シンプルに繋がる空間

位相幾何学において、位相空間がパス連結であり、2点間のすべてのパスが、問題の2つの端点を保存したまま、他の任意のパスに連続的に変換できる場合、その位相空間は単連結（または1連結、または1単連結^[1]）と呼ばれます。直感的には、これは、分離した部分がなく、完全に貫通する穴がない空間に対応します。なぜなら、そのような穴の異なる側を回る2つのパスは、互いに連続的に変換できないためです。位相空間の基本群は、空間が単連結でないことを示す指標です。パス連結な位相空間が単連結であるための必要条件は、その基本群が自明である場合のみです。

位相空間は 、パス連結であり、によって定義される任意のループが点に縮約できる場合、単連結であると呼ばれます。つまり、に制限される連続写像が存在します。ここで、およびは、それぞれユークリッド平面内の単位円と閉じた単位円を表します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:S^{1}\to X}$${\displaystyle F:D^{2}\to X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle f.}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle D^{2}}$

同等の定式化は次のようになります。が単連結である場合、かつその場合のみ、 はパス連結であり、と が同じ始点と終点 (と)を持つ 2 つのパス (つまり連続マップ) である場合は、両端の終点を固定したままを連続的に変形できます。明示的に、と となるホモトピーが存在します。${\displaystyle X}$${\displaystyle p:[0,1]\to X}$${\displaystyle q:[0,1]\to X}$${\displaystyle p(0)=q(0)}$${\displaystyle p(1)=q(1)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$ ${\displaystyle F:[0,1]\times [0,1]\to X}$${\displaystyle F(x,0)=p(x)}$${\displaystyle F(x,1)=q(x).}$

位相空間が単連結であるための必要十分条件は、 が経路連結であり、各点におけるの基本群が自明である、すなわち単位元のみからなる場合である。同様に、が単連結であるための必要十分条件は、すべての点に対しての基本群内の射の集合が1 つの元のみを持つ場合である。^[2]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\Pi (X)}(x,y)}$${\displaystyle X}$

複素解析において、開集合が単連結であるためには、リーマン球面上の開集合とその補集合の両方が連結している必要がある。虚部が厳密に 0 より大きく 1 より小さい複素数の集合は、平面の連結された開集合のうち、補集合が連結されていない例である。しかし、この開集合は単連結である。連結であるという要件を緩和すると、連結された拡張補集合を持つ平面の開集合を調べることができる。たとえば、(必ずしも連結とは限らない) 開集合は、その連結成分のそれぞれが単連結であるときとまったく同じときに、連結された拡張補集合を持つ。 ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

非公式には、空間内のオブジェクトが単連結であるとは、オブジェクトが 1 つのピースで構成され、全体を貫通する「穴」がない場合です。たとえば、ドーナツもコーヒー カップ (取っ手付き) も単連結ではありませんが、中が空洞のゴムボールは単連結です。2 次元では、円は単連結ではありませんが、円盤と線は単連結です。連結されていても単連結ではない空間は、非単連結または多重連結と呼ばれます。

この定義では、ハンドル型の穴のみが除外されます。球体 (または、同様に、中が空洞のゴムボール) は、中が空洞の「穴」があっても、球体の表面にあるループは 1 点に収縮できるため、単純に連結されています。オブジェクトにどの次元の穴もないというより強い条件は、収縮可能性と呼ばれます。

• ユークリッド平面は 単連結ですが、原点を引いた部分は単連結ではありません。 の場合、 と原点を引いた部分はどちらも単連結です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle n>2,}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• 同様に、n次元球面 が単連結であるためには、${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle n\geq 2.}$
• のすべての凸部分集合は単連結である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• トーラス、（楕円）円筒、メビウスの帯、射影平面、クラインの壺は単純接続されていません。
• すべての位相ベクトル空間は単連結です。これにはバナッハ空間とヒルベルト空間が含まれます。
• 特殊直交群は単連結ではなく、特殊ユニタリ群は単連結である。${\displaystyle n\geq 2,}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$
• の 1 点コンパクト化は単連結ではありません (は単連結ですが)。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 長い直線 は単連結ですが、そのコンパクト化である拡張された長い直線は単連結ではありません (パス連結でさえないため)。${\displaystyle L}$${\displaystyle L^{*}}$

面（2次元位相多様体）が単連結であるためには、面が連結であり、種数（面の ハンドルの数）が 0 である必要があります。

任意の（適切な）空間の普遍被覆は、被覆写像を介してに写像される単連結空間です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

とがホモトピー同値で単連結であれば、${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$

連続関数による単連結集合の像は、必ずしも単連結である必要はありません。たとえば、指数写像による複素平面を考えてみましょう。この像は単連結ではありません。 ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\},}$

単純な連結性の概念は、以下の事実により 複素解析において重要です。

• コーシーの積分定理は、 が複素平面の単連結な開部分集合であり、 が正則関数である場合、 は上で原始微分を持ち、における被積分関数を伴うすべての線積分の値は経路の端点とのみに依存し、 として計算できることを述べています。したがって、積分はと を結ぶ特定の経路には依存しません。${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle U,}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle F(v)-F(u).}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v,}$
• リーマン写像定理は、 の任意の空でない開単連結部分集合（それ自身を除く）は単位円板と共形的に同値であることを述べています。${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

単純連結性の概念は、ポアンカレ予想における重要な条件でもあります。

• 変形リトラクト – 位相空間から部分空間への連続的で位置保存的なマッピングPages displaying short descriptions of redirect targets
• 局所的に単純に接続された空間
• n連結空間
• 非一貫性空間

• スパニエ、エドウィン（1994年12月）。代数トポロジー。スプリンガー。ISBN 0-387-94426-5。
• コンウェイ、ジョン（1986）。『1つの複素変数の関数I 』シュプリンガー。ISBN 0-387-90328-3。
• ブルバキ、ニコラス (2005)。リー群とリー代数。スプリンガー。ISBN 3-540-43405-4。
• Gamelin , Theodore (2001年1月)。複素解析。Springer。ISBN 0-387-95069-9。
• ジョシ、カプリ（1983年8月）。一般位相幾何学入門。ニューエイジ出版社。ISBN 0-85226-444-5。