自律システム（数学）

数学において、自律システムまたは自律微分方程式は、独立変数に明示的に依存しない常微分方程式のシステムです。変数が時間の場合、それらは時間不変システムとも呼ばれます。

物理学における多くの法則では、独立変数は通常時間であると想定されており、現在成立している自然法則は過去または未来のどの時点における自然法則と同一であると想定されているため、自律システムとして表現されます。

自律システムは、 x が n次元ユークリッド空間内の値を取る形式の 常微分方程式のシステムであり、tは時間として解釈されることが多いです。 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))}$$

これは、システムの進化を支配する法則がシステムの現在の状態だけでなく、多くの場合時間として解釈されるパラメーターtにも依存する形式の微分方程式のシステムとは区別されます 。このようなシステムは、定義上、自律的ではありません。 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=g(x(t),t)}$$

解は水平方向の変換に対して不変です。

を自律システムの 初期値問題の一意解とすると、を解きます 。 とすると、 およびが得られるので 、初期条件については、検証は簡単です。 ${\displaystyle x_{1}(t)}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))\,,\quad x(0)=x_{0}.}$$${\displaystyle x_{2}(t)=x_{1}(t-t_{0})}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))\,,\quad x(t_{0})=x_{0}.}$$${\displaystyle s=t-t_{0}}$${\displaystyle x_{1}(s)=x_{2}(t)}$${\displaystyle ds=dt}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x_{2}(t)={\frac {d}{dt}}x_{1}(t-t_{0})={\frac {d}{ds}}x_{1}(s)=f(x_{1}(s))=f(x_{2}(t)).}$$$${\displaystyle x_{2}(t_{0})=x_{1}(t_{0}-t_{0})=x_{1}(0)=x_{0}.}$$

この方程式は、独立変数（）が明示的に方程式に現れていないため、自律的です。この方程式の傾斜場と等傾斜をプロットするには、 GNU Octave / MATLABで次のコードを使用できます。${\displaystyle y'=\left(2-y\right)y}$${\displaystyle x}$

Ffun = @( X , Y )( 2 - Y ) .* Y ; % 関数 f(x,y)=(2-y)y [ X , Y ] = meshgrid ( 0 : .2 : 6 , - 1 : .2 : 3 ); % プロットのサイズを選択DY = Ffun ( X , Y ); DX = ones ( size ( DY )); % プロットの値を生成するquiver ( X , Y , DX , DY , 'k' ); % 方向フィールドを黒でプロットhold on ; contour ( X , Y , DY , [ 0 1 2 ], 'g' ); % 等傾斜線 (0 1 2) を緑で追加title ( 'f(x,y)=(2-y)y の傾斜フィールドと等傾斜線' )        
     
       
     
 
       

プロットから、関数は-不変であり、解の形状も-不変であることがわかります。 つまり、任意のシフトに対して です。${\displaystyle \left(2-y\right)y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y(x)=y(x-x_{0})}$${\displaystyle x_{0}}$

MATLABで方程式を記号的に解くには、

syms y(x) ; equation = ( diff ( y ) == ( 2 - y ) * y ); % 方程式を記号的に解いて一般解を求めるy_general = dsolve ( equation ); 
        

  

2つの平衡解、および、未知の定数を含む3番目の解、 を取得します。 ${\displaystyle y=0}$${\displaystyle y=2}$${\displaystyle C_{3}}$-2 / (exp(C3 - 2 * x) - 1)

初期条件の特定の値をいくつか選択すると、いくつかの解のプロットを追加することができます。

% 初期値問題を
異なる初期条件に対して記号的に解きます % 
y1 = dsolve ( equation , y ( 1 ) == 1 ); y2 = dsolve ( equation , y ( 2 ) == 1 ); y3 = dsolve ( equation , y ( 3 ) == 1 ); y4 = dsolve ( equation , y ( 1 ) == 3 ); y5 = dsolve ( equation , y ( 2 ) == 3 ); y6 = dsolve ( equation , y ( 3 ) == 3 ); % 解をプロットしますezplot ( y1 , [ 0 6 ] ); ezplot ( y2 , [ 0 6 ] ); ezplot ( y3 , [ 0 6 ] ); ezplot ( y4 , [ 0 6 ] ); ezplot ( y5 , [ 0 6 ]); ezplot ( y6 , [ 0 6 ]); title ( '傾斜フィールド、等傾斜線、および f(x,y)=(2-y)y の解' ) legend ( '傾斜フィールド' 、'等傾斜線' 、'解 y_{1..6}' ); text ([ 1 2 3 ], [ 1 1 1 ], strcat ( '\leftarrow' 、{ 'y_1' 、'y_2' 、'y_3' })); text ([ 1 2 3 ], [ 3 3 3 ], strcat ( '\leftarrow' 、{ 'y_4' 、'y_5' 、'y_6'           
           
           

        
        

  
         
         }));
グリッドオン; 

自律システムは位相空間を使用して定性的に分析できます。1変数の場合、これは位相線です。

以下の手法は、1 次元の自律微分方程式に適用されます。 の任意の 1 次元方程式は、( 1 次元システムへの簡約で説明されているように) 次元の 1 次システムと同等ですが、その逆は必ずしも当てはまりません。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

一次自律方程式は 分離可能 なので、積分形式に変形することで解くことができる。 $${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x)}$$$${\displaystyle t+C=\int {\frac {dx}{f(x)}}}$$

2 次自律方程式は より困難ですが、新しい変数を導入し 、連鎖律によっての2 次導関数を と表すことで解くことができます^[2]。 これにより、元の方程式は となり、これは独立変数 を参照しない 1 次方程式となります 。 解くと、は の関数として得られます。次に、 の定義を思い出してください。 $${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f(x,x')}$$$${\displaystyle v={\frac {dx}{dt}}}$$${\displaystyle x}$$${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {dv}{dt}}={\frac {dx}{dt}}{\frac {dv}{dx}}=v{\frac {dv}{dx}}}$$$${\displaystyle v{\frac {dv}{dx}}=f(x,v)}$$${\displaystyle t}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x}$${\displaystyle v}$

$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=v(x)\quad \Rightarrow \quad t+C=\int {\frac {dx}{v(x)}}}$$

これは暗黙的な解決策です。

が独立である特別なケース${\displaystyle f}$${\displaystyle x'}$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f(x)}$$

別々に扱うことで利益が得られる。^[3]これらのタイプの方程式は常にハミルトン系であるため、古典力学では非常に一般的である。

アイデンティティを活用するというアイデア

$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}}$$

これは、ゼロ除算による問題がない限り、連鎖律に従います。

一次自律システムの両辺を反転することで、 についてすぐに積分することができます。 ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x)\quad \Rightarrow \quad {\frac {dt}{dx}}={\frac {1}{f(x)}}\quad \Rightarrow \quad t+C=\int {\frac {dx}{f(x)}}}$$

これは変数分離法の別の見方です。2 次導関数はではなくに関する導関数として表す必要があります。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dx}{dt}}\right)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dx}{dt}}\right){\frac {dx}{dt}}\\[4pt]&={\frac {d}{dx}}\left(\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}\right)\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}\\[4pt]&=-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}=-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-3}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}\\[4pt]&={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}\right)\end{aligned}}}$$

再度強調します。 達成されたことは、 に関する 2 次導関数がの導関数として表現されたことです。 これで、元の 2 次方程式を積分できます。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=f(x)\\{\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}\right)&=f(x)\\\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}&=2\int f(x)dx+C_{1}\\{\frac {dt}{dx}}&=\pm {\frac {1}{\sqrt {2\int f(x)dx+C_{1}}}}\\t+C_{2}&=\pm \int {\frac {dx}{\sqrt {2\int f(x)dx+C_{1}}}}\end{aligned}}}$$

これは暗黙的な解法です。最大の潜在的な問題は積分を簡略化できないことであり、これは積分定数の評価が困難または不可能であることを意味します。

上記のアプローチを使用すると、この手法はより一般的な方程式に拡張できます。

$${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{n}f(x)}$$

ここで、は 2 に等しくないパラメータです。2 次導関数は の累乗を含む形式で記述できるため、この式は有効です。2 次導関数を書き直し、並べ替えて、左辺を導関数として表すと、次のようになります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle x'}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-3}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}=\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-n}f(x)\\[4pt]&-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{n-3}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}=f(x)\\[4pt]&{\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{2-n}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{n-2}\right)=f(x)\\[4pt]&\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{n-2}=(2-n)\int f(x)dx+C_{1}\\[2pt]&t+C_{2}=\int \left((2-n)\int f(x)dx+C_{1}\right)^{\frac {1}{n-2}}dx\end{aligned}}}$$

が偶数の場合、右側は +/- になります。次の場合は処理が異なります: ${\displaystyle n}$${\displaystyle n=2}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}&=f(x)\\-{\frac {d}{dx}}\left(\ln \left({\frac {dt}{dx}}\right)\right)&=f(x)\\{\frac {dt}{dx}}&=C_{1}e^{-\int f(x)dx}\\t+C_{2}&=C_{1}\int e^{-\int f(x)dx}dx\end{aligned}}}$$

3次以上の自律方程式を解く類似の方法はありません。そのような方程式は、線形性や方程式の右辺が従属変数のみに依存している（つまり、その導関数に依存していない）など、他の単純化特性を持つ場合にのみ正確に解くことができます^{[4] [5] 。3次元の非線形自律システムが}ローレンツアトラクターやレスラーアトラクターなどの真にカオス的な動作を生み出す可能性があることを考えると、 これは驚くべきことではありません。

同様に、一般的な2次の非自律方程式も、周期的に強制される振り子のようにカオス的になる可能性があるため、明示的に解くことはできません。^[6]

において、 はに依存する 次元の列ベクトルです。 ${\displaystyle \mathbf {x} '(t)=A\mathbf {x} (t)}$${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle t}$

解は定数ベクトルである。^[7]${\displaystyle \mathbf {x} (t)=e^{At}\mathbf {c} }$${\displaystyle \mathbf {c} }$${\displaystyle n\times 1}$

非線形自律常微分方程式の場合、ある条件下では有限持続時間の解を求めることが可能です。^[8]ここで、有限持続時間解とは、システムが自身のダイナミクスから、終了時に値 0 に到達し、その後は永久に 0 のままであることを意味します。これらの有限持続時間解は実数直線全体の解析関数にはならず、終了時に非リプシッツ関数となるため、リプシッツ微分方程式の解の一意性を 満たしません。 ^{[説明が必要]}

たとえば、次の式:

${\displaystyle y'=-{\text{sgn}}(y){\sqrt {|y|}},\,\,y(0)=1}$

有限期間の解を認める:

${\displaystyle y(x)={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{2}}+\left|1-{\frac {x}{2}}\right|\right)^{2}}$

• 非自律システム（数学）