微分同相写像

数学において、微分同相写像とは、微分可能多様体の同型写像のことである。これは、ある微分可能多様体を別の微分可能多様体に写像する可逆関数であり、その関数とその逆関数は両方とも連続的に微分可能である。

2 つの微分可能多様体とが与えられたとき、微分可能写像は、それが全単射であり、その逆も微分可能である場合、微分同相写像 と呼ばれます。これらの関数が連続的に回微分可能である場合、は-微分同相写像と呼ばれます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}$${\displaystyle f^{-1}\colon N\rightarrow M}$${\displaystyle r}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{r}}$

2 つの多様体とが微分同相(通常 と表記) であるとは、から への微分同相写像が存在する場合です。2 つの-微分可能多様体の間には、その逆も -微分同相であるような回連続微分可能な全単射写像が存在する場合です。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M\simeq N}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle C^{r}}$${\displaystyle C^{r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$

多様体 の部分集合 と多様体 の部分集合が与えられたとき、のすべての に対しての近傍と、次の制約が一致するような滑らかな関数が存在するとき、関数は滑らかであると言われます。(は の拡張であることに注意)。関数が全単射で滑らかであり、その逆関数が滑らかである場合、関数は微分同相写像であると言われます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle N}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subset M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle g:U\to N}$${\displaystyle g_{|U\cap X}=f_{|U\cap X}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

微分可能写像が微分同相写像であるかどうかをテストすることは、いくつかの軽い制限の下で局所的に行うことができます。これはアダマール-カチョッポリ定理です: ^[1]

、が の連結開部分集合でが単連結である場合、が真であり、の各点で微分が全単射である（したがって線型同型である）とき、微分可能写像は微分同相写像である。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle Df_{x}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U}$

いくつかのコメント:

関数が大域的に可逆であるためには、関数が単連結であることが必須である（その導関数が各点で全単射写像であるという唯一の条件の下で）。例えば、複素二乗関数 の「実現」を考えてみよう。${\displaystyle V}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\to \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\\(x,y)\mapsto (x^{2}-y^{2},2xy).\end{cases}}}$

すると、は射影的となり、 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \det Df_{x}=4(x^{2}+y^{2})\neq 0.}$

したがって、 は各点で全単射ですが、単射ではないため逆変換できません(例)。 ${\displaystyle Df_{x}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(1,0)=(1,0)=f(-1,0)}$

ある点における微分（微分可能関数の場合）

${\displaystyle Df_{x}:T_{x}U\to T_{f(x)}V}$

が線型写像である場合、が全単射であるときのみ、その逆写像が明確に定義されます。 の行列表現は、- 行- 列の要素が である1 階偏微分行列です。このいわゆるヤコビ行列は、明示的な計算によく使用されます。 ${\displaystyle Df_{x}}$${\displaystyle Df_{x}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \partial f_{i}/\partial x_{j}}$

微分同相写像は必然的に同じ次元の多様体間に存在します。次元 から次元 へ進むことを想像してください。 の場合、 は決して全射にならず、 の場合、は決して単射にはなりません。したがって、どちらの場合も、 は一対一にはなりません。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n<k}$${\displaystyle Df_{x}}$${\displaystyle n>k}$${\displaystyle Df_{x}}$${\displaystyle Df_{x}}$

がにおける全単射である場合、 は局所微分同相写像であるといわれます(連続性により、はに十分近いすべての に対して全単射となるため)。 ${\displaystyle Df_{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Df_{y}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

次元 から次元 への滑らかな写像が与えられたとき、(または、局所的には) が射影的である場合、は沈み込み(または、局所的には「局所沈み込み」) であると言われます。また、(または、局所的には) が単射的である場合、 は浸み込み(または、局所的には「局所浸み込み」) であると言われます。${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle Df}$${\displaystyle Df_{x}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Df}$${\displaystyle Df_{x}}$${\displaystyle f}$

微分可能な一対一写像は必ずしも微分同相写像ではありません。例えば、 は から 自身への微分同相写像ではありません。なぜなら、その導関数は 0 で消えるからです (したがって、その逆は 0 で微分可能ではありません)。これは、微分同相写像ではない 同相写像の例です。${\displaystyle f(x)=x^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

が微分可能多様体間の写像である場合、微分同相写像は同相写像よりも強い条件です。微分同相写像の場合、およびその逆写像は微分可能である必要があります。同相写像の場合、およびその逆写像は連続するだけで済みます。すべての微分同相写像は同相写像ですが、すべての同相写像が微分同相写像であるとは限りません。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f:M\to N}$が微分同相写像であるとは、座標チャートにおいて上記の定義を満たす場合です。より正確には、 の任意の被覆を互換座標チャートで選び、 についても同じことを行います。および をそれぞれ および 上のチャートとし、およびをそれぞれ および の像とします。 のときはいつでも、この写像は上記の定義のように微分同相写像となります。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \psi f\phi ^{-1}:U\to V}$${\displaystyle f(\phi ^{-1}(U))\subseteq \psi ^{-1}(V)}$

任意の多様体は局所的にパラメータ化できるため、 から への明示的な写像を考えることができます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

• させて

${\displaystyle f(x,y)=\left(x^{2}+y^{3},x^{2}-y^{3}\right).}$

ヤコビ行列を計算できます。

${\displaystyle J_{f}={\begin{pmatrix}2x&3y^{2}\\2x&-3y^{2}\end{pmatrix}}.}$

ヤコビ行列の行列式がゼロになるのは、 の場合のみです。 は、 - 軸と- 軸から離れたところでのみ微分同相写像になり得ることがわかります。しかし、は であるため全単射ではなく、したがって微分同相写像にはなり得ません。${\displaystyle xy=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x,y)=f(-x,y)}$

• させて

${\displaystyle g(x,y)=\left(a_{0}+a_{1,0}x+a_{0,1}y+\cdots ,\ b_{0}+b_{1,0}x+b_{0,1}y+\cdots \right)}$

ここで、と は任意の実数であり、省略された項はxとyにおいて少なくとも 2 次です。 0におけるヤコビ行列を計算できます。 ${\displaystyle a_{i,j}}$${\displaystyle b_{i,j}}$

${\displaystyle J_{g}(0,0)={\begin{pmatrix}a_{1,0}&a_{0,1}\\b_{1,0}&b_{0,1}\end{pmatrix}}.}$

gが0における局所微分同相写像となるのは、次の場合のみである。

${\displaystyle a_{1,0}b_{0,1}-a_{0,1}b_{1,0}\neq 0,}$

つまり、 gの要素の線形項は多項式として線形独立です。

• させて

${\displaystyle h(x,y)=\left(\sin(x^{2}+y^{2}),\cos(x^{2}+y^{2})\right).}$

ヤコビ行列を計算できます。

${\displaystyle J_{h}={\begin{pmatrix}2x\cos(x^{2}+y^{2})&2y\cos(x^{2}+y^{2})\\-2x\sin(x^{2}+y^{2})&-2y\sin(x^{2}+y^{2})\end{pmatrix}}.}$

ヤコビ行列の行列式はどこでもゼロです。実際、hの像は単位円であることがわかります。

力学では、応力誘起変換は変形と呼ばれ、微分同相写像で記述できます。2つの表面と間の微分同相写像には、可逆行列であるヤコビ行列 があります。実際、においてに対して、ヤコビ行列 が非特異 となる の近傍が存在することが要求されます。表面のチャートで、${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle Df}$${\displaystyle p}$${\displaystyle U}$${\displaystyle p}$${\displaystyle Df}$${\displaystyle f(x,y)=(u,v).}$

uの全微分は

${\displaystyle du={\frac {\partial u}{\partial x}}dx+{\frac {\partial u}{\partial y}}dy}$、vについても同様です。

すると、像は原点を固定した線型変換となり、特定のタイプの複素数の作用として表現可能となる。 ( dx ,  dy ) もそのタイプの複素数として解釈される場合、作用は適切な複素数平面における複素乗算となる。そのため、そのような乗算では保存される角度のタイプ (ユークリッド角度、双曲角度、または傾斜角度) が存在する。 Dfは可逆であるため、複素数のタイプは面上で均一である。その結果、面の変形または面の微分同相写像には、 (適切なタイプの) 角度を保存するという共形特性がある。 ${\displaystyle (du,dv)=(dx,dy)Df}$

を第 2 可算でハウスドルフである微分可能多様体とします。の微分同相群は、のそれ自身へのすべての微分同相写像の群であり、または (が理解されるとき)で表されます。 これは、が 0 次元でなければ、局所的にコンパクト ではないという意味で「大きな」群です。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle C^{r}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\text{Diff}}^{r}(M)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle {\text{Diff}}(M)}$${\displaystyle M}$

微分同相群には、弱い位相と強い位相という 2 つの自然な位相があります(Hirsch 1997)。多様体がコンパクトな場合、これら 2 つの位相は一致します。弱い位相は常に距離化可能です。多様体がコンパクトでない場合、強い位相は「無限遠」での関数の挙動を捉え、距離化できません。ただし、それでもBaireです。

上のリーマン計量を固定すると、弱位相は計量の族によって誘導される位相である。 ${\displaystyle M}$

${\displaystyle d_{K}(f,g)=\sup \nolimits _{x\in K}d(f(x),g(x))+\sum \nolimits _{1\leq p\leq r}\sup \nolimits _{x\in K}\left\|D^{p}f(x)-D^{p}g(x)\right\|}$

は のコンパクト部分集合上で変化するので、 は -コンパクトであるため、の和集合となるコンパクト部分集合の列が存在します。すると、 ${\displaystyle K}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle K_{n}}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle d(f,g)=\sum \nolimits _{n}2^{-n}{\frac {d_{K_{n}}(f,g)}{1+d_{K_{n}}(f,g)}}.}$

微分同相群は、その弱位相を備え、ベクトル場の空間に局所的に同相である(Leslie 1967)。 のコンパクトな部分集合上で、 にリーマン計量を固定し、その計量の指数写像を使用することで、このことが従う。が有限で多様体がコンパクトな場合、ベクトル場の空間はバナッハ空間である。さらに、この地図帳のある図から別の図への遷移写像は滑らかで、微分同相群は滑らかな右平行移動を持つバナッハ多様体になる。左平行移動と反転は連続的である。 の場合、ベクトル場の空間はフレシェ空間である。さらに、遷移写像は滑らかで、微分同相群はフレシェ多様体になり、さらには正則フレシェ・リー群になる。多様体が -コンパクトでコンパクトでない場合、完全な微分同相群は、2 つの位相のいずれに対しても局所的に縮約可能ではない。多様体である微分同相群を得るには、無限大付近での恒等式からの偏差を制御することによって群を制限する必要があります。(Michor & Mumford 2013) を参照してください。 ${\displaystyle C^{r}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r=\infty }$${\displaystyle \sigma }$

の微分同相群のリー代数は、ベクトル場 のリー括弧を備えた上のすべてのベクトル場から構成されます。形式的には、空間の各点の座標を少し変更することでこれを確認することができます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+\varepsilon h^{\mu }(x)}$

つまり、無限小生成子はベクトル場である。

${\displaystyle L_{h}=h^{\mu }(x){\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}.}$

• がリー群のとき、左平行移動によって をそれ自身の微分同相群に自然に含めることができます。の微分同相群を とすると、 の分割 が存在します。ここで はのサブグループであり、群の単位元を固定します。${\displaystyle M=G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\text{Diff}}(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\text{Diff}}(G)\simeq G\times {\text{Diff}}(G,e)}$${\displaystyle {\text{Diff}}(G,e)}$${\displaystyle {\text{Diff}}(G)}$
• ユークリッド空間の微分同相群は、向きを保存する微分同相と向きを反転する微分同相の 2 つの要素から構成されます。実際、一般線型群は、写像 の下で原点を固定する微分同相のサブグループの変形後退です。特に、一般線型群は、完全な微分同相群の変形後退でもあります。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\text{Diff}}(\mathbb {R} ^{n},0)}$${\displaystyle f(x)\to f(tx)/t,t\in (0,1]}$
• 点の有限集合に対して、微分同相群は単に対称群です。同様に、 が任意の多様体である場合、群拡大が存在します。ここで はのすべての成分を保存する の部分群であり、は集合( の成分) の置換群です。さらに、写像 の像は微分同相類を保存するの全単射です。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 0\to {\text{Diff}}_{0}(M)\to {\text{Diff}}(M)\to \Sigma (\pi _{0}(M))}$${\displaystyle {\text{Diff}}_{0}(M)}$${\displaystyle {\text{Diff}}(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Sigma (\pi _{0}(M))}$${\displaystyle \pi _{0}(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\text{Diff}}(M)\to \Sigma (\pi _{0}(M))}$${\displaystyle \pi _{0}(M)}$

連結多様体 の場合、微分同相群 はに推移的に作用します。より一般的には、微分同相群は配置空間に推移的に作用します。 が2 次元以上である場合、微分同相群 は配置空間 に推移的に作用し、 への作用は多重推移的です(Banyaga 1997、p. 29)。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C_{k}M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle F_{k}M}$${\displaystyle M}$

1926 年、ティボール・ラドは単位円の任意の同相写像または微分同相写像を単位円板に調和拡張すると開円板上の微分同相写像が得られるかどうかを問いました。そのすぐ後にヘルムート・クネーザーによって簡潔な証明が示されました。1945年、ギュスターヴ・ショケは明らかにこの結果を知らず、まったく異なる証明を提示しました。

円の（向きを保つ）微分同相群は経路連結である。これは、任意のそのような微分同相写像がを満たす実数の微分同相写像に持ち上げられることに注目することでわかる。この空間は凸であり、したがって経路連結である。恒等写像への滑らかで、最終的には定数となる経路は、円から開単位円への微分同相写像を拡張する2番目のより基本的な方法を与える（アレクサンダートリックの特殊なケース）。さらに、円の微分同相写像群は、直交群のホモトピー型である。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle [f(x+1)=f(x)+1]}$ ${\displaystyle O(2)}$

高次元球面の微分同相写像に対する対応する拡張問題は、1950 年代と 1960 年代に、ルネ・トム、ジョン・ミルナー、スティーブン・スメールらの顕著な貢献により、盛んに研究された。そのような拡張に対する障害は、有限アーベル群、すなわち「ねじれた球面の群」によって与えられる。これは、微分同相写像群のアーベル成分群を球面の微分同相写像に拡張する類の部分群で割った商として定義される。 ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle \Gamma _{n}}$${\displaystyle B^{n}}$

多様体の場合、微分同相群は通常連結ではない。その構成要素群は写像類群と呼ばれる。次元 2 (つまり曲面) では、写像類群はデーンツイストによって生成される有限表示群である。これはマックス・デーン、WBR リコリッシュ、アレン・ハッチャーによって証明されている。^[要出典]マックス・デーンとヤコブ・ニールセンは、それが曲面の 基本群の外部自己同型群と同一視できることを示した。

ウィリアム・サーストンは、マッピング類群の元を3つのタイプに分類することでこの解析を洗練させた。すなわち、周期的微分同相写像と同値なもの、単純な閉曲線不変量を残す微分同相写像と同値なもの、擬アノソフ微分同相写像と同値なものの3つである。トーラス の場合、マッピング類群は単なるモジュラー群であり、分類は楕円行列、放物線行列、双曲行列に関して古典的になる。サーストンは、マッピング類群がタイヒミュラー空間のコンパクト化に対して自然に作用することを観察することで分類を完成し、この拡大された空間は閉じた球体に同相であるため、ブラウワーの不動点定理が適用可能になった。スメールは、が向き付けられた滑らかな閉多様体である場合、向きを保つ微分同相写像群の恒等成分は単純 であると予想した。これは、ミシェル・ヘルマンによって円の積に対して最初に証明され、サーストンによって完全に一般に証明された。 ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle M}$

• の微分同相群は部分群のホモトピー型を持つ。これはスティーブ・スメールによって証明された。^[2]${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle O(3)}$
• トーラスの微分同相群は、その線型自己同型のホモトピー型を持ちます。${\displaystyle S^{1}\times S^{1}\times {\text{GL}}(2,\mathbb {Z} )}$
• 種数 の向き付け可能な曲面の微分同相群は、その写像類群のホモトピー型を持ちます（つまり、成分は収縮可能です）。${\displaystyle g>1}$
• 3次元多様体の微分同相群のホモトピー型は、イワノフ、ハッチャー、ガバイ、ルビンシュタインの研究によってかなりよく理解されていますが、未解決の例もいくつかあります（主に有限基本群を持つ3次元多様体）。
• に対する -多様体の微分同相群のホモトピー型は、あまり理解されていません。たとえば、 が 2 つ以上の成分を持つかどうかは未解決の問題です。しかし、Milnor、Kahn、Antonelli によれば、 の場合、 は有限CW 複体のホモトピー型を持たないことが分かっています。${\displaystyle n}$${\displaystyle n>3}$${\displaystyle {\text{Diff}}(S^{4})}$${\displaystyle n>6}$${\displaystyle {\text{Diff}}(S^{n})}$

すべての微分同相写像は同相写像なので、互いに微分同相な多様体のペアが与えられた場合、それらは特に互いに 同相である。その逆は一般には当てはまらない。

微分同相でない同相写像を見つけるのは簡単ですが、微分同相でない同相多様体のペアを見つけるのはもっと困難です。次元 1、2、3 では、同相な滑らかな多様体のペアはどれも微分同相です。次元 4 以上では、同相だが微分同相ではないペアの例が存在します。そのような最初の例は、ジョン・ミルナーによって次元 7 で構築されました。彼は、標準的な 7 次元球面に同相だが微分同相ではない滑らかな 7 次元多様体 (現在はミルナーの球面と呼ばれています) を構築しました。実際、7 次元球面に同相な多様体の有向微分同相クラスは 28 個あります (それぞれが、3 次元球面をファイバーとする 4 次元球面上のファイバー束の全空間です)。

4 次元多様体 では、さらに異常な現象が発生します。1980 年代初頭、サイモン ドナルドソンとマイケル フリードマンによる結果の組み合わせにより、エキゾチックな が発見されました。つまり、に同相である のペアワイズ非微分同相開部分集合が無数に存在し、また に同相でに滑らかに埋め込まれないのペアワイズ非微分同相微分可能多様体も無数に存在します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

• アーノルドの猫写像のようなアノソフ微分同相写像
• ディフェオ異常は重力異常とも呼ばれ、量子力学における異常の一種である。
• 微分学、微分空間を形成する集合上の滑らかなパラメータ化
• 微分形態測定法、計算解剖学における形状と形態の測定学的研究
• エタール射影
• 大規模微分同相写像
• 局所微分同相写像
• 超微分同相写像

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