測地線

幾何学において、測地線（ / ˌ dʒ iː . ə ˈ d ɛ s ɪ k , - oʊ - , - ˈ d iː s ɪ k , - z ɪ k /）^{[1] [2]}は、ある意味では面内、またはより一般的にはリーマン多様体内の2点間の最短経路（弧）を表す^曲線である。この用語は、接続を持つ任意の微分可能多様体においても意味を持つ 。これは「直線」の概念を一般化したものである。

名詞のgeodesicと形容詞のgeodetic は、地球の大きさと形を測定する科学であるgeodesyに由来していますが、その根底にある原理の多くは、あらゆる楕円体幾何学に応用できます。本来の意味では、測地線は地球表面上の 2 点間の最短経路でした。球形の地球の場合、測地線は大円の一部です(大円距離も参照)。この用語はその後、より抽象的な数学的空間に一般化されました。たとえば、グラフ理論では、グラフの 2 つの頂点/ノード間の測地線を考えることがあります。

リーマン多様体または部分多様体では、測地線は測地線曲率がゼロであるという特性によって特徴付けられます。より一般的には、アフィン接続が存在する場合、測地線は、その曲線に沿って移動しても接ベクトルが平行のままである曲線として定義されます。これをリーマン計量のレヴィ-チヴィタ接続に適用すると、以前の概念が復元されます。

測地線は一般相対性理論において特に重要です。一般相対性理論における時間的測地線は、自由落下する 試験粒子の運動を記述します。

曲がった空間（^[a]はリーマン多様体と仮定）内の与えられた 2 点間の局所的に最短の経路は、曲線の長さの方程式（ Rの開区間から空間への関数f ）を使用し、次に変分法を使用して点間の長さを最小化することで定義できます。これには、最短経路をパラメータ化するさまざまな方法の無限次元空間が存在するため、いくつかの小さな技術的問題があります。曲線の集合を「一定速度」1 でパラメータ化される曲線に制限する方が簡単です。これは、曲線に沿ったf ( s )からf ( t ) までの距離が | s − t | に等しいことを意味します。同様に、曲線のエネルギーと呼ばれる別の量を使用することもできます。エネルギーを最小化すると、測地線に対する同じ方程式が導かれます（ここで「一定速度」は最小化の結果です）。^{[要出典]直感的には、2 点間に張られた}ゴムバンドは幅が縮み、その際にエネルギーが最小化されることに注目することで、この 2 番目の定式化を理解できます。結果として得られるバンドの形状は測地線です。

球面上の正反対の 2 点の場合のように、2 点間の複数の異なる曲線によって距離が最小になる場合があります。このような場合、これらの曲線はいずれも測地線です。

測地線の連続した線分もまた測地線です。

一般的に、測地線は 2 点間の「最短曲線」とは異なりますが、この 2 つの概念は密接に関連しています。違いは、測地線は点間の最短距離を局所的に表すだけであり、「一定の速度」でパラメータ化される点です。球面上の 2 点間の大円を「遠回り」することは測地線ですが、点間の最短経路ではありません。実数直線上の単位間隔からそれ自体へのマップは 0 と 1 の間の最短経路を提供しますが、点の対応する動きの速度が一定ではないため測地線ではありません。 ${\displaystyle t\to t^{2}}$

測地線は、リーマン幾何学、より一般的には計量幾何学の研究でよく見られます。一般相対性理論では、時空における測地線は、重力の影響のみを受けた点粒子の運動を記述します。特に、落下する岩石、周回衛星、または惑星軌道の形状は、すべて曲がった時空における測地線^{[b]です。より一般的には、}サブリーマン幾何学のトピックは、物体が自由ではなく、さまざまな方法で動きが制限されているときに物体が取る可能性のある経路を扱います。

この記事では、リーマン多様体の場合に測地線の定義、発見、存在証明に関わる数学的形式主義について説明します。記事「レヴィ-チヴィタ接続」では擬似リーマン多様体のより一般的なケースについて説明し、 「測地線 (一般相対性理論)」では一般相対性理論の特殊なケースについてより詳細に説明します。

最もよく知られている例は、ユークリッド幾何学における直線です。 球面上では、測地線の像は 大円です。球面上の点Aから点Bへの最短経路は、点 Aと点Bを通る大円の短い方の弧で与えられます。AとBが対蹠点である場合、それらの間の最短経路は無限にあります。 楕円体上の測地線は、球面上よりも複雑な動作をします。特に、一般に閉じていません (図を参照)。

測地線三角形は、与えられた表面上の 3 点の各ペアを結ぶ測地線によって形成されます。球面上では、測地線は大円弧となり、球面三角形を形成します。

計量幾何学において、測地線とは、局所的にどこでも距離が最小となる曲線のことである。より正確には、実数区間Iから計量空間Mへの曲線 γ  : I → Mが測地線であるとは、定数v ≥ 0が存在し、任意のt ∈ Iに対して、 I内のtの近傍J が存在し、任意のt ₁、  t ₂ ∈ Jに対して、次が成り立つ ような場合である。

${\displaystyle d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=v\left|t_{1}-t_{2}\right|.}$

これはリーマン多様体に対する測地線の概念を一般化したものである。しかし、計量幾何学では、考慮される測地線はしばしば自然なパラメータ化を備えている。すなわち、上記の恒等式ではv  = 1であり、

${\displaystyle d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=\left|t_{1}-t_{2}\right|.}$

最後の等式がすべてのt ₁、t ₂ ∈ Iに対して満たされる場合、測地線は最小測地線または最短経路と呼ばれます。

一般に、距離空間には定数曲線を除いて測地線が存在しない場合があります。反対に、長さ距離空間内の任意の 2 点は、最小化可能なパスのシーケンスによって接続されますが、この最小化シーケンスは測地線に収束する必要はありません。距離ホップ-リノウ定理は、長さ空間が自動的に測地線空間となる状況を提供します。

多様体ではないことが多い測地距離空間の一般的な例としては、距離グラフ、（局所的にコンパクトな）距離多面体複合体、無限次元プレヒルベルト空間、実数木などがあります。

計量テンソルgを持つリーマン多様体 Mにおいて、連続的に微分可能な曲線 γ : [ a , b ] →  Mの長さLは次のように定義される。

${\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,dt.}$

Mの2 点pとq の間の距離d ( p ,  q )は、γ( a ) =  pかつγ( b ) =  qとなる連続的で区分的に連続的に微分可能な曲線 γ : [ a , b ] →  Mすべてにわたる長さの最小値として定義されます。リーマン幾何学では、すべての測地線は局所的に距離を最小化する経路ですが、その逆は成り立ちません。実際、局所的に距離を最小化し、弧の長さに比例してパラメータ化される経路だけが測地線です。リーマン多様体上の測地線を定義する別の同等の方法は、次の作用またはエネルギー関数の最小値として定義することです。

${\displaystyle E(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt.}$

Eのすべての最小値はLの最小値でもあるが、Lの最小値である経路は任意に再パラメータ化できる（長さを変えずに）のに対し、Eの最小値はそれができないため、 L はより大きな集合である。区分曲線（より一般的には曲線）の場合、コーシー・シュワルツの不等式は次のようになる。 ${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle W^{1,2}}$

${\displaystyle L(\gamma )^{2}\leq 2(ba)E(\gamma )}$

が定数 ae に等しい場合のみ等式となり、経路は一定速度で移動する必要があります。 の最小化関数はも最小化します。これは、 がアフィンパラメータ化され、不等式が等式であることが判明したためです。 このアプローチの有用性は、Eの最小化関数を求める問題がより堅牢な変分問題であることです。 実際、Eは の「凸関数」であるため、「合理的な関数」の各同位体クラス内では、最小化関数の存在、一意性、および規則性が期待されます。 対照的に、関数の「最小化関数」は、任意の再パラメータ化が許可されているため、一般にあまり規則的ではありません。 ${\displaystyle g(\ガンマ ',\ガンマ ')}$${\displaystyle E(\gamma )}$${\displaystyle L(\gamma )}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle L(\gamma )}$

関数Eのオイラー・ラグランジュの運動方程式は、局所座標で次のように表される。

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}=0,}$

ここで、はメトリックのクリストッフェル記号です。これは、以下で説明する測地線方程式です。 ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$

古典的な変分法の手法はエネルギー関数Eを調べるために適用できる。エネルギーの最初の変分は局所座標で次のように定義される。

${\displaystyle \delta E(\gamma )(\varphi )=\left.{\frac {\partial }{\partial t}}\right|_{t=0}E(\gamma +t\varphi ). }$

最初の変分の 臨界点はまさに測地線である。2番目の変分は次のように定義される。

${\displaystyle \delta ^{2}E(\gamma )(\varphi ,\psi )=\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\,\partial t}}\right|_{s=t=0}E(\gamma +t\varphi +s\psi ).}$

適切な意味では、測地線 γ に沿った第 2 変分の零点はヤコビ場に沿って発生します。したがって、ヤコビ場は測地線を通る変分とみなされます。

古典力学の変分法を適用することで、測地線をハミルトン流とみなすこともできます。測地線は、 （擬似）リーマン計量をハミルトンとしてとった、関連するハミルトン方程式の解です。

アフィン接続∇を持つ滑らかな多様体M上の測地線は、曲線γ( t ) として定義され、曲線に沿った平行移動は曲線の接線ベクトルを保存するので、

曲線に沿った各点において、 はに関する微分です。より正確には、 の共変微分を定義するには、まず開集合内の連続的に微分可能なベクトル場に拡張する必要があります。ただし、( 1 )の結果の値は、拡張の選択とは無関係です。 ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$

M上の局所座標を用いると、測地線方程式は（和の規則を用いて）次のように 書ける。

${\displaystyle {\frac {d^{2}\gamma ^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {d\gamma ^{\mu }}{dt}}{\frac {d\gamma ^{\nu }}{dt}}=0\ ,}$

ここで、 は曲線 γ( t ) の座標であり、は接続 ∇ のChristoffel 記号です。 これは、座標の常微分方程式です。 初期位置と初期速度が与えられた場合、一意の解があります。 したがって、古典力学の観点からは、測地線は多様体内の自由粒子の軌跡と考えることができます。 実際、この方程式は、曲線の加速度ベクトルに表面の方向の成分がないことを意味します(したがって、曲線の各点で表面の接線平面に垂直です)。 したがって、動きは表面の曲がりによって完全に決定されます。 これは、粒子が測地線上を移動し、曲がりが重力によって引き起こされるという一般相対性理論の考え方でもあります。 ${\displaystyle \gamma ^{\mu }=x^{\mu }\circ \gamma (t)}$${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$${\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0}$

測地線の局所的存在および一意性定理は、アフィン接続を持つ滑らかな多様体上の測地線が存在し、一意であるということを述べています。より正確には、

Mの任意の点pとT _p M（pにおけるMの接空間）の任意のベクトルVに対して、唯一の測地線I → Mが 存在し 、${\displaystyle \gamma \,}$

${\displaystyle \gamma (0)=p\,}$そして

${\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=V,}$

ここで、I は0 を含むRの最大開区間です。

この定理の証明は、 測地線方程式が2階常微分方程式であることに着目することで、常微分方程式の理論から得られます。存在と一意性は、規定された初期条件を持つ常微分方程式の解に対するピカール・リンデレーフの定理から得られます。γ はpと V の両方に滑らかに依存します。

一般に、I はR ²内の開円板などの場合のようにR全体ではない場合があります。任意のγ がR全体に拡張されるのは、Mが測地完備である場合に限ります。

測地線フローは、次のように定義される 多様体Mの接線束TM上の局所R作用である。

${\displaystyle G^{t}(V)={\dot {\gamma }}_{V}(t)}$

ここでt  ∈  R、V  ∈  TMであり、初期データ を持つ測地線を表します。したがって、 はベクトルtVの指数写像です。測地線フローの閉じた軌道は、 M上の 閉じた測地線に対応します。${\displaystyle \gamma_{V}}$${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{V}(0)=V}$${\displaystyle G^{t}(V)=\exp(tV)}$

（擬）リーマン多様体上では、測地線フローは余接束上のハミルトンフローと同一視される。ハミルトンは、（擬）リーマン計量の逆関数として与えられ、標準一形式に対して評価される。特に、フローは（擬）リーマン計量を保存する。すなわち、 ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g(G^{t}(V),G^{t}(V))=g(V,V).\,}$

特に、Vが単位ベクトルのとき、全体にわたって単位速度のままなので、測地線フローは単位接線束に接します。 リウヴィルの定理は、単位接線束上の運動学的測度の不変性を意味します。 ${\displaystyle \gamma_{V}}$

測地線フローは、接線バンドル内の曲線の族を定義します。これらの曲線の導関数は、測地線スプレーと呼ばれる接線バンドルの全空間 上のベクトル場を定義します。

より正確には、アフィン接続により、二重接線束TT Mが水平束と垂直束に分割される。

${\displaystyle TTM=H\oplus V.}$

測地線スプレーは、 Wが満たす 唯一の水平ベクトル場である。

${\displaystyle \pi _{*}W_{v}=v\,}$

各点v  ∈ T Mにおいて、π _∗  : TT M  → T M は接線束に関連付けられた 射影π  : T M  →  Mに沿った押し出し（微分）を表します。

より一般的には、同じ構成により、接束上の任意のエーレスマン接続のベクトル場を構築できます。結果として得られるベクトル場がスプレー（削除された接束 T M  \ {0} 上）になるためには、接続が正の再スケーリングに対して同変であれば十分です。接続は線形である必要はありません。つまり、（エーレスマン接続#ベクトル束と共変微分を参照）水平分布が次を満たしていれば十分です 。

${\displaystyle H_{\lambda X}=d(S_{\lambda })_{X}H_{X}\,}$

あらゆるX  ∈ T M  \ {0} かつ λ > 0 に対して成り立つ。ここでd ( S _λ ) はスカラー相似性に沿った押し出しである。このようにして生じる非線形接続の特別なケースは、フィンスラー多様 体に関連するものである。 ${\displaystyle S_{\lambda }:X\mapsto \lambda X.}$

式（１）はアフィン再パラメータ化に対して不変である。つまり、

${\displaystyle t\mapsto at+b}$

ここで、aとbは定数の実数である。したがって、特定のクラスの埋め込み曲線を指定することとは別に、測地線方程式は各曲線上のパラメータ化の優先クラスも決定する。したがって、( 1 )の解はアフィンパラメータを持つ測地線と呼ばれる。

アフィン接続は、ねじれを除いたアフィンパラメータ化された測地線の族によって決定される（Spivak 1999、第6章、補遺I）。実際には、測地線方程式は接続の対称部分にのみ依存するため、ねじれ自体は測地線の族に影響を与えない。より正確には、差テンソルが ${\displaystyle \nabla ,{\bar {\nabla }}}$

${\displaystyle D(X,Y)=\nabla _{X}Y-{\bar {\nabla }}_{X}Y}$

が歪対称 である場合、と は同じ測地線を持ち、同じアフィンパラメータ化を持ちます。さらに、 と同じ測地線を持ち ながら捩れがゼロになる唯一の接続が存在します。 ${\displaystyle \nabla}$${\displaystyle {\bar {\nabla }}}$${\displaystyle \nabla}$

特定のパラメータ化のない測地線は射影接続によって記述されます。

表面上の最小測地線問題に対する効率的なソルバーは、Mitchell、^[3] Kimmel、^[4] Crane、^[5]らによって提案されている。

リボン「テスト」は、物理的な表面上の測地線を見つける方法です。^[6]そのアイデアは、リボンを伸ばしたり押しつぶしたりせずに（内部の形状を変えずに）、できるだけ曲面上に紙片を直線（リボン）の周りに当てはめるというものです。

たとえば、リボンを円錐の周りにリング状に巻くと、リボンは円錐の表面上にはみ出さず、突き出るため、その円は円錐上の測地線にはなりません。リボンのすべての部分が円錐の表面に触れるように調整すると、測地線に近似します。

数学的には、リボン テストは、平面上の直線の近傍を面へマッピングして、そのマッピングによって「周囲の距離があまり変わらない」ようにすることとして定式化できます。つまり、からの距離では、 となり、 およびは、および上の測定基準です。 ${\displaystyle f:N(\ell )\to S}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle l}$${\displaystyle g_{N}-f^{*}(g_{S})=O(\varepsilon ^{2})}$${\displaystyle g_{N}}$${\displaystyle g_{S}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle S}$

最短経路の考え方は本質的には幾何学的ですが、非常に一般的なため、ほぼすべての科学、およびその他の分野でも広く使用されています。

• 負のオイラー特性を持つ曲面では、任意の（自由な）ホモトピー類は双曲計量に対する唯一の（閉じた）測地線を決定します。これらの測地線は、写像類の作用の幾何学的理解に大きく貢献します。
• 測地距離空間と長さ空間は、等長群作用（Švarc-Milnor 補題、Hopf-Rinow 定理、Morse 補題など）と特によく動作します。これらは、リーマン幾何学の結果を群の幾何学を反映する構成に一般化するための適切なフレームワークであることがよくあります。たとえば、グロモフ双曲性は測地線の三角形の薄さの観点から理解でき、CAT(0) は測地線間の角度の観点から記述できます。

• 最適輸送は、測度空間内で測地線経路を見つける問題として理解できます。
• 情報幾何学では、カルバック・ライブラー距離などの距離はリーマン計量と類似した役割を果たし、接続や測地線の類推を可能にします。

• 古典力学では、軌道はハミルトン・ヤコビ方程式に従ってエネルギーを最小化します。これは測地線に似た考え方と見なすことができます。特殊なケースでは、2つの概念は実際に一致します。
• 相対性理論では、時空をローレンツ多様体としてモデル化し、光はローレンツ測地線に従います。

• 神経系が筋肉の動きを最適化する仕組みを研究するには、身体の構成空間に努力を測定するリーマン計量を与え、測地学の観点から問題を表現すればよい。^[7]
• 測地距離はニューロン内の信号伝播経路の長さを測定するためによく使用されます。^[8]
• 巨大分子の測地線構造はタンパク質フォールドの研究において重要な役割を果たしている。^[9]

測地線は以下の計算の基礎として役立ちます。

• 測地線機体。測地線機体または測地線機体を参照
• 測地構造物 - 例えば測地ドーム
• 地球上または地球付近の水平距離。地球測地線を参照
• レンダリング用に表面上に画像をマッピングします。UVマッピングを参照してください。
• ロボットの動作計画（例：自動車部品の塗装時）；最短経路問題を参照
• ポアソン面再構成における測地最短経路（GSP）補正（デジタル歯科など）; GSP再構成を行わないと、面内で自己交差が生じることが多い

• スピヴァック、マイケル（1999）、微分幾何学の包括的入門（第2巻）、ヒューストン、テキサス州：Publish or Perish、ISBN 978-0-914098-71-3

• アドラー、ロナルド、バザン、モーリス、シファー、メナヘム（1975）、一般相対性理論入門（第2版）、ニューヨーク：マグロウヒル、ISBN 978-0-07-000423-8第2章を参照してください。
• アブラハム、ラルフ H. ;マースデン、ジェロルド E. (1978)、力学の基礎、ロンドン：ベンジャミン・カミングス、ISBN 978-0-8053-0102-1セクション2.7を参照してください。
• ヨスト、ユルゲン（2002）、リーマン幾何学と幾何学解析、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-3-540-42627-1セクション1.4を参照してください。
• 小林昭七、野水克己（1996）、微分幾何学の基礎、第1巻（新版）、Wiley-Interscience、ISBN 0-471-15733-3。
• ランダウ、LD ;リフシッツ、EM (1975)、古典場の理論、オックスフォード：ペルガモン、ISBN 978-0-08-018176-9セクション87を参照してください。
• ミスナー、チャールズ W. ;ソーン、キップ;ウィーラー、ジョン・アーチボルド(1973)、『重力』、WH フリーマン、ISBN 978-0-7167-0344-0
• オルティン、トーマス (2004)、重力と弦、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-82475-0特に7ページと10ページに注意してください。
• Volkov, Yu.A. (2001) [1994]、「測地線」、数学百科事典、EMS Press。
• ワインバーグ、スティーブン（1972）、重力と宇宙論：一般相対性理論の原理と応用、ニューヨーク：ジョン・ワイリー＆サンズ、ISBN 978-0-471-92567-5第3章を参照してください。

• 測地線の再考 — 測地線方程式の 2 つの導出方法を含む測地線の紹介。幾何学 (球面上とトーラス上の測地線)、力学 (最速降下線)、光学 (不均質媒体内の光線) への応用。
• 多様体アトラスにおける完全測地線部分多様体