微分可能多様体または解析的多様体) は、離散的かつ可算な位相空間に他なりません (非可算な離散空間は、第 2 可算ではありません)。したがって、任意の離散可算群を 0 次元リー群と見なすことができます。

自然数の離散空間の可算無限コピーの積は、無理数の空間と同相であり、その同相は連分数展開によって与えられる。離散空間の可算無限コピーの積${\displaystyle \{0,1\}}$はカントール集合と同相であり、積の均一性を用いると実際にはカントール集合と一様に同相になります。このような同相は、数の三進表記を用いることで得られます。（カントール空間を参照。）局所的に単射な関数のすべてのファイバーは、必然的にその定義域の離散部分空間になります。

数学の基礎において、積のコンパクト性特性の研究${\displaystyle \{0,1\}}$これは、選択公理の弱い形式である超フィルター補題（同等に、ブール素イデアル定理）への位相的アプローチの中心となるものです。

ある意味では、離散位相の反対は自明位相（非離散位相とも呼ばれる）であり、これは可能な限り少ない数の開集合（空集合と空間自体のみ）を持つ。離散位相が初期または自由であるのに対し、非離散位相は最終または共自由である。つまり、位相空間から非離散空間へのすべての関数は連続である、など。

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• スティーン、リン・アーサー；シーバック、J・アーサー・ジュニア（1978）。トポロジーにおける反例（第2 版）。ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 3-540-90312-7。MR 0507446。Zbl 0386.54001。  
• ウィランスキー、アルバート（2008年10月17日）[1970]。解析のための位相幾何学。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-46903-4. OCLC 227923899 .