微分可能関数

数学において、 1 つの実変数の微分可能関数とは、その定義域の各点で導関数が存在する関数です。言い換えると、微分可能関数のグラフには、その定義域の各内部点で垂直でない接線があります。微分可能関数は滑らかであり (関数は各内部点で線形関数として局所的によく近似されます)、折れ目、角度、または尖点を含みません。

x ₀が関数fの定義域の内点である場合、導関数が存在するなら、f はx ₀で微分可能 であると言われます。言い換えると、fのグラフは、点( x ₀、f ( x ₀ ))で非垂直な接線を持ちます。f がU上のどの点でも微分可能であるなら、 f はU上で微分可能であると言われます。f の導関数が関数 の定義域でも連続関数である場合、 fは連続的に微分可能であると言われます。一般的に、f の 1次導関数が存在し、関数 の定義域で連続である場合、 fはクラスであると言われます。 ${\displaystyle f'(x_{0})}$${\textstyle f}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle k}$${\textstyle f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)}$${\textstyle f}$

ここで示されているように、多変数関数の場合、その微分可能性は、その偏導関数の存在よりも複雑です。

開集合上で定義された関数は、導関数 が${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$${\textstyle U\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle a\in U}$

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$

が存在する。これは関数が で連続であることを意味します。

この関数f は、 U のどの点でも微分可能である場合、U上で微分可能であるという。この場合、fの導関数はUから${\displaystyle \mathbb {R} .}$

連続関数は必ずしも微分可能ではありませんが、微分可能関数は、以下に示すように（微分可能なすべての点において）必ず連続です（微分可能性と連続性のセクション）。関数の導関数も連続関数である場合、その関数は連続微分可能であると言われます。微分可能だが連続微分可能ではない関数が存在します（例は微分可能性のクラスのセクションにあります）。

f が点x ₀で微分可能であれば、f はx ₀で連続でなければなりません。特に、微分可能な関数は、その定義域内のすべての点で連続でなければなりません。逆は成り立ちません。つまり、連続関数は必ずしも微分可能である必要はありません。たとえば、折れ曲がり、尖端、または垂直接線を持つ関数は連続である可能性がありますが、異常の位置では微分できません。

実際に現れる関数のほとんどは、すべての点またはほぼすべての点で導関数を持ちます。しかし、シュテファン・バナッハの結果によると、ある点で導関数を持つ関数の集合は、すべての連続関数の空間内の希薄集合です。 ^[1]非公式には、これは微分可能な関数が連続関数の中で非常に異例であることを意味します。どこでも連続であるがどこでも微分不可能な関数の最初の例は、ワイエルシュトラス関数です。

関数は${\textstyle f}$連続的に微分可能であるとは、導関数が存在し、それ自体が連続関数である場合を指します。微分可能関数の導関数にはジャンプ不連続性 は本質的な不連続性を持つことは可能です。たとえば、 が存在する ため、関数は 0 で微分可能です 微分規則となり 、 として極限はありません。したがって、この例は、微分可能だが連続的に微分可能ではない関数 (つまり、導関数が連続関数ではない関数) の存在を示しています。ただし、ダルブーの定理中間値定理の結論を満たします。 ${\textstyle f^{\prime }(x)}$$${\displaystyle f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{ if }}x\neq 0\\0&{\text{ if }}x=0\end{cases}}}$$$${\displaystyle f'(0)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left({\frac {\varepsilon ^{2}\sin(1/\varepsilon )-0}{\varepsilon }}\right)=0}$$${\displaystyle x\neq 0,}$ $${\displaystyle f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)\;,}$$${\displaystyle x\to 0.}$

連続関数がクラス${\displaystyle C^{0},}$であると言われるのと同様に、連続的に微分可能な関数はクラス${\displaystyle C^{1}}$であると言われることがあります。関数の1 次導関数と2 次導関数の両方が存在し、連続している場合、関数はクラス${\displaystyle C^{2}}$です。より一般的には、関数の1次導関数がすべて存在し、連続している場合、関数はクラスであると言われます。すべての正の整数に対して導関数が存在する場合、関数は滑らかであり、同等にクラスです。${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle k}$${\textstyle f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)}$${\displaystyle f^{(n)}}$${\textstyle n,}$${\displaystyle C^{\infty }.}$

複数の実変数の関数 ^f:Rm→Rnが点x0で微分可能^であると_は、線型写像J : Rm → Rn^が存在し ^、

${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\|\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} )-\mathbf {J} \mathbf {(h)} \|_{\mathbf {R} ^{n}}}{\|\mathbf {h} \|_{\mathbf {R} ^{m}}}}=0.}$

関数がx ₀で微分可能な場合、すべての偏導関数はx ₀に存在し、線型写像J はヤコビ行列（この場合はn × m行列）によって与えられます。高次元導関数の同様の定式化は、一変数微積分学に見られる 基本増分補題によって提供されます。

関数のすべての偏導関数が点x ₀の近傍に存在し、点x ₀で連続している場合、関数はその点x ₀で微分可能です。

しかし、偏微分（あるいはすべての方向微分）の存在は、関数が一点で微分可能であることを保証するものではない。例えば、関数f : R2 → Rは^次のように定義される。

$${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}x&{\text{if }}y\neq x^{2}\\0&{\text{if }}y=x^{2}\end{cases}}}$$

は(0, 0)で微分可能ではないが、この点ではすべての偏微分と方向微分が存在する。連続的な例として、関数

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}y^{3}/(x^{2}+y^{2})&{\text{if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}}$

は(0, 0)で微分可能ではありませんが、ここでもすべての偏微分と方向微分が存在します。

複素解析では、複素微分可能性は一変数実関数と同じ定義で定義されます。これは複素数を割り切れる可能性によって可能になります。したがって、関数が微分可能であると言われるのは、 ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$${\textstyle x=a}$

${\displaystyle f'(a)=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

この定義は一変数実関数の微分可能性に似ているように見えるが、より制限的な条件である。ある点で複素微分可能な関数は、関数として見れば、その点で自動的に微分可能である。これは、複素微分可能性が次を意味するからである。 ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$${\textstyle x=a}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {|f(a+h)-f(a)-f'(a)h|}{|h|}}=0.}$

ただし、関数は多変数関数として微分可能であっても、複素微分可能ではない場合があります。たとえば、2 変数実関数として見ると、 はすべての点で微分可能ですが、極限が存在しないため (極限はアプローチの角度によって異なります)、どの点でも複素微分可能ではありません。 ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$${\displaystyle f(z)={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}}$ ${\displaystyle f(x,y)=x}$${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {h+{\bar {h}}}{2h}}}$

ある点の近傍で複素微分可能な関数は、その点において正則関数と呼ばれます。そのような関数は必然的に無限微分可能であり、実際は解析的です。

Mが微分可能多様体である場合、 M上の実数値または複素数値関数fは、 p の周りに定義された何らかの (または任意の) 座標チャートに関して微分可能であるとき、点pで微分可能であると言われます。 MとN が微分可能多様体である場合、関数f :  M  →  Nは、 pとf ( p )の周りに定義された何らかの (または任意の) 座標チャートに関して微分可能であるとき、点 p で微分可能であると言われます。

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