合理的なマッピング

数学、特に代数幾何学の分野において、有理写像（ゆうりょうしゃしゃぼん）または有理写像（ゆうりょうしゃしゃぼん）は、代数多様体間の部分関数の一種である。この記事では、代数多様体は既約であるという慣例を使用する。

正式には、2 つの多様体間の有理写像は、 が空でない開集合からへの多様体の射であるペアの同値類であり、そのような 2 つのペア と は、と が共通部分で一致する場合に同値であるとみなされます(特に、共通部分が空である場合は空虚に真ですが、 は既約であると仮定されているため、これは不可能です)。これが同値関係を定義することの証明は、次の補題に依存します。 ${\displaystyle f\colon V\to W}$${\displaystyle (f_{U},U)}$${\displaystyle f_{U}}$ ${\displaystyle U\subset V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle (f_{U},U)}$${\displaystyle ({f'}_{U'},U')}$${\displaystyle f_{U}}$${\displaystyle {f'}_{U'}}$${\displaystyle U\cap U'}$${\displaystyle V}$

• 多様体の 2 つの射が空でない開集合上で等しい場合、それらは等しい。

${\displaystyle f}$同値類の1 つ (同値で、すべての) 代表が優勢射である場合、つまり稠密な像を持つ場合、は優勢であると言われます。合成が上記の意味でとられる場合、その逆である 有理写像が存在する場合、は双有理であると言われます。${\displaystyle f_{U}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g\colon W\to V}$

代数幾何学にとって有理写像の重要性は、そのような写像とおよびの函数体の間の写像との関係にあります。定義により、有理函数は、その値域が射影直線である有理写像にすぎません。函数の合成により、有理函数を有理写像に沿って「引き戻す」ことができるため、単一の有理写像から体の準同型写像が誘導されます。特に、次の定理が中心となります。支配的な有理写像を持つ射影多様体のカテゴリ(たとえば、固定された基底体上)から、拡大を射として逆包含する基底体の有限生成体拡大のカテゴリへの函手 (各多様体をその函数体に、各写像を関連する函数体の写像に関連付ける) は、カテゴリ の同値です。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle f\colon V\to W}$${\displaystyle K(W)\to K(V)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

比 を送る有理写像が存在します。点は像を持つことができないため、この写像は有理写像にすぎず、多様体の射ではありません。より一般的には、最後の座標を忘れることで - タプルを - タプル に送る有理写像が存在します。${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle [x:y:z]\mapsto [x:y]}$${\displaystyle [0:0:1]}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{m}\to \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle m>n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

連結多様体 上では、任意の開部分多様体の包含は双有理同値です。なぜなら、2 つの多様体は同値な関数体を持つからです。つまり、すべての有理関数は有理関数に制限することができ、逆に、有理関数は上の有理同値類を定義します。この現象の優れた例は、との双有理同値であり、したがって です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle i:U\to X}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle U\to \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle U\to \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle (U,f)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})\cong k(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

多様体の開集合上の被覆空間は、双有理でない有理写像の豊富な例を与える。例えば、Belyi の定理は、すべての代数曲線は3 点で分岐する写像を持つと述べている。すると、双有理でない優勢な有理写像を定義する関連する被覆空間が存在する。別のクラスの例は、有限個の点で分岐した の二重被覆である超楕円曲線から得られる。別のクラスの例は、超曲面を取り、有理写像をに制限することによって得られる。これにより、分岐被覆が得られる。例えば、消失軌跡によって与えられる3 次曲面は、 を送る有理写像を持つ。この有理写像は、次数体拡張として表すことができる。${\displaystyle C}$${\displaystyle f:C\to \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle C|_{U}\to U=\mathbb {P} ^{1}-\{p_{1},p_{2},p_{3}\}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{n-1}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z(x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3})}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle [x:y:z:w]\mapsto [x:y:z]}$${\displaystyle 3}$$${\displaystyle k(x,y,z)\to {\frac {k(x,y,z)[w]}{(x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3})}}}$$

双有理写像の標準的な例の 1 つは、特異点の解決です。特性0の体上で、すべての特異多様体は、双有理写像 を持つ非特異多様体に関連付けられています。この写像は、 上の同型であり、 上のファイバーが正規交差因子であるという特性があります。たとえば、 のような節曲線は、位相的には円の 1 つが縮約された楕円曲線であるため、 に対して双有理です。すると、双有理写像は正規化によって与えられます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \pi :Y\to X}$${\displaystyle U=X-{\text{Sing}}(X)}$${\displaystyle {\text{Sing}}(X)}$${\displaystyle C=Z(x^{3}+y^{3}+z^{3}-xyz)\subset \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

2 つの多様体の間に双有理写像が存在する場合、それらは双有理的に同値であると言われます。この定理は、多様体の双有理同値は、基底体の拡張としての関数体の同型性と同一であると述べています。これは、双有理だが同型ではない多様体が存在するという点で、多様体の同型性の概念 (同型性を証明するには、有理写像だけでなく、大域的に定義された射が必要です) よりもいくぶん自由です。

よくある例としては、は に含まれる多様体に対して双有理的であり、となる射影点の集合からなるが、同型ではない、というものがあります。確かに、 の任意の 2 本の直線は交差しますが、 と で定義される の直線は​​交差できません。なぜなら、その交点の座標がすべて 0 になるからです。 の関数体を計算するには、となるアフィン部分集合 (体を変更しない、有理写像はその定義域の任意の開部分集合における動作のみに依存するという事実の現れ) を渡します。射影空間では、これは をとり、したがってこの部分集合をアフィン -平面と同一視できることを意味します。そこで、 の座標環は ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{3}}$${\displaystyle [w:x:y:z]}$${\displaystyle xy-wz=0}$${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle w=x=0}$${\displaystyle y=z=0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle w\neq 0}$${\displaystyle w=1}$${\displaystyle xyz}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle A(X)=k[x,y,z]/(xy-z)\cong k[x,y]}$

写像 を介して。そして後者の分数体は であり、 の分数体と同型です。定理の証明を辿っていくと有理写像を作ることは可能ですが、実際に有理写像を作ったことはないことに注意してください。 ${\displaystyle p(x,y,z)+(xy-z)A(X)\mapsto p(x,y,xy)}$${\displaystyle k(x,y)}$${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{2}}$

• 双有理幾何学
• 爆発する
• 代数多様体の関数体
• 特異点の解決
• 最小モデルプログラム
• ログ構造

• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157、セクションI.4。