地図（数学）

数学において、地図やマッピングは一般的な意味では関数です。 ^[1]これらの用語は、地球の表面を一枚の紙にマッピングする地理地図を 作成するプロセスから生まれたと考えられます。 ^[2]

マップという用語は、準同型などの特別なタイプの関数を区別するために使用されることがあります。たとえば、線型マップはベクトル空間の準同型であり、線型関数という用語はこの意味を持つこともあれば、線型多項式を意味することもあります。^{[3] [4]}圏理論では、マップは射を指す場合があります。^[2]変換という用語は同じ意味で使用できますが、 ^[2]変換は集合から集合自体への関数を指すことがよくあります。論理学とグラフ理論でも、あまり一般的ではない用法がいくつかあります。

数学の多くの分野では、マップという用語は関数を意味するために使用され、^{[5] [6] [7] 、}その分野にとって特に重要な特定の特性を伴うこともあります。たとえば、「マップ」は位相幾何学における「連続関数」、線型代数における「線形変換」などです。

セルジュ・ラング^[8]などの著者は、「関数」という言葉を、共域が数の集合（つまり、 RまたはCのサブセット）である写像を指すためにのみ使用し、より一般的な関数に対してはマッピングという用語を使用しています。

ある種の写像には特定の名前が付けられている。これには代数学における準同型写像、幾何学における等長写像、解析学における演算子、群論における表現などが含まれる。^[2]

力学系の理論では、マップは離散的な力学系を作成するために使用される進化関数を表します。

部分写像は部分関数です。ドメイン、コドメイン、単射、連続などの関連用語は、同じ意味で写像と関数に等しく適用できます。これらすべての用法は、一般的な関数として、または特別なプロパティを持つ関数として「写像」に適用できます。

圏論では、「写像」は「射」や「矢印」の同義語としてよく使われる。これらは構造を尊重する関数なので、「関数」よりも多くの構造を暗示することがある。 ^[9]たとえば、具体的な圏における射（つまり関数として見ることができる射）は、その定義域（射の元）とその共域（対象の）の情報を持っている。広く使われている関数 の定義では、は のすべてのペアからなるの部分集合である。この意味で、関数 は共域として使われる集合を捉えるのではなく、関数によって決まるのは範囲だけである。 ${\displaystyle f:\,X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle (x,f(x))}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f(X)}$

• 関数の適用 – 関数とその引数を関数値にマッピングする関数
• 矢印表記– 例: 、マップとも呼ばれる${\displaystyle x\mapsto x+1}$
• 全単射、単射、全射 – 数学関数の性質
• 同相写像 – 与えられた空間のすべての位相的性質を保存する写像
• カオスマップ一覧
• Maplet 矢印 (↦) – 一般的に「maps to」と発音されます
• 写像類群 – 位相自己同型群の同位類群
• 順列群 – 順列の合成を演算とする群
• 正則写像（代数幾何学）  – 代数多様体の写像

• ハルモス、ポール R. (1970)。素朴な集合理論。スプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-0-387-90092-6。