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数学において、記号力学とは、抽象的な記号の無限列からなる離散空間上で定義される力学系の研究である。力学系の進化は、その列の単純なシフトとして定義される。
こうしたシステムは、明示的かつ離散的な性質を持つため、特性を把握し理解することが比較的容易です。多くの重要なケースにおいて、より一般的な力学系のダイナミクスを記号系に還元できるため、位相的または滑らかな力学系を研究するための重要なツールとなります。そのためには、マルコフ分割を用いて滑らかなシステムの有限カバーを作成します。カバーの各集合は単一の記号に対応付けられ、システムの軌跡が1つのカバー集合から別のカバー集合へと移動するにつれて、記号のシーケンスが生成されます。
このアイデアは、ジャック・アダマールが1898年に発表した負曲率曲面上の測地線に関する論文に遡ります。[ 1 ] 1921年にマーストン・モースが非周期的な再帰測地線の構築に応用しました。関連する研究は、1924年にエミール・アルティン（現在アルティン・ビリヤードと呼ばれるシステム）、ペッカ・ミルベリ、ポール・ケーベ、ヤコブ・ニールセン、GA・ヘドルンドによって行われました。
最初の正式な扱いは、モースとヘドルンドが1938年の論文で開発しました。[ 2 ]ジョージ・バーコフ、ノーマン・レビンソン、メアリー・カートライトとJEリトルウッドのペアは、非自律的な2階微分方程式の定性分析に同様の方法を適用しました。
クロード・シャノンは、 1948年の論文「情報理論の誕生につながった通信の数学的理論」の中で、記号列と有限型のシフトを使用しました。
1960年代後半、記号力学の手法はロイ・アドラーとベンジャミン・ワイスによって双曲トーラス自己同型写像に発展し[ 3 ]、ヤコフ・シナイによってアノソフ微分同相写像に発展した。シナイは記号モデルを用いてギブス測度を構築した[ 4 ] 。1970年代初頭には、この理論はマリーナ・ラトナーによってアノソフ流に、ルーファス・ボーエンによって公理A微分同相写像と流に拡張された。
記号力学の手法の素晴らしい応用例として、区間からその区間への連続写像の周期軌道に関するシャルコフスキーの定理（1964年）が挙げられる。
2つの記号0と1に関する両側無限数列の集合を考えます。この集合の典型的な要素は次のようになります。(..., 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, ... )
シフト写像の下では、固定点は正確に 2 つ存在します。それは、すべて 0 の列と、すべて 1 の列です。周期的な数列は周期的な軌道を持ちます。例えば、数列 (..., 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...) は周期 2 を持ちます。
ヘテロクリニック軌道やホモクリニック軌道といったより複雑な概念も、このシステムでは簡潔に説明できます。例えば、有限個の1しか含まない数列はホモクリニック軌道を持ち、順方向および逆方向の反復においてすべて0の数列に収束します。
分割に関する点の経路は記号のシーケンスである。それは点の動態を記述する。[ 5 ]
記号力学は、一般的な力学系を研究するための手法として始まりました。現在では、その技術と概念は、データストレージと伝送、線形代数、惑星の運動、その他多くの分野で重要な応用が見出されています。記号力学の際立った特徴は、時間が離散的な間隔で測定されることです。つまり、各時間間隔において、システムは特定の状態にあります。各状態は記号と関連付けられ、システムの進化は無限の記号列（実質的には文字列として表現される）によって記述されます。システムの状態が本質的に離散的でない場合は、システムの粗視化記述を得るために、状態ベクトルを離散化する必要があります。