同値クラス

数学では、ある集合 の要素が同値の概念（同値関係として形式化される）を持つ場合、その集合を同値クラスに自然に分割することができます。これらの同値クラスは、要素と が同値である 場合に限り、同じ同値クラスに属するように構築されます。${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

形式的には、集合と同値関係が与えられたとき、の要素の同値類は と表記される。あるいは、同値関係を強調するために と表記される。同値関係の定義は、同値類が意味の分割を形成し 、集合のあらゆる要素がちょうど1つの同値類に属することを意味する。同値類の集合は、の商集合または商空間と呼ばれることもあり、 と表記される。${\displaystyle S}$${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle a}$${\displaystyle S}$${\displaystyle [a]}$${\displaystyle [a]_{\sim }}$${\displaystyle \sim .}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \,\sim \,,}$${\displaystyle S/{\sim }.}$

集合が何らかの構造（群演算や位相など）を持ち、同値関係がこの構造と互換性がある場合、商集合は親集合から同様の構造を継承することがよくあります。例としては、線型代数の商空間、位相の商空間、商群、同次空間、商環、商モノイド、商圏などがあります。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle \,\sim \,}$

集合上の同値関係は、3つの性質を満たす二項関係である: ^[1]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle a\sim a}$すべてに対して（反射性）、${\displaystyle a\in X}$
• ${\displaystyle a\sim b}$すべて（対称性）に対して成り立つ、${\displaystyle b\sim a}$${\displaystyle a,b\in X}$
• ならば、すべてに対して(推移性)。${\displaystyle a\sim b}$${\displaystyle b\sim c}$${\displaystyle a\sim c}$${\displaystyle a,b,c\in X}$

要素の同値類は次のように定義される^[2]${\displaystyle a}$

${\displaystyle [a]=\{x\in X:a\sim x\}.}$

「同値類」という用語の「クラス」という単語は、一般に「集合」の同義語とみなされますが、同値類の中には集合ではなく、適切なクラスであるものもあります。たとえば、「同型であること」はグループ上の同値関係であり、同型類と呼ばれる同値類は集合ではありません。

同値関係に関するすべての同値類の集合はと表記され、モジュロ（または${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X/R,}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$の商集合）。^[3]からの各要素をその同値類に写す射影写像は、${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x\mapsto [x]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X/R,}$正準全射、または正準射影。

同値類のあらゆる要素は、その類を特徴づけ、類を表すために使用できます。そのような要素が選択されると、その類の代表と呼ばれます。各類の代表の選択は、からXへの注入を定義します。その標準的な全射との合成は であるため、そのような注入の恒等式は、圏論の用語を使用する場合、セクションと呼ばれます。 ${\displaystyle X/R}$${\displaystyle X/R,}$

時々、他のセクションよりも「自然」なセクションがあります。この場合、代表は標準代表と呼ばれます。たとえば、モジュラー算術では、1より大きいすべての整数 mについて、m を法とする合同は整数の同値関係であり、2 つの整数aとbは等価です。この場合は、合同であると言います。 m がこれを割り切る場合、 と示されます。各クラスには より小さい一意の非負整数が含まれ、これらの整数は 標準代表 です。 ${\displaystyle a-b;}$${\textstyle a\equiv b{\pmod {m}}.}$${\displaystyle m,}$

クラスを表すために代表を使用すると、クラスを明示的にセットとして考える必要がなくなります。この場合、要素をそのクラスにマッピングする標準射影は、要素をそのクラスの代表にマッピングする関数に置き換えられます。前の例では、この関数は と表され、 aをmで除算した余りを生成します。 ${\displaystyle a{\bmod {m}},}$

のすべての要素は同値類のメンバーです。すべての 2 つの同値類と は等しいか、互いに素です。したがって、 のすべての同値類の集合はの分割を形成します。つまり、 のすべての要素は、ただ 1 つの同値類に属します。^[4]逆に、 のすべての分割は、次のように同値関係から生じます。これによれば、と が分割の同じ集合に属する場合、かつその場合に限ります。 ^[5]${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [x].}$${\displaystyle [x]}$${\displaystyle [y]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\sim y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

前のセクションの特性から、が集合上の同値関係であり、およびが次のステートメント の 2 つの要素である場合、それらは同値であることがわかります。${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X,}$

• ${\displaystyle x\sim y}$
• ${\displaystyle [x]=[y]}$
• ${\displaystyle [x]\cap [y]\neq \emptyset .}$

• を平面上のすべての長方形の集合とし、同値関係が「面積が同じ」であるとすると、各正の実数に対して、面積が同じすべての長方形の同値類が存在することになる^[6]${\displaystyle X}$${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle A.}$
• 整数の集合における法2の同値関係を考えてみましょう。その差が偶数である場合に限ります。この関係により、ちょうど2つの同値クラスが生成されます。1つのクラスはすべて偶数で構成され、もう1つのクラスはすべて奇数で構成されます。この関係の下では、クラスの1つのメンバーを角括弧で囲むことで同値クラスを表し、すべては^[2]の同じ要素を表します。${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$${\displaystyle x\sim y}$${\displaystyle x-y}$${\displaystyle [7],[9],}$${\displaystyle [1]}$${\displaystyle \mathbb {Z} /{\sim }.}$
• を非ゼロの整数の順序付きペアの集合とし、上の同値関係を定義して、 である場合に限り、ペアの同値類を有理数と同一視でき、この同値関係とその同値類を使って有理数集合の正式な定義を与えることができる。^[7]同じ構成を任意の整域の分数体に一般化することができる。${\displaystyle X}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle b,}$${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}$${\displaystyle ad=bc,}$${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a/b,}$
• が、たとえばユークリッド平面のすべての直線で構成され、 がと が平行な直線であることを意味する場合、直線 がそれ自身 と平行であると見なされる限り、互いに平行な直線の集合は同値類を形成します。この状況では、各同値類は無限遠点 を決定します。${\displaystyle X}$${\displaystyle L\sim M}$${\displaystyle L}$${\displaystyle M}$

無向グラフは、頂点が の要素であり、2 つの頂点がの場合にのみ結合される集合上の任意の対称関係に関連付けることができます。これらのグラフの中には、同値関係のグラフがあります。これらのグラフはクラスターグラフと呼ばれ、接続されたコンポーネントがクリークであるグラフとして特徴付けられます。^[2]${\displaystyle X,}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle s\sim t.}$

が上の同値関係であり、が真であるときはいつでもが真であるようなの要素の性質である場合、その性質はの不変量である、または関係の下で明確に定義されていると言われる。${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\sim y,}$ ${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle P(y)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \,\sim \,,}$${\displaystyle \,\sim .}$

よくある特殊なケースとして、 が から別の集合 への関数である場合が挙げられます。 のときはいつでも、 はに対してクラス不変である、または単に に対して不変であると言われます。 これは、たとえば有限群のキャラクタ理論で発生します。 一部の著者は、「に対して不変」という代わりに、「 と互換性がある」または単に「 を尊重する」を使用します。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)}$${\displaystyle x_{1}\sim x_{2},}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \,\sim \,,}$ ${\displaystyle \,\sim .}$${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle \,\sim \,}$

任意の関数は 、の同値類が に写像されるすべての要素の集合である。つまり、クラスはの逆像である。この同値関係はの核として知られている。${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \,\sim \,,}$${\displaystyle x_{1}\sim x_{2}}$${\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right).}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x),}$${\displaystyle [x]}$${\displaystyle f(x).}$${\displaystyle f.}$

より一般的には、関数は（上の同値関係の下で）同値な引数を（上の同値関係の下で）同値な値に写像することがあります。このような関数は、同値関係を備えた集合の 射です。${\displaystyle \sim _{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sim _{Y}}$${\displaystyle Y}$

位相幾何学において、商空間とは、元の空間の位相を使用して同値類の集合上の位相を作成し、位相空間上の同値関係の同値類の集合上に形成される 位相空間です。

抽象代数では、代数の基礎となる集合上の合同関係によって、その代数から関係の同値類上の代数を誘導することができ、これを商代数と呼ぶ。線型代数では、商空間は商群を取ることによって形成されるベクトル空間であり、ここで商準同型は線型写像である。拡張すると、抽象代数では、商空間という用語は、商加群、商環、商群、または任意の商代数に使用されることがある。しかし、より一般的なケースでのこの用語の使用は、群作用の軌道との類推による場合が多い。

集合に対する群作用の軌道は、特に、群作用の軌道が、群の部分群の右剰余類である場合、すなわち、部分群の群に対する左平行移動による作用から生じる場合、または、それぞれ、右平行移動による軌道としての左剰余類である場合、集合に対する作用の商空間と呼ばれることがあります。

位相群の正規部分群は、並進作用によって群に作用し、位相、抽象代数、群作用の意味で同時に商空間となります。

この用語は、あらゆる同値関係の同値類の集合に使用でき、さらに構造が加えられる可能性もありますが、この用語を使用する意図は、集合上の同値関係のタイプを、同種の構造から同値類の集合に何らかの構造を誘導する同値関係、または群作用の軌道と比較することです。同値関係によって保存される構造の意味と、群作用下での不変量の研究の両方が、上記の同値関係の不変量の定義につながります。 ${\displaystyle X,}$${\displaystyle X,}$

• 同値分割法は、ソフトウェアテストにおいて、プログラム入力の可能性を、それらの入力に対するプログラムの動作に応じて同値クラスに分割することに基づいてテストセットを作成する方法である。
• 同次空間、リー群の商空間
• 部分同値関係 – オブジェクトを比較するための数学的概念
• 同値関係による商 – 同値類のスキーム理論への一般化
• Setoid  – 同値関係を持つ集合の数学的構成
• 横断的（組合せ論）  - 集合族のすべてと交差する集合

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• オリアリー（2003）『証明の構造：論理と集合論』プレンティス・ホール
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• ボンド『抽象数学入門』ブルックス/コール
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• アッシュ、抽象数学入門、MAA

• ウィキメディア・コモンズの同値類に関連するメディア