分岐理論

局所分岐は、パラメータの変化によって平衡点（または固定点）の安定性が変化する場合に発生します。連続系では、これは平衡点の固有値の実部がゼロを通過することに対応します。離散系（写像で記述される）では、これは固定点のフロケ乗数が絶対値1に等しいことに対応します。どちらの場合も、分岐点では平衡点は非双曲型です。分岐パラメータを分岐点に近づけることで（そのため「局所的」と呼ばれます）、システムの位相空間における位相的変化を分岐固定点の任意の小さな近傍に限定することができます。

より技術的に言えば、常微分方程式（ODE）で記述される連続的な動的システムを考えてみましょう。 $${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,\lambda )\quad f\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}.}$$ 局所的な分岐は${\displaystyle (x_{0},\lambda _{0})}$ヤコビ行列が$\displaystyle {\textrm {d}}f_{x_{0},\lambda _{0}}}$固有値の実部がゼロである場合。固有値がゼロに等しい場合、分岐は定常状態分岐ですが、固有値がゼロではなく純虚数である場合は、ホップ分岐です。

離散的な力学系については、次のシステムを考える。 $${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n},\lambda ).}$$ すると、次の場所で局所的な分岐が発生する。${\displaystyle (x_{0},\lambda _{0})}$行列が$\displaystyle {\textrm {d}}f_{x_{0},\lambda _{0}}}$固有値の絶対値が 1 である場合。固有値が 1 の場合、分岐はサドルノード分岐（マップではフォールド分岐と呼ばれることが多い）、トランスクリティカル分岐、またはピッチフォーク分岐のいずれかになります。固有値が -1 の場合、周期倍分岐（またはフリップ分岐）であり、それ以外の場合はホップ分岐です。

局所分岐の例としては、以下のようなものがある。

• サドルノード（折り畳み）分岐
• 超臨界分岐
• ピッチフォーク分岐
• 周期倍分岐（反転分岐）
• ホップ分岐
• ネイマーク・サッカー（二次ホップ）分岐

周期軌道などの「より大きな」不変集合が平衡点と衝突すると、大域的分岐が発生します。これにより、位相空間における軌道のトポロジーに変化が生じますが、局所的分岐のように小さな領域に限定されることはありません。実際、トポロジーの変化は任意に大きな距離まで及ぶため、「大域的」と呼ばれます。

グローバル分岐の例としては、以下のようなものがある。

• リミットサイクルがサドルポイントと衝突するホモクリニック分岐。^{[ 3 ]}上記の変種は「小さい」または 「タイプI」ホモクリニック分岐です。2Dでは、ホモクリニック軌道がサドルの不安定多様体と安定多様体のもう一方の端を「捕捉」する「大きい」または「タイプII」ホモクリニック分岐もあります 。3次元以上では、より高次元の分岐が発生し、複雑で、場合によってはカオス的なダイナミクスを生み出す可能性があります。
• ヘテロクリニック分岐とは、リミットサイクルが 2 つ以上の鞍点と衝突する分岐であり、ヘテロクリニックサイクルが関与する。^{[ 4 ]}ヘテロクリニック分岐には、共鳴分岐と横断分岐の 2 種類がある。どちらのタイプの分岐も、ヘテロクリニックサイクルの安定性の変化をもたらす。共鳴分岐では、サイクル内の平衡点の固有値に関する代数条件が満たされると、サイクルの安定性が変化する。これは通常、周期軌道の誕生または消滅を伴う。ヘテロクリニックサイクルの横断分岐は、サイクル内の平衡点の 1 つの横断固有値の実部がゼロを通過するときに発生する。これもまた、ヘテロクリニックサイクルの安定性の変化を引き起こす。
• 無限周期分岐とは、リミットサイクル上で安定ノードと鞍点が同時に発生する分岐のことである。^{[ 5 ]}パラメータの極限が特定の臨界値に近づくと、振動の速度が遅くなり、周期が無限に近づく。無限周期分岐はこの臨界値で発生する。臨界値を超えると、リミットサイクル上で2つの固定点が互いに連続的に出現し、振動を破壊して2つの鞍点を形成する。
• 限界サイクルが非双曲線サイクルと衝突する、青空の大惨事。

グローバルな分岐には、カオス的アトラクター（危機など）のようなより複雑な集合も含まれる可能性があります。

• 分岐の例
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  システム内でホップ分岐が発生する$\displaystyle {\dot {x}}=\mu x+yx^{2}}$そして${\displaystyle {\dot {y}}=-x+\mu y+2x^{2}}$、 いつ${\displaystyle \mu =0}$原点付近で、同点分岐が発生する。${\displaystyle \mu =0.06605695}$。
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  ホモクリニック分岐の詳細な図
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  として${\displaystyle \mu }$がゼロから増加すると、ホップ分岐によって原点から安定なリミットサイクルが出現する。ここでは、次数までリミットサイクルをパラメトリックにプロットする。${\displaystyle \mu ^{3/2}}$正確な計算方法は、ホップ分岐のページで説明されています。