解析関数の無限合成

数学において、解析関数の無限合成（ICAF）は、解析的な連分数、級数、積、その他の無限展開の別の定式化を提供し、そのような合成から発展する理論は、これらの展開の収束/発散を解明するのに役立つ可能性があります。一部の関数は、実際に無限合成として直接展開できます。さらに、ICAFを使用して、無限展開を含む不動点方程式の解を評価することができます。複雑な力学は、単一の関数ではなく、関数系の反復のための別の場を提供します。単一の関数の無限合成については、 「反復関数」を参照してください。フラクタル理論で有用な有限個の関数の合成については、「反復関数系」を参照してください。

この記事のタイトルでは解析関数に言及していますが、複素変数のより一般的な関数に関する結果も含まれています。

表記法

無限合成を表す表記法はいくつかあり、以下はその例である。

前方構成： $F_{k,n}(z)=f_{k}\circ f_{k+1}\circ \dots \circ f_{n-1}\circ f_{n}(z).$

逆合成： $G_{k,n}(z)=f_{n}\circ f_{n-1}\circ \dots \circ f_{k+1}\circ f_{k}(z).$

いずれの場合も、収束とは以下の極限の存在として解釈される。

\lim _{n\to \infty }F_{1,n}(z)、\qquad \lim _{n\to \infty }G_{1,n}(z)。

便宜上、 $F n (z) = F 1, n (z)$ および $G n (z) = G 1, n (z)$ と設定します。

また、次のように書くこともできる。 $F_{n}(z)={\underset {k=1}{\overset {n}{\mathop {R} }}}\,f_{k}(z)=f_{1}\circ f_{2}\circ \cdots \circ f_{n}(z)$ そして $G_{n}(z)={\underset {k=1}{\overset {n}{\mathop {L} }}}\,g_{k}(z)=g_{n}\circ g_{n-1}\circ \cdots \circ g_{1}(z)$

コメント：特定の種類の関数の列に限定されない解析関数の無限合成の最初の探求がいつ行われたかは明らかではない。おそらく1980年代であろう。^{[ 1 ]}

収縮定理

多くの結果は、以下の結果の拡張とみなすことができる。

解析関数の縮小定理^{[ 2 ]} — f は単連結領域Sで解析的であり、 Sの閉包S上で連続であるとする。f(S) が S に含まれる有界集合であると仮定する。このとき、S内のすべてのzに対して、S内にfの吸引不動点αが存在し、次の式が成り立つ。 $F_{n}(z)=(f\circ f\circ \cdots \circ f)(z)\to \alpha .$

収縮関数の無限合成

{ f _n } を単連結領域S上で解析的な関数列とする。各nに対してf _n ( S ) ⊂ Ω となるようなコンパクト集合 Ω ⊂ Sが存在すると仮定する。

前方（内側または右）合成定理— { F _n } はSのコンパクト部分集合上で定数関数F ( z ) = λに一様に収束する。^{[ 3 ]}

後方（外側または左）合成定理— { G _n } は、{ f _n } の固定点列 { γ _n } がγに収束する場合に限り、Sのコンパクト部分集合上でγ ∈ Ωに一様に収束する。^[⁴^]

これらの 2 つの定理、特に順方向合成定理に基づく調査から得られた追加の理論には、次の文献で得られた極限の位置分析が含まれます。^{[ 5 ]}逆方向合成定理の別のアプローチについては、次の文献を参照してください。^{[ 6 ]}

後方合成定理に関して、S = { z : | z | < 1} の場合のf _{2 n} ( z ) = 1/2 およびf _{2 n −1} ( z ) = −1/2 の例は、前方合成定理のように、単にコンパクトな部分集合への縮小を要求するだけでは不十分であることを示しています。

必ずしも解析的ではない関数については、リプシッツ条件で十分である。

定理^{[ 7 ]} —仮定する $S$ は、 $\mathbb {C}$ そして $t_{n}:S\to S$ を満たす関数のファミリーである ${\displaystyle \forall n,\forall z_{1},z_{2}\in S,\exists \rho$ 定義: ${\begin{aligned}G_{n}(z)&=\left(t_{n}\circ t_{n-1}\circ \cdots \circ t_{1}\right)(z)\\F_{n}(z)&=\left(t_{1}\circ t_{2}\circ \cdots \circ t_{n}\right)(z)\end{aligned}}$ それから $F_{n}(z)\to \beta \in S$ 均一に $S.$ もし $\alpha _{n}$ は、 $t_{n}$ それから $G_{n}(z)\to \alpha$ 均一に $S$ かつその場合に限り $|\alpha _{n}-\alpha |=\varepsilon _{n}\to 0$ 。

他の関数の無限合成

非収縮複素関数

関数全体を含む結果の例としては、次のものが挙げられます。

{\begin{aligned}f_{n}(z)&=a_{n}z+c_{n,2}z^{2}+c_{n,3}z^{3}+\cdots \\\rho _{n}&=\sup _{r}\left\{\left|c_{n,r}\right|^{\frac {1}{r-1}}\right\}\end{aligned}}

すると、以下の結果が成り立つ。

定理 E1 ^{[ 8 ]} — a _n ≡ 1 の場合、 $\sum _{n=1}^{\infty }\rho _{n}<\infty$ するとF _n → Fは整列である。

定理E2 ^[⁹^] — ε _n = | a _n −1 |とします。次の式が成り立つような非負のδ _n、M ₁、M ₂、Rが存在すると仮定します。 ${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon _{n}&<\infty ,\\\sum _{n=1}^{\infty }\delta _{n}&<\infty ,\\\prod _{n=1}^{\infty }(1+\delta _{n})&<M_{1},\\\prod _{n=1}^{\infty }(1+\varepsilon _{n})&<M_{2},\\\rho _{n}&<{\frac {\delta _{n}}{RM_{1}M_{2}}}.\end{aligned}}$ すると、| z | < Rの場合、 G _n ( z ) → G ( z ) は解析的になります。収束は、{ z : | z | < R }のコンパクト部分集合上で一様です。

その他の基本的な結果は以下のとおりです。

定理 GF3 ^{[ 7 ]} —仮定する $f_{k}(z)=z+\rho _{k}\varphi _{k}(z)$ 存在する場所 $R,M>0$ そのため $|z|<R$ 暗示する $|\varphi _{k}(z)|<M,\forall k,\$ さらに、 ${\textstyle \rho _{k}\geq 0,\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{k}<\infty }$ そして ${\textstyle R>M\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{k}.}$ それから ${\textstyle R*<R-M\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{k}}$ $G_{n}(z)\equiv \left(f_{n}\circ f_{n-1}\circ \cdots \circ f_{1}\right)(z)\to G(z)\qquad {\text{ for }}\{z:|z|<R*\}$

定理 GF4 ^{[ 7 ]} —仮定する $f_{k}(z)=z+\rho _{k}\varphi _{k}(z)$ 存在する場所 $R,M>0$ そのため $|z|<R$ そして $|\zeta |<R$ 暗示する $|\varphi _{k}(z)|<M$ そして $|\varphi _{k}(z)-\varphi _{k}(\zeta )|\leq r|z-\zeta |,\forall k.\$ さらに、 ${\textstyle \rho _{k}\geq 0,\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{k}<\infty }$ そして ${\textstyle R>M\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{k}.}$ それから ${\textstyle R*<R-M\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{k}}$ $F_{n}(z)\equiv \left(f_{1}\circ f_{2}\circ \cdots \circ f_{n}\right)(z)\to F(z)\qquad {\text{ for }}\{z:|z|<R*\}$

線形分数変換

線形分数（メビウス）変換の合成に関する結果^{[ 9 ]}には、例として以下のものが含まれる。

定理 LFT1 —非特異な LFTの列 { F _n } の収束集合上では、極限関数は次のいずれかである。

非特異な LFT、
2つの異なる値を取る関数、または
定数。

(a)では、数列は拡張平面のあらゆる場所で収束します。(b)では、数列はあらゆる場所で収束し、1点を除いてあらゆる場所で同じ値に収束するか、または2点でのみ収束します。(c)は、考えられるすべての収束の組み合わせで発生する可能性があります。^{[ 10 ]}

定理 LFT2 ^{[ 11 ]} — { F _n } が LFT に収束する場合、f _{n は}恒等関数f ( z ) = zに収束します。

定理 LFT3 ^{[ 12 ]} — f _n → fであり、すべての関数が双曲型または等角航路型のメビウス変換である場合、すべてのに対してF _n ( z ) → λ（定数） ${\textstyle z\neq \beta =\lim _{n\to \infty }\beta _{n}}$ ここで、{ β _n } は { f _n }の反発固定点である。

定理 LFT4 ^{[ 13 ]} — f _n → fの場合、 fは固定点γを持つ放物線関数である。{ f _n }の固定点を{ γ _n } および { β _n } とする。 $\sum _{n=1}^{\infty }\left|\gamma _{n}-\beta _{n}\right|<\infty \quad {\text{and}}\quad \sum _{n=1}^{\infty }n\left|\beta _{n+1}-\beta _{n}\right|<\infty$ すると、すべてのzに対してF _n ( z ) → λとなり、これは拡張複素平面内の定数です。

例と応用例

連分数

無限連分数の値

{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+\cdots }}}}

は、数列 { F _n (0)}の極限として表現できます。

f_{n}(z)={\frac {a_{n}}{b_{n}+z}}.

簡単な例として、定理（A）の適用からよく知られた結果（Worpitskyの円定理^{[ 14 ] ）が導かれる。}

連分数を考えてみましょう

{\cfrac {a_{1}\zeta }{1+{\cfrac {a_{2}\zeta }{1+\cdots }}}}

と

f_{n}(z)={\frac {a_{n}\zeta }{1+z}}.

|ζ| < 1 かつ | z | < R < 1 と規定する。すると 0 < r < 1 に対して、

|a_{n}|<rR(1-R)\Rightarrow \left|f_{n}(z)\right|<rR<R\Rightarrow {\frac {a_{1}\zeta }{1+{\frac {a_{2}\zeta }{1+\cdots }}}}=F(\zeta )

, | z | < 1の場合解析的。R = 1/2 と設定する。

例。 $F(z)={\frac {(i-1)z}{1+i+z{\text{ }}+}}{\text{ }}{\frac {(2-i)z}{1+2i+z{\text{ }}+}}{\text{ }}{\frac {(3-i)z}{1+3i+z{\text{ }}+}}\cdots ,$ $[-15,15]$

例：連分数1 – 複素平面上の連分数（各点につき1つ）の地形図（モジュライ）画像。[−15,15]

例。^{[ 9 ]}固定小数点連分数形式（単一変数）。

f_{k,n}(z)={\frac {\alpha _{k,n}\beta _{k,n}}{\alpha _{k,n}+\beta _{k,n}-z}},\alpha _{k,n}=\alpha _{k,n}(z),\beta _{k,n}=\beta _{k,n}(z),F_{n}(z)=\left(f_{1,n}\circ \cdots \circ f_{n,n}\right)(z)

\alpha _{k,n}=x\cos(ty)+iy\sin(tx),\beta _{k,n}=\cos(ty)+i\sin(tx),t=k/n

例：無限ブローチ -複素平面上の*連分数形式*の地形的（モジュライ）イメージ。（6<x<9.6）、（4.8<y<8）

直接的な機能拡張

関数を直接合成に変換する例を以下に示します。

例１．^{[ 8 ]}^{[ 15 ]} $\phi$ 以下の条件を満たす完全関数である。

{\begin{cases}\phi (tz)=t\left(\phi (z)+\phi (z)^{2}\right)&|t|>1\\\phi (0)=0\\\phi '(0)=1\end{cases}}

それから

f_{n}(z)=z+{\frac {z^{2}}{t^{n}}}\Longrightarrow F_{n}(z)\to \phi (z)

。

例２．^[８]

f_{n}(z)=z+{\frac {z^{2}}{2^{n}}}\Longrightarrow F_{n}(z)\to {\frac {1}{2}}\left(e^{2z}-1\right)

例３．^[７]

f_{n}(z)={\frac {z}{1-{\tfrac {z^{2}}{4^{n}}}}}\Longrightarrow F_{n}(z)\to \tan(z)

例4. ^{[ 7 ]}

g_{n}(z)={\frac {2\cdot 4^{n}}{z}}\left({\sqrt {1+{\frac {z^{2}}{4^{n}}}}}-1\right)\Longrightarrow G_{n}(z)\to \arctan(z)

不動点の計算

定理（B）は、無限展開または特定の積分によって定義される関数の不動点を決定するために適用できます。以下の例は、その手順を示しています。

例 FP1. ^{[ 4 ]} | ζ | ≤ 1 の場合、

G(\zeta )={\frac {\tfrac {e^{\zeta }}{4}}{3+\zeta +{\cfrac {\tfrac {e^{\zeta }}{8}}{3+\zeta +{\cfrac {\tfrac {e^{\zeta }}{12}}{3+\zeta +\cdots }}}}}}

α = G (α) を求めるために、まず以下のように定義します。

{\begin{aligned}t_{n}(z)&={\cfrac {\tfrac {e^{\zeta }}{4n}}{3+\zeta +z}}\\f_{n}(\zeta )&=t_{1}\circ t_{2}\circ \cdots \circ t_{n}(0)\end{aligned}}

次に計算します $G_{n}(\zeta )=f_{n}\circ \cdots \circ f_{1}(\zeta )$ ζ = 1 の場合、10 回の反復後には α = 0.087118118... が小数点以下 10 桁まで得られます。

定理 FP2 ^{[ 9 ]} — φ ( ζ , t )がすべてのt ∈ [0, 1]に対してS = { z : | z | < R }で解析的であり、 tに関して連続であるとする。 $f_{n}(\zeta )={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\varphi \left(\zeta ,{\tfrac {k}{n}}\right).$ ζ ∈ Sおよびt ∈ [0, 1] に対して| φ ( ζ , t ) | ≤ r < R ならば、 $\zeta =\int _{0}^{1}\varphi (\zeta ,t)\,dt$ Sには一意解αがあり、 $\lim _{n\to \infty }G_{n}(\zeta )=\alpha .$

進化関数

I = [0, 1]に正規化された時間間隔を考えます。ICAF は、その間隔における点zの連続的な動きを記述するように構築できますが、各「瞬間」において動きが実質的にゼロになるようにします (ゼノの矢を参照)。 1 ≤ k ≤ nの n 個の等しい部分間隔に分割された間隔に対して、次のように設定します。 $g_{k,n}(z)=z+\varphi _{k,n}(z)$ 解析的または単に連続的 – 領域Sにおいて、

\lim _{n\to \infty }\varphi _{k,n}(z)=0

Sのすべてのkとすべてのzについて、

そして $g_{k,n}(z)\in S$ 。

主な例

出典: ^{[ 9 ]}

{\begin{aligned}g_{k,n}(z)&=z+{\frac {1}{n}}\phi \left(z,{\tfrac {k}{n}}\right)\\G_{k,n}(z)&=\left(g_{k,n}\circ g_{k-1,n}\circ \cdots \circ g_{1,n}\right)(z)\\G_{n}(z)&=G_{n,n}(z)\end{aligned}}

暗示する

\lambda _{n}(z)\doteq G_{n}(z)-z={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\phi \left(G_{k-1,n}(z){\tfrac {k}{n}}\right)\doteq {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\psi \left(z,{\tfrac {k}{n}}\right)\sim \int _{0}^{1}\psi (z,t)\,dt,

積分が適切に定義されているのは、 ${\tfrac {dz}{dt}}=\phi (z,t)$ 閉形式解z ( t ) を持つ。

\lambda _{n}(z_{0})\approx \int _{0}^{1}\phi (z(t),t)\,dt.

そうでなければ、積分値は容易に計算できるものの、被積分関数は明確に定義されていない。このような場合、その積分は「仮想積分」と呼ばれるかもしれない。

例。 $\phi (z,t)={\frac {2t-\cos y}{1-\sin x\cos y}}+i{\frac {1-2t\sin x}{1-\sin x\cos y}},\int _{0}^{1}\psi (z,t)\,dt$

例1：仮想トンネル – 複素平面上の仮想積分（各点につき1つ）の地形的（モジュライ）イメージ。[−10,10]

2つの等高線が、魅力的な固定点（左側の赤色）に向かって流れています。白色の等高線（c = 2）は固定点に到達する前に途切れています。2番目の等高線（c ( *n ) =* nの平方根）は固定点で途切れています。どちらの等高線もn = 10,000です。

例。以下を例にとります。

g_{n}(z)=z+{\frac {c_{n}}{n}}\phi (z),\quad {\text{with}}\quad f(z)=z+\phi (z).

次に、 $T_{1,n}(z)=g_{n}(z),T_{k,n}(z)=g_{n}(T_{k-1,n}(z)),$ また、T _n ( z ) = T _n,n ( z ) とする。

T(z)=\lim _{n\to \infty }T_{n}(z)

その極限が存在する場合。数列 { T _n ( z )} は、ベクトル場f ( z )の流れに沿う輪郭 γ = γ( c _n , z ) を定義します。吸引固定点 α が存在する場合、つまり 0 ≤ ρ < 1 に対して | f ( z ) − α| ≤ ρ| z − α| である場合、γ = γ( c _n , z ) に沿ってT _n ( z ) → T ( z ) ≡ α となります。ただし、(例えば) $c_{n}={\sqrt {n}}$ c _n ≡ c > 0の場合、 T _n ( z ) → T ( z ) となり、輪郭 γ = γ( c , z ) 上の点になります。

\oint _{\gamma }\phi (\zeta )\,d\zeta =\lim _{n\to \infty }{\frac {c}{n}}\sum _{k=1}^{n}\phi ^{2}\left(T_{k-1,n}(z)\right)

そして

L(\gamma (z))=\lim _{n\to \infty }{\frac {c}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left|\phi \left(T_{k-1,n}(z)\right)\right|,

これらの制限が存在する場合。

これらの概念は画像処理におけるアクティブコンター理論とわずかに関連しており、オイラー法の単純な一般化である。

自己複製する拡張

シリーズ

f _n ( z ) = z + g _n ( z )で再帰的に定義される級数は、n 番目の項が最初のn − 1 項の和に基づいているという性質を持ちます。定理 (GF3) を使用するには、次の意味での有界性を示す必要があります。各f _{n が}| z | < Mに対して定義されている場合、| G _n ( z )| < Mが満たされなければ、| f _n ( z ) − z | = | g _n ( z )| ≤ Cβ _nは反復目的で定義されません。これは、 $g_{n}(G_{n-1}(z))$ 拡張全体を通して制限が発生します。

|z|<R=M-C\sum _{k=1}^{\infty }\beta _{k}>0

この目的を果たす。すると、制限された領域上でG _n ( z ) → G ( z ) が一様に成り立つ。

例（S1）。 セット

f_{n}(z)=z+{\frac {1}{\rho n^{2}}}{\sqrt {z}},\qquad \rho >{\sqrt {\frac {\pi }{6}}}

そしてM = ρ ²。するとR = ρ ² − (π/6) > 0 となる。すると、 $S=\left\{z:|z|<R,\operatorname {Re} (z)>0\right\}$ 、z がSに含まれるということは、| G _n ( z )| < Mを意味し、定理 (GF3) が適用される。

{\begin{aligned}G_{n}(z)&=z+g_{1}(z)+g_{2}(G_{1}(z))+g_{3}(G_{2}(z))+\cdots +g_{n}(G_{n-1}(z))\\&=z+{\frac {1}{\rho \cdot 1^{2}}}{\sqrt {z}}+{\frac {1}{\rho \cdot 2^{2}}}{\sqrt {G_{1}(z)}}+{\frac {1}{\rho \cdot 3^{2}}}{\sqrt {G_{2}(z)}}+\cdots +{\frac {1}{\rho \cdot n^{2}}}{\sqrt {G_{n-1}(z)}}\end{aligned}}

絶対収束する、したがって収束する。

例（S2）： $f_{n}(z)=z+{\frac {1}{n^{2}}}\cdot \varphi (z),\varphi (z)=2\cos(x/y)+i2\sin(x/y),>G_{n}(z)=f_{n}\circ f_{n-1}\circ \cdots \circ f_{1}(z),\qquad [-10,10],n=50$

製品

再帰的に定義される積

f_{n}(z)=z(1+g_{n}(z)),\qquad |z|\leqslant M,

外観は

G_{n}(z)=z\prod _{k=1}^{n}\left(1+g_{k}\left(G_{k-1}(z)\right)\right).

定理GF3を適用するには、以下の条件を満たす必要があります。

\left|zg_{n}(z)\right|\leq C\beta _{n},\qquad \sum _{k=1}^{\infty }\beta _{k}<\infty .

再び、有界条件がサポートする必要がある

\left|G_{n-1}(z)g_{n}(G_{n-1}(z))\right|\leq C\beta _{n}.

Cβ _{n が}事前に分かっている場合は、以下の方法で十分です。

|z|\leqslant R={\frac {M}{P}}\qquad {\text{where}}\quad P=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+C\beta _{n}\right).

すると、制限された領域上でG _n ( z ) → G ( z ) が一様に成り立つ。

例（P1）。 $f_{n}(z)=z(1+g_{n}(z))$ と $g_{n}(z)={\tfrac {z^{2}}{n^{3}}},$ いくつかの予備計算の後、| z | ≤ 1/4 は | G _n ( z )| < 0.27 を意味することが観察される。

\left|G_{n}(z){\frac {G_{n}(z)^{2}}{n^{3}}}\right|<(0.02){\frac {1}{n^{3}}}=C\beta _{n}

そして

G_{n}(z)=z\prod _{k=1}^{n-1}\left(1+{\frac {G_{k}(z)^{2}}{n^{3}}}\right)

一様に収束する。

例（P2）。

g_{k,n}(z)=z\left(1+{\frac {1}{n}}\varphi \left(z,{\tfrac {k}{n}}\right)\right),

G_{n,n}(z)=\left(g_{n,n}\circ g_{n-1,n}\circ \cdots \circ g_{1,n}\right)(z)=z\prod _{k=1}^{n}(1+P_{k,n}(z)),

P_{k,n}(z)={\frac {1}{n}}\varphi \left(G_{k-1,n}(z),{\tfrac {k}{n}}\right),

\prod _{k=1}^{n-1}\left(1+P_{k,n}(z)\right)=1+P_{1,n}(z)+P_{2,n}(z)+\cdots +P_{k-1,n}(z)+R_{n}(z)\sim \int _{0}^{1}\pi (z,t)\,dt+1+R_{n}(z),

\varphi (z)=x\cos(y)+iy\sin(x),\int _{0}^{1}(z\pi (z,t)-1)\,dt,\qquad [-15,15]:

連分数

例（CF1）：自己生成連分数。^{[ 9 ]}

{\begin{aligned}F_{n}(z)&={\frac {\rho (z)}{\delta _{1}+}}{\frac {\rho (F_{1}(z))}{\delta _{2}+}}{\frac {\rho (F_{2}(z))}{\delta _{3}+}}\cdots {\frac {\rho (F_{n-1}(z))}{\delta _{n}}},\\\rho (z)&={\frac {\cos(y)}{\cos(y)+\sin(x)}}+i{\frac {\sin(x)}{\cos(y)+\sin(x)}},\qquad [0<x<20],[0<y<20],\qquad \delta _{k}\equiv 1\end{aligned}}

例（CF2）：自己生成逆オイラー連分数として最もよく説明できる。^{[ 9 ]}

G_{n}(z)={\frac {\rho (G_{n-1}(z))}{1+\rho (G_{n-1}(z))-}}\ {\frac {\rho (G_{n-2}(z))}{1+\rho (G_{n-2}(z))-}}\cdots {\frac {\rho (G_{1}(z))}{1+\rho (G_{1}(z))-}}\ {\frac {\rho (z)}{1+\rho (z)-z}},

\rho (z)=\rho (x+iy)=x\cos(y)+iy\sin(x),\qquad [-15,15],n=30

例 CF2: 黄金の夢 – 自己生成逆オイラー連分数の地形的（モジュライ）イメージ。

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