オープンセット

一般的な位相幾何学や数学解析において、開集合は実数直線上の開区間の一般化である。

距離空間（すべての2点間の距離が定義されている集合）において、開集合とは、すべての点Pを含み、 Pに十分近い距離空間のすべての点（つまり、Pからの距離がPに依存するある値よりも小さいすべての点）を含む集合のことである。

より一般的には、開集合とは、与えられた集合の部分集合の集合の要素であり、その集合は、要素のすべての和集合、要素のすべての有限の共通部分、空集合、および集合全体を含むという性質を持つ。このような集合が与えられた集合は位相空間と呼ばれ、集合は位相と呼ばれる。これらの条件は非常に緩く、開集合の選択において非常に大きな柔軟性を許容する。たとえば、すべての部分集合が開集合である場合（離散位相）、または空間自体と空集合を除いてどの部分集合も開集合でない場合（非離散位相）がある。^{[ 1 ]}

しかし実際には、距離の概念を定義することなく、距離空間と同様の近接性の概念を提供するために、開集合が選択されることが多い。特に、位相空間を用いることで、もともと距離によって定義されていた連続性、連結性、コンパクト性といった性質を定義することが可能となる。

距離の概念を持たない位相の最も一般的な例は多様体であり、これは各点の近傍ではユークリッド空間の開集合に似ている位相空間であるが、一般に距離は定義されていない。数学の他の分野では、より直感に反する位相が用いられる。例えば、代数幾何学やスキーム理論において基礎となるザリスキ位相などである。

直感的に言えば、開集合は2つの点を区別する方法を提供する。例えば、位相空間内の2つの点のうち一方について、もう一方の（異なる）点を含まない開集合が存在する場合、その2つの点は位相的に区別可能であると言われる。このようにして、位相空間内の2つの点、あるいはより一般的には2つの部分集合が、具体的な距離を定義することなく「近い」かどうかを論じることができる。したがって、位相空間は、距離の概念を備えた空間、すなわち距離空間の一般化と見なすことができる。

すべての実数の集合には、自然なユークリッド距離、つまり2つの実数間の距離を測る関数d ( x , y ) = | x - y |が存在します。したがって、実数xが与えられたとき、その実数に近いすべての点の集合、つまりxからε以内の点の集合について考えることができます。本質的に、xからε以内の点は、 xをεの精度で近似します。ε > 0は常に存在しますが、εが小さくなるにつれて、xをより高い精度で近似する点が得られます。たとえば、x = 0でε = 1の場合、 xからε以内の点は、区間(−1, 1)の点、つまり−1と1の間のすべての実数の集合です。しかし、ε = 0.5の場合、 xからε以内の点は、区間(−0.5, 0.5)の点です。明らかに、これらの点はε = 1の場合よりも高い精度でxを近似している。

前述の議論から、 x = 0の場合、 ε を小さく定義することで、 x をより高い精度で近似できることがわかった。特に、(− ε , ε ) の形の集合は、 x = 0に近い点について多くの情報を提供してくれる。したがって、具体的なユークリッド距離について話す代わりに、集合を使用してxに近い点を記述することができる。この革新的なアイデアは、広範囲にわたる影響を及ぼす。特に、0 を含む集合の異なるコレクション (集合 (− ε , ε ) とは異なる) を定義することで、0 と他の実数との距離に関して異なる結果が得られる可能性がある。たとえば、R を「距離を測定する」ための唯一の集合として定義すると、0 を近似する際に達成できる精度はRの要素であることの 1 つだけなので、すべての点が 0 に近いことになる。したがって、ある意味では、すべての実数は0から距離0離れていることがわかります。この場合、この尺度を二値条件として考えると理解しやすいかもしれません。つまり、実数Rに含まれるものはすべて0に等しく近く、実数Rに含まれないものはすべて0に近くないということです。

一般に、0 を近似するために用いられる 0 を含む集合の族を近傍基底と呼び、この近傍基底の要素を開集合と呼びます。実際、これらの概念は実数だけでなく任意の集合 ( X ) に一般化することができます。この場合、その集合の点 ( x ) が与えられたとき、 x を近似するために、 xの「周囲」（つまり、x を含む）の集合の集合群を定義できます。もちろん、この集合群は特定の性質 (公理として知られています) を満たす必要があります。そうでなければ、距離を測定する明確な方法が得られない可能性があります。たとえば、Xのすべての点は、ある程度の精度でx を近似する必要があります。したがって、 X はこの族に含まれなければなりません。xを含む「より小さな」集合を定義し始めると、 x をより高い精度で近似する傾向があります。これを念頭に置いて、 xの周りの集合の族が満たすべき残りの公理を定義できます。

ここでは、技術的な難易度の低い順にいくつかの定義を示します。それぞれの定義は、次の定義の特殊なケースです。

任意の数の開集合の和集合、または無限個の開集合の和集合は開集合である。[ ^{4 ]有限}個の開集合の共通部分は開集合である。 ^{[ 4 ]}

（位相が定義されている空間に関して）開集合の補集合は閉集合と呼ばれる。集合は開集合かつ閉集合である場合もある（開集合）。空集合と完全空間は、開集合かつ閉集合の例である。^{[ 5 ]}

集合はそれ自体では決して開集合とはみなされない。この概念は、包含集合と、その集合上の特定の位相構造との関係において成り立つものである。

集合が開集合であるかどうかは、考慮する位相に依存します。明瞭さよりも簡潔さを優先したため、位相を備えた集合Xについて言及します。$\displaystyle \tau }$「位相空間X」ではなく「位相空間」${\displaystyle (X,\tau )}$すべてのトポロジーデータが含まれているにもかかわらず、${\displaystyle \tau .}$同じ集合上に 2 つの位相が存在する場合、最初の位相で開いている集合U が、2 番目の位相では開いていない可能性があります。たとえば、 Xが任意の位相空間で、Y がXの任意の部分集合である場合、集合Yには、次のように定義される独自の位相 (「部分空間位相」と呼ばれます) を与えることができます。「集合UがY上の部分空間位相で開いているのは、U がYと元の位相のX上の開集合との共通部分である場合に限る。」^{[ 6 ]}これにより、新しい開集合が導入される可能性があります。Vが元の位相のX上で開いている場合、${\displaystyle V\cap Y}$Xの元のトポロジーで開いていない場合、${\displaystyle V\cap Y}$Y上の部分空間位相において開いている。

この具体的な例として、U を区間内の有理数の集合と定義するとします。${\displaystyle (0,1),}$この場合、Uは有理数の開集合ではあるが、実数の開集合ではない。これは、周囲の空間が有理数である場合、U内の任意の点xに対して、 xから距離ε以内にあるすべての有理点がUに含まれるような正の数εが存在するからである。一方、周囲の空間が実数である場合、U内の任意の点xに対して、 xから距離ε以内にあるすべての実点がUに含まれるような正の数εは存在しない（U には非有理数が含まれないため）。

開集合は位相幾何学において極めて重要な概念である。この概念は、位相空間や、距離空間や一様空間といった空間における近接性や収束性といった概念を扱うその他の位相構造を定義し、理解するために不可欠である。

位相空間Xのすべての部分集合Aは、(空集合の場合もある) 開集合を含みます。そのような開集合の中で最大のもの (包含関係に関して順序付けられているもの) をAの内部と呼びます。これは、 Aに含まれるすべての開集合の和集合を取ることによって構成できます。^{[ 7 ]}

関数​${\displaystyle f:X\to Y}$2つの位相空間の間${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$は、すべての開集合の逆像が${\displaystyle Y}$オープンしています${\displaystyle X.}$^{[ 8 ]} 関数${\displaystyle f:X\to Y}$は、のすべての開集合の像がである場合に開集合と呼ばれる。${\displaystyle X}$オープンしています${\displaystyle Y.}$

実数直線上の開集合は、互いに素な開区間の可算個の和集合であるという特徴的な性質を持つ。

全体を通して、${\displaystyle (X,\tau )}$それは位相空間となる。

サブセット${\displaystyle A\subseteq X}$位相空間の${\displaystyle X}$名称:

• α-開${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)\right)}$、そしてそのような集合の補集合はα-閉集合と呼ばれる。^{[ 9 ]}
• 以下のいずれかの同等の条件を満たす場合、 プレオープン、ニアリーオープン、またはローカルデンスである。
  1. ${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right).}$^{[ 10 ]}
  2. 部分集合が存在する${\displaystyle D,U\subseteq X}$そのため${\displaystyle U}$オープンしています${\displaystyle X,}$${\displaystyle D}$は、​${\displaystyle X,}$そして${\displaystyle A=U\cap D.}$^{[ 10 ]}
  3. オープンな（${\displaystyle X}$）サブセット${\displaystyle U\subseteq X}$そのため${\displaystyle A}$は、${\displaystyle U.}$^{[ 10 ]}

  プレオープン集合の補集合はプレクローズ集合と呼ばれる。

• b-open if${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)~\cup ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)}$b-開集合の補集合はb-閉集合と呼ばれる。^{[ 9 ]}
• 以下のいずれかの同等条件を満たす場合、 β-オープンまたはセミプレオープンである。
  1. ${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)\right)}$^{[ 9 ]}
  2. ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}$は、の正則閉部分集合である。${\displaystyle X.}$^{[ 10 ]}
  3. プレオープン部分集合が存在する${\displaystyle U}$の${\displaystyle X}$そのため${\displaystyle U\subseteq A\subseteq \operatorname {cl} _{X}U.}$^{[ 10 ]}

  β開集合の補集合はβ閉集合と呼ばれる。

• 以下のいずれかの同等の条件を満たす場合、 順次オープンする。
  1. シーケンスが${\displaystyle X}$ある一点に収束する${\displaystyle A,}$そしてそのシーケンスは最終的に${\displaystyle A.}$具体的に言うと、もし${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$はシーケンスです${\displaystyle X}$そしてもし存在するならば${\displaystyle a\in A}$は、${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$で${\displaystyle (X,\tau ),}$それから${\displaystyle x_{\bullet }}$最終的には${\displaystyle A}$（つまり、ある整数が存在する）${\displaystyle i}$もし${\displaystyle j\geq i,}$それから${\displaystyle x_{j}\in A}$)
  2. ${\displaystyle A}$は、その連続する内部と等しい。${\displaystyle X,}$定義上、それは集合である

     ${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {SeqInt} _{X}A:&=\{a\in A~:~{\text{ whenever a sequence in }}X{\text{ converges to }}a{\text{ in }}(X,\tau ),{\text{ then that sequence is eventually in }}A\}\\&=\{a\in A~:~{\text{ there does NOT exist a sequence in }}X\setminus A{\text{ that converges in }}(X,\tau ){\text{ to a point in }}A\}\\\end{alignedat}}}$

  連続的に開集合の補集合は連続的に閉集合と呼ばれる。${\displaystyle S\subseteq X}$順次閉じられる${\displaystyle X}$かつその場合に限り${\displaystyle S}$は、定義により、その逐次閉包に等しい。${\displaystyle \operatorname {SeqCl} _{X}S}$すべてから成る${\displaystyle x\in X}$に対して、数列が存在する${\displaystyle S}$収束して${\displaystyle x}$（で${\displaystyle X}$)

• ほぼ開いているとされ、開部分集合が存在する場合はベール特性を持つと言われる。${\displaystyle U\subseteq X}$そのため${\displaystyle A\bigtriangleup U}$はわずかな部分集合であり、${\displaystyle \bigtriangleup }$は対称差を表す。^{[ 11 ]}
  • サブセット${\displaystyle A\subseteq X}$は、すべての部分集合に対して、制限された意味でベール性質を持つと言われます。${\displaystyle E}$の${\displaystyle X}$交差点${\displaystyle A\cap E}$Baire の不動産は、${\displaystyle E}$[ ^{12 ]​}
• 半開放の場合${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)}$または同等に、${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A=\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)}$補数は${\displaystyle X}$半開集合の要素は半閉集合と呼ばれる。^{[ 13 ]}
  • 半閉鎖（${\displaystyle X}$部分集合の）${\displaystyle A\subseteq X,}$で示される${\displaystyle \operatorname {sCl} _{X}A,}$は、すべての半閉部分集合の共通部分である。${\displaystyle X}$含まれる${\displaystyle A}$部分集合として。^{[ 13 ]}
• 各​${\displaystyle x\in A}$ある半開部分集合が存在する${\displaystyle U}$の${\displaystyle X}$そのため${\displaystyle x\in U\subseteq \operatorname {sCl} _{X}U\subseteq A.}$^{[ 13 ]}
• θ-開（またはδ-開）とは、その補集合が${\displaystyle X}$は θ-閉集合（またはδ-閉集合）であり、定義により、 の部分集合は${\displaystyle X}$点が、そのすべての θ-クラスタ点 (または δ-クラスタ点) の集合と等しい場合、その点はθ-閉(またはδ-閉)と呼ばれます。${\displaystyle x\in X}$は部分集合のθ-クラスター点（またはδ-クラスター点）と呼ばれる。${\displaystyle B\subseteq X}$すべてのオープンな近隣地域について${\displaystyle U}$の${\displaystyle x}$で${\displaystyle X,}$交差点${\displaystyle B\cap \operatorname {cl} _{X}U}$空ではありません (それぞれ)。${\displaystyle B\cap \operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}U\right)}$空ではない）。^{[ 13 ]}

事実を利用して

${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}B}$    そして    ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}B~\subseteq ~B}$

2 つの部分集合がある場合${\displaystyle A,B\subseteq X}$満足する${\displaystyle A\subseteq B,}$以下のことが推論できる。

• すべてのα-開部分集合は、半開集合、半前開集合、前開集合、およびb-開集合である。
• すべてのb-開集合は半プレオープン（すなわちβ-開集合）である。
• すべてのプレオープンセットはb-オープンであり、セミプレオープンである。
• すべての半開集合はb-開集合であり、かつ半プレ開集合である。

さらに、部分集合が正則開集合であるのは、それが前開かつ半閉である場合に限る。^{[ 10 ]} α-開集合と半前開集合（または半開、前開、b-開）集合の共通部分は、半前開集合（または半開、前開、b-開）集合である。^{[ 10 ]} 前開集合は必ずしも半開である必要はなく、半開集合は必ずしも前開である必要はない。^{[ 10 ]}

プレオープン集合（それぞれα-オープン、b-オープン、セミプレオープン）の任意の和集合は、再びプレオープン（それぞれα-オープン、b-オープン、セミプレオープン）となる。^{[ 10 ]}ただし、プレオープン集合の有限な共通部分はプレオープンである必要はない。^{[ 13 ]}空間のすべてのα-オープン部分集合の集合${\displaystyle (X,\tau )}$上にトポロジーを形成する${\displaystyle X}$それはより優れている${\displaystyle \tau .}$^{[ 9 ]}

位相空間${\displaystyle X}$ハウスドルフであるのは、すべてのコンパクト部分空間が${\displaystyle X}$θ-閉空間である。^{[ 13 ]} 空間${\displaystyle X}$空間が完全に不連結であるのは、すべての正則閉部分集合が前開集合である場合、または同等に、すべての半開部分集合が前開集合である場合に限る。さらに、空間が完全に不連結であるのは、すべての前開部分集合の閉包が開集合である場合に限る。 ^{[ 9 ]}

• ほぼ開いた地図– 開いた地図と同様の条件を満たす地図 
• 基底（トポロジー）– トポロジーを定義するために使用される開集合の集合 
• クローペン集合– 開いている部分集合であり、かつ閉じている部分集合 
• 閉集合– 開集合の補集合 
• ドメイン（数学解析）– 位相空間の連結した開部分集合 
• 局所同相写像– 各点の近傍で可逆な数学関数 
• オープンマップ– オープン（またはクローズド）サブセットをオープン（またはクローズド）サブセットに送信する関数リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• サブベース– トポロジーを生成するサブセットの集合 

• ハート、クラース（2004）。一般トポロジー百科事典。アムステルダム・ボストン：エルゼビア／ノースホランド。ISBN 0-444-50355-2OCLC 162131277。​ 
• ハート、クラース・ピーター。永田純一；ヴォーン、ジェリー E. (2004)。一般的なトポロジーの百科事典。エルゼビア。ISBN 978-0-444-50355-8。
• マンクレス、ジェームズ・R. (2000).トポロジー（第2 版）.アッパー・サドル・リバー、ニュージャージー州：プレンティス・ホール社. ISBN 978-0-13-181629-9OCLC 42683260。​ （視覚障害のある利用者も利用可能）

• 「開集合」 .数学百科事典. EMS Press. 2001 [1994].