コクセターグループ

数学において、コクセター群は、HSMコクセターにちなんで名付けられ、反射（または万華鏡のような鏡）による形式的な記述が可能な 抽象群である。実際、有限コクセター群はまさに有限ユークリッド反射群である。たとえば、各正多面体の対称群は有限コクセター群である。しかし、すべてのコクセター群が有限であるわけではなく、すべてが対称性やユークリッド反射で記述できるわけでもない。コクセター群は1934年に反射群の抽象化として導入され、^[1]有限コクセター群は1935年に分類された。^[2]

コクセター群は数学の多くの分野で応用されています。有限コクセター群の例には、 正多面体の対称群や単純リー代数のワイル群などがあります。無限コクセター群の例には、ユークリッド平面と双曲平面の正則なモザイクに対応する三角形群や、無限次元カッツ・ムーディ代数のワイル群などがあります。^{[3] [4] [5]}

正式には、コクセター群は、表現が

${\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle }$

ここで、 およびは整数またはの場合です。ここで、条件は、任意の整数に対して の形式の関係が課されないことを意味します。 ${\displaystyle m_{ii}=1}$${\displaystyle m_{ij}=m_{ji}\geq 2}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle m_{ij}=\infty }$${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{m}=1}$${\displaystyle m\geq 2}$

が生成元を持つ Coxeter 群であるペアは、 Coxeter システムと呼ばれます。一般にはがによって一意に決定されないことに注意してください。たとえば、タイプとの Coxeter 群は同型ですが、Coxeter システムは同等ではありません。これは、前者は 3 つの生成元を持ち、後者は 1 + 3 = 4 つの生成元を持つためです (この表記法の説明については以下を参照してください)。 ${\displaystyle (W,S)}$${\displaystyle W}$${\displaystyle S=\{r_{1},\dots ,r_{n}\}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle W}$${\displaystyle B_{3}}$${\displaystyle A_{1}\times A_{3}}$

上記の定義から、すぐにいくつかの結論を導き出すことができます。

• 関係は、すべての に対してとなることを意味します。 したがって、生成元は反転です。${\displaystyle m_{ii}=1}$${\displaystyle (r_{i}r_{i})^{1}=(r_{i})^{2}=1}$${\displaystyle i}$
• ならば、生成元と生成元は可換である。これは、次のことを観察することによって導かれる。${\displaystyle m_{ij}=2}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle r_{j}}$

${\displaystyle xx=yy=1}$、

と共に

${\displaystyle xyxy=1}$

は、

${\displaystyle xy=x(xyxy)y=(xx)yx(yy)=yx}$。

あるいは、生成子は反転なので、となります。つまり、との交換子は1 に等しく、またはそれと同等に とは交換可能です。${\displaystyle r_{i}=r_{i}^{-1}}$${\displaystyle 1=(r_{i}r_{j})^{2}=r_{i}r_{j}r_{i}r_{j}=r_{i}r_{j}r_{i}^{-1}r_{j}^{-1}}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle r_{j}}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle r_{j}}$

定義に 「for」が規定されている理由は 、${\displaystyle m_{ij}=m_{ji}}$${\displaystyle i\neq j}$

${\displaystyle yy=1}$、

と共に

${\displaystyle (xy)^{m}=1}$

すでに

${\displaystyle (yx)^{m}=(yx)^{m}yy=y(xy)^{m}y=yy=1}$。

この含意の別の証明は、と が共役であるという観察です。確かに です。 ${\displaystyle (xy)^{k}}$${\displaystyle (yx)^{k}}$${\displaystyle y(xy)^{k}y^{-1}=(yx)^{k}yy^{-1}=(yx)^{k}}$

コクセター行列は、要素を持つ対称行列です。実際、セット内の対角要素が 1 のみで非対角要素を持つすべての対称行列は、コクセター行列です。 ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle m_{ij}}$${\displaystyle \{2,3,\ldots \}\cup \{\infty \}}$

Coxeter 行列は、次の規則に従って、 Coxeter 図によって簡単にエンコードできます。

• グラフの頂点には生成子の添え字が付けられます。
• 頂点と頂点が隣接しているのは、次の場合のみです。${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle m_{ij}\geq 3}$
• 値が 以上の場合には、エッジには の値のラベルが付けられます。${\displaystyle m_{ij}}$${\displaystyle 4}$

特に、2 つの生成子は、辺で結合されていない場合にのみ可換です。さらに、Coxeter グラフに 2 つ以上の連結コンポーネントがある場合、関連付けられたグループは、個々のコンポーネントに関連付けられたグループの直積です。したがって、 Coxeter グラフの非結合和は、 Coxeter グループの 直積を生成します。

コクセター行列 は、 を要素とするシュレーフリ行列と関連していますが、要素は、ペアワイズ生成子のドット積に比例するように変更されています。 シュレーフリ行列は、その固有値によってコクセター群が有限型(すべて正)、アフィン型(すべて非負、少なくとも 1 つのゼロ)、または不定型(それ以外) のいずれであるかが決まる点で便利です。 不定型は、たとえば双曲型コクセター群と他のコクセター群にさらに細分化されることがあります。 ただし、双曲型コクセター群には、同等ではない定義が複数あります。 ${\displaystyle M_{ij}}$${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle C}$${\displaystyle C_{ij}=-2\cos(\pi /M_{ij})}$

頂点から までが一列に並び、各頂点がラベルのない辺によってそのすぐ隣の頂点と結ばれているグラフは、対称群の Coxeter 図です。生成元は転置に対応します。任意の 2 つの非連続な転置は可換ですが、2 つの連続する転置を乗算すると 3 サイクル が得られます。したがって、はCoxeter 図 を持つ Coxeter 群の商です。さらに議論すると、この商写像は同型であることが示されます。 ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle 1}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S_{n+1}}$ ${\displaystyle (1~~2),(2~~3),\dots ,(n~~n+1)}$${\displaystyle (k~~k+1)\cdot (k+1~~k+2)=(k~~k+2~~k+1)}$${\displaystyle S_{n+1}}$${\displaystyle A_{n}}$

コクセター群は反射群を抽象化したものです。コクセター群は、表現によって与えられるという意味で抽象群です。一方、反射群は、各要素がユークリッド空間内の線型超平面に関する有限個の幾何学的反射の合成であるという意味で具体的です。技術的には、反射群は、行列式が -1 の直交行列によって生成される線型群(またはさまざまな一般化) の部分群です。コクセター群の各生成元は位数 2 で、反射を 2 回実行することが恒等行列であるという幾何学的事実を抽象化しています。形式 の各関係は、角度 で交わる2 つの超平面がある場合、これらの超平面に関する 2 つの反射の合成は による回転であり、位数kであるという幾何学的事実に対応しています。 ${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{k}}$${\displaystyle \pi /k}$${\displaystyle 2\pi /k}$

このようにして、すべての反射群はコクセター群として表すことができます。^[1]逆は部分的に真です。すべての有限コクセター群は、あるユークリッド空間の有限反射群として忠実に表現できます。 [ ^2] しかし、すべての無限コクセター群が反射群として表現できるわけではありません。

有限コクセター群は分類されている。^[2]

有限コクセター群はコクセター図に基づいて分類される。^[2]

連結コクセター図を持つ有限コクセター群は、増加する次元の 1 パラメータ族 3 つ (の場合、の場合、 の場合)、次元 2 の 1 パラメータ族 1 つ (の場合)、および 6 つの例外群 (および) から構成されます。すべての有限コクセター群は、有限個のこれらの既約群の直積です。^[a]${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle D_{n}}$${\displaystyle n\geq 4}$${\displaystyle I_{2}(p)}$${\displaystyle p\geq 5}$${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},H_{3},}$${\displaystyle H_{4}}$

これらの多くはワイル群であるが、すべてではない。また、すべてのワイル群はコクセター群として実現できる。ワイル群は、族とおよび例外とであり、ワイル群表記では次のように表記される。${\displaystyle A_{n},B_{n},}$${\displaystyle D_{n},}$${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},}$${\displaystyle I_{2}(6),}$${\displaystyle G_{2}.}$

非ワイル群とは、例外のと 、およびワイル群に例外的に同型ではない族のメンバー（つまりと）です。 ${\displaystyle H_{3}}$${\displaystyle H_{4},}$${\displaystyle I_{2}(p)}$${\displaystyle I_{2}(3)\cong A_{2},I_{2}(4)\cong B_{2},}$${\displaystyle I_{2}(6)\cong G_{2}}$

これは、（無向）ディンキン図に対する制約と有限群のコクセター図に対する制約を比較することによって証明できる。正式には、コクセターグラフは、辺の方向を破棄し、すべての二重辺をラベル 4 の辺に、すべての三重辺をラベル 6 の辺に置き換えることによって、ディンキン図から取得できる。また、有限生成コクセター群はすべて自動群であることにも注意されたい。^[6]ディンキン図には、許可される辺ラベルは 2、3、4、6 のみであるという追加の制約があり、これにより上記が得られる。幾何学的には、これは結晶学的制限定理に対応し、除外された多面体は空間を埋めたり平面を敷き詰めたりしないという事実にも対応している。正十二面体（双対的には二十面体）は空間を埋めず、120 セル（双対的には 600 セル）は空間を埋めない。p角形は、または(それぞれ三角形、正方形、六角形のタイリング) を除いて、平面をタイリングしません。${\displaystyle H_{3},}$${\displaystyle H_{4},}$${\displaystyle I_{2}(p)}$${\displaystyle p=3,4,}$${\displaystyle 6}$

さらに、(有向) ディンキン図B _nとC _{n は}同じワイル群 (したがってコクセター群) を生み出すことに注意してください。これは、有向グラフとしては異なるものの、無向グラフとしては一致するためです。方向はルート システムでは重要ですが、ワイル群では重要ではありません。これは、ハイパーキューブとクロス多面体が異なる正多面体でありながら同じ対称群を持つこと に対応します。

有限既約コクセター群のいくつかの特性を次の表に示します。 既約群の位数は、その既約部分群の位数の積によって計算できます。

すべての正多面体の対称群は有限コクセター群です。双対多面体は同じ対称群を持つことに注意してください。

すべての次元には 3 系列の正多面体があります。正n単体の対称群は対称群S _{n +1で、タイプ}A _nの Coxeter 群としても知られています。n立方体とその双対であるn交差多面体の対称群はB n_で、超八面体群として知られています。

2、3、4 次元の例外的な正多面体は、他のコクセター群に対応します。2 次元では、正多角形の対称群である二面体群は、 p ≥ 3 に対して、シリーズI ₂ ( p )を形成します。3 次元では、正十二面体とその双対である正二十面体の対称群はH ₃であり、完全二十面体群として知られています。4 次元には、 24 セル、120 セル、および600 セルの 3 つの例外的な正多面体があります。最初のものは対称群F ₄を持ち、他の 2 つは双対で対称群H ₄を持ちます。

D _n、E ₆、E ₇、E ₈型の Coxeter 群は、特定の半正則多面体の対称群です。

アフィンコクセター群は、コクセター群の 2 つ目の重要な系列を形成します。これら自体は有限ではありませんが、それぞれが正規 アーベル 部分群を含み、対応する商群は有限です。いずれの場合も、商群はコクセター群自体であり、アフィン コクセター群のコクセター グラフは、商群のコクセター グラフから別の頂点と 1 つまたは 2 つの追加の辺を追加することによって得られます。たとえば、n ≥ 2 の場合、円内のn +1 個の頂点 からなるグラフはこのようにしてA _nから得られ、対応するコクセター群はA _nのアフィン ワイル群(アフィン対称群​​ ) です。n = 2 の場合、 これは、平面を正三角形で標準的にタイリングする対称群の部分群として描くことができます。

一般に、ルート系が与えられれば、ルートに直交する超平面とこれらの超平面の特定の移動からなる、関連するシュティーフェル図を構築することができます。アフィン コクセター群（またはアフィン ワイル群）は、図内のすべての超平面についての（アフィン）反射によって生成される群です。 ^[9]シュティーフェル図は、平面をアルコーブと呼ばれる無限個の連結成分に分割し、アフィン コクセター群はアルコーブに対して自由かつ推移的に作用します。これは、通常のワイル群がワイル チャンバーに対して自由かつ推移的に作用するのと同じです。右の図は、ルート系のシュティーフェル図を示しています。 ${\displaystyle G_{2}}$

が階数の既約ルート系で、が単純ルートの集合であるとする。また、最高ルートを と表記する。すると、アフィン Coxeter 群は、 に垂直な超平面に関する通常の（線形）反射と、 に垂直な超平面の平行移動に関するアフィン反射によって生成される。アフィン Weyl 群の Coxeter グラフは、 の Coxeter–Dynkin 図と、 に関連付けられた 1 つの追加ノードから構成される。この場合、基本的な Weyl チャンバーを に垂直な超平面の平行移動で切断することで、Stiefel 図の 1 つのアルコーブが得られる。^[10]${\displaystyle R}$${\displaystyle r>1}$${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}}$${\displaystyle \alpha _{r+1}}$${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}}$${\displaystyle \alpha _{r+1}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \alpha _{r+1}}$${\displaystyle \alpha _{r+1}}$

アフィン コクセター群のリストは次のとおりです。

これらの各グループは有限グループのグラフにノードを追加することによって取得されたため、グループ シンボルの添え字は、それぞれの場合のノードの数より 1 少なくなります。

双曲空間における反射群を記述する双曲コクセター群は無数に存在し、特に双曲三角群がこれに該当します。

コクセター群は、コクセター・ディンキン図が連結されている場合、既約群であると言われます。すべてのコクセター群は、コクセター・ディンキン図の 要素に対応する既約群の直積です。

反射生成子の選択により、コクセター群上の長さ関数 ℓ 、すなわち群の要素を表現するために必要な生成子の使用回数の最小値が生じる。これはまさに、ケイリーグラフの語距離の長さである。ℓ ( v )生成子を使用するvの式は簡約語である。例えば、S3の順列( _{13 )には、(12)(23)(12)と(23)(12)(23)}という2つの簡約語がある。この関数は、対称群の 符号写像を一般化する写像を定義する。${\displaystyle v\to (-1)^{\ell (v)}}$${\displaystyle G\to \{\pm 1\},}$

簡約語を使用すると、コクセター群に3 つの部分順序、つまり (右)弱順序、絶対順序、およびBruhat 順序(フランソワ・ブリュアにちなんで名付けられました) を定義できます。Bruhat 順序で要素v が要素uを超えるのは、 vの何らかの (または同等の任意の) 簡約語に、一部の文字 (任意の位置) が削除されたuの簡約語が部分文字列として含まれる場合です。弱い順序では、vの何らかの簡約語にuの簡約語が最初のセグメントとして含まれる場合、 v  ≥  u となります。実際、語長により、これは次数付き posetになります。これらの順序に対応するハッセ図は研究対象であり、生成元によって決定されるケイリー グラフに関連しています。絶対順序は弱い順序と同様に定義されますが、生成セット/アルファベットはコクセター生成元のすべての共役で構成されます。

例えば、S3_の順列(1 2 3)には(12)(23)という簡約語が1つだけあるので、Bruhat順序では(12)と(23)をカバーしますが、弱い順序では(12)のみをカバーします。

コクセター群は有限個の位数 2 の元によって生成されるので、そのアーベル化は基本アーベル 2 群、すなわち巡回群のいくつかのコピーの直和に同型である。これはの最初のホモロジー群の観点から言い換えることができる。 ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle W}$

の第二ホモロジー群に等しいシュアー乗数 は 、有限反射群については (Ihara & Yokonuma 1965) で、アフィン反射群については (Yokonuma 1965) で計算され、より統一された説明は (Howlett 1988) で与えられています。すべての場合において、シュアー乗数 は基本的なアーベル 2 群でもあります。有限またはアフィン ワイル群の無限族ごとに、 の階数は が無限大に近づくにつれて安定します。 ${\displaystyle M(W)}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \{W_{n}\}}$${\displaystyle M(W_{n})}$${\displaystyle n}$

• アルティン・ティッツグループ
• シュヴァレー・シェパード・トッドの定理
• 複素反射グループ
• コクセター要素
• 岩堀-ヘッケ代数、群代数の量子変形
• カジダン・ルスティグ多項式
• コクセター群の最長要素
• 反射群の放物線部分群
• 超解配置

• 「コクセター群」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ワイスタイン、エリック W.、「Coxeter グループ」、MathWorld
• 最大 4 つのジェネレータ上の有限 Coxeter グループの Cayley グラフを視覚化する Jenn ソフトウェア