繰り込み群

理論物理学において、繰り込み群( RG )という用語は、異なるスケールで見た物理システムの変化を体系的に調査することを可能にする正式な装置を指します。素粒子物理学では、物理プロセスが発生するエネルギースケールが変化すると、基礎となる力の法則 (量子場の理論でコード化) が変化することを示しています。エネルギー/運動量と解像度の距離スケールは、不確定性原理の下で実質的に共役です。

スケールの変化はスケール変換と呼ばれます。繰り込み群はスケール不変性と共形不変性、つまりシステムがすべてのスケールで同じに見える対称性（自己相似性）と密接に関係しています。^[a]

スケールが変化すると、システムを見る概念的な顕微鏡の拡大率を変えているのと同じようなものになります。いわゆるくりこみ可能な理論では、あるスケールのシステムは、より小さなスケールで見ると、通常、システムのコンポーネントを表すさまざまなパラメータを持つ自己相似コピーで構成されます。コンポーネント、つまり基本変数は、原子、素粒子、原子スピンなどに関連しています。理論のパラメータは通常、コンポーネントの相互作用を表します。これらは、さまざまな力の強さを測定する可変結合、または質量パラメータ自体である可能性があります。コンポーネント自体は、距離が短くなるにつれて、より多くの同じコンポーネントで構成されているように見える場合があります。

たとえば、量子電気力学(QED) では、電子は、非常に近い距離で高解像度で見ると、電子と陽電子の対と光子で構成されているように見えます。このような短い距離の電子は、遠くから見られる電子とはわずかに異なる電荷を持ち、この電荷の値の変化、つまり実行は、繰り込み群方程式によって決定されます。

スケール変換とスケール不変性の考え方は物理学では古くからある。スケーリングの議論はピタゴラス学派、ユークリッド、そしてガリレオに至るまで一般的だった。^[1]これらは19世紀末に再び人気を博したが、おそらく最初の例は乱流を説明する方法としての オズボーン・レイノルズの粘性増大の考え方であろう。

繰り込み群は当初、素粒子物理学で考案されましたが、今日ではその応用は固体物理学、流体力学、物理宇宙論、さらにはナノテクノロジーにまで広がっています。1953年のエルンスト・シュテュッケルベルクとアンドレ・ペーターマンによる初期の論文^[2]は、場の量子論におけるこのアイデアを予見していました。シュテュッケルベルクとペーターマンは、この分野を概念的に切り開きました。彼らは、繰り込みが、量を裸の項から対抗項に移す変換群を示すことに注目しました。彼らは、量子電磁力学 (QED)に関数h ( e ) を導入しましたが、これは現在ではベータ関数と呼ばれています(下記参照)。

マレー・ゲルマンとフランシス・E・ローは1954年にこの考えをQEDにおけるスケール変換に限定し^[3] 、これは物理的に最も重要であり、高エネルギーでの光子伝播関数の漸近形に焦点を当てた。彼らはQEDにおける電磁結合の変化を、その理論のスケーリング構造の単純さを評価することによって決定した。その結果、彼らはエネルギースケールμでの結合パラメータg ( μ )が（1次元変換）群方程式によって効果的に与えられること を発見した。

${\displaystyle g(\mu )=G^{-1}\left(\left({\frac {\mu }{M}}\right)^{d}G(g(M))\right)}$

または、同等に、何らかの関数G（指定されていない、今日ではウェグナーのスケーリング関数と呼ばれる）と定数dに対して、基準スケールMでの結合g(M)に関して、 となります。 ${\displaystyle G\left(g(\mu )\right)=G(g(M))\left({\mu }/{M}\right)^{d}}$

ゲルマンとローは、これらの結果から、有効スケールは任意にμとしてとることができ、他の任意のスケールで理論を定義するために変化できることを認識しました。

${\displaystyle g(\kappa )=G^{-1}\left(\left({\frac {\kappa }{\mu }}\right)^{d}G(g(\mu ))\right)=G^{-1}\left(\left({\frac {\kappa }{M}}\right)^{d}G(g(M))\right)}$

RGの要点は、この群の性質である。すなわち、スケールμが変化すると、理論はそれ自身の自己相似な複製を提示し、群作用、数学的な意味での結合の形式的な推移的共役性^[4]（シュレーダー方程式）によって、任意のスケールは他の任意のスケールから同様にアクセスできる。

この（有限）群方程式とそのスケーリング特性に基づいて、ゲルマン氏とロー氏は無限小変換に焦点を当て、彼らが導入した結合パラメータgの数学的フロー関数ψ ( g ) = G d /(∂ G /∂ g )に基づく計算方法を発明しました。シュテュッケルベルク氏とピーターマン氏の関数h ( e ) と同様に、彼らの関数は、微分方程式、すなわち繰り込み群方程式を通じて、エネルギースケールμの小さな変化に対する結合g ( μ )の微分変化を決定します。

${\displaystyle \displaystyle {\frac {\partial g}{\partial \ln \mu }}=\psi (g)=\beta (g)}$

1970年にC. CallanとK. Symanzikによって導入された、現代名であるベータ関数も示されています。 ^{[5]これは単なる}gの関数であるため、その摂動推定値をgに積分すると、結合の再正規化軌道、つまりエネルギーによる変化、つまりこの摂動近似における関数Gを指定できます。再正規化群の予測（Stueckelberg–PetermannとGell-Mann–Lowの研究を参照）は、40年後のLEP加速器実験で確認されました。QEDの微細構造「定数」は、200 GeVに近いエネルギーで約1 ⁄ 127と測定されました^{[6] 。これは、標準的な低エネルギー物理学の値である}1 ⁄ 137とは対照的です 。^[b]

くりこみ群は量子場の変数のくりこみから生まれ、通常は量子場の理論における無限大の問題に対処しなければならない。 ^[c]有限の物理量を得るために量子場の理論の無限大を体系的に扱うこの問題は、QED ではリチャード・ファインマン、ジュリアン・シュウィンガー、朝永振一郎によって解決され、3 人はこれらの貢献により 1965 年のノーベル賞を受賞した。彼らは質量と電荷のくりこみの理論を効果的に考案し、その中で運動量スケールの無限大は超巨大な調節因子Λ によって遮断された。^[d]

電荷や電子質量などの物理量のスケール Λ への依存性は隠されており、物理量が測定されるより長距離のスケールと実質的に入れ替わっています。その結果、観測可能なすべての量は、無限の Λ であっても有限になります。したがって、Gell-Mann と Low は、これらの結果から、無限小では、 ψ( g )が与えられた上記の RG 方程式によってgの小さな変化が提供される一方で、 ψ( g ) がスケールμではなく理論のパラメータのみに明示的に依存するという事実によって自己相似性が表現されることを認識しました。その結果、上記の繰り込み群方程式は、 ( Gおよびしたがって) g ( μ ) について解くことができます。

従来のくりこみ可能な理論の膨張群を超えるくりこみ過程の物理的意味と一般化のより深い理解は、長さの大きく異なるスケールが同時に現れる方法を考慮する。これは凝縮物質物理学から来たものである。 1966年のレオ・P・カダノフの論文は「ブロックスピン」くりこみ群を提案した。^[8]「ブロッキングアイデア」は、理論の遠距離の成分を、より短距離の成分の集合として定義する方法である。

このアプローチは概念的な点をカバーし、ケネス・ウィルソンの広範囲にわたる重要な貢献の中で完全な計算内容を与えられました。ウィルソンのアイデアの威力は、1975年に長年の懸案であった近藤問題の構成的反復再正規化解によって実証されました^[9]。また、 1971年には、二次相転移と臨界現象の理論における彼の新しい方法の先駆的な発展によっても実証されました^{[10] 。 [11] [12]}これらの決定的な貢献により、彼は1982年にノーベル賞を受賞しました。^[13]

一方、粒子物理学におけるRGは、1970年にCallanとSymanzikによってより実用的な言葉で再定式化されました。^{[5] [14]}スケールによる「結合の実行」パラメータを記述する上記のベータ関数は、「標準的なトレース異常」に相当することも判明しました。これは、場の理論におけるスケール（膨張）対称性の量子力学的破れを表します。^{[e] RGの粒子物理学への応用は、}標準モデルの確立とともに1970年代に爆発的に増加しました。

1973年、^{[15] [16]}に、相互作用するカラークォークの理論である量子色力学が負のベータ関数を持つことが発見されました。これは、結合の初期の高エネルギー値が、結合が爆発する（発散する）特別なμ値をもたらすことを意味します。この特別な値は強い相互作用のスケール、μ = Λ _QCDであり、約200 MeVで発生します。逆に、非常に高いエネルギーでは結合が弱くなり（漸近的自由）、ファインマン-ビョルケンスケーリングによって予測されたように、深い非弾性散乱でクォークが点状粒子として観測可能になります。これにより、粒子の強い相互作用を制御する量子場理論としてQCDが確立されました。

運動量空間RGも固体物理学において高度に発達したツールとなったが、摂動論の広範な使用によって妨げられ、この理論は強相関系では成功しなかった。^[f]

共形対称性はベータ関数の消失と関連している。これは、結合定数がβ ( g ) = 0となる固定点に向かって動くことによって自然に発生する可能性がある。QCD では、固定点はg → 0となる短距離に発生し、（自明な）紫外線固定点と呼ばれる。トップクォークなどの重いクォークの場合、質量を与えるヒッグス粒子との結合は、固定された非ゼロ（自明ではない）赤外線固定点に向かって動く。これは、ペンドルトンとロス（1981 年）^[17]およびCT ヒル^[18]によって初めて予測された。 トップクォークの湯川結合は、標準モデルの赤外線固定点よりわずかに下にあり、連続する重いヒッグス粒子などの追加の新しい物理の可能性を示唆している。^{[出典が必要]}

弦理論では、弦の世界面の共形不​​変性は基本的な対称性であり、β = 0 が必須です。ここで、β は弦が移動する時空の幾何学の関数です。これにより、弦理論の時空の次元が決定され、幾何学にアインシュタインの一般相対性理論の方程式が適用されます。RG は弦理論と大統一理論にとって根本的に重要です。

これは、凝縮系物理学における臨界現象の基礎となる現代的な鍵となる考え方でもある。 ^[19]実際、RGは現代物理学の最も重要なツールの一つとなっている。^{[20] RGは}モンテカルロ法と組み合わせて使用​​されることが多い。^[21]

このセクションでは、RGの最も理解しやすい図、つまり1966年にレオ・P・カダノフによって考案されたブロックスピンRGを教育的に紹介します。 ^[8]

図に示すように、完全な正方形配列の原子の集合である 2D 立体を考えてみましょう。

原子は最も近い原子とのみ相互作用し、システムは特定の温度Tにあると仮定します。相互作用の強さは、特定の結合 Jによって定量化されます。システムの物理的性質は、ハミルトニアンH ( T , J )などの特定の式によって記述されます。

次に、立体を2×2 の正方形のブロックに分割します。ブロック変数、つまりブロックの平均的な動作を記述する変数を使用してシステムを記述します。さらに、幸運な偶然により、ブロック変数の物理特性が同じ種類の式で記述されるものと仮定します 。ただし、TとJの値は異なります。H ( T ′ , J ′ )です。(これは一般には正確には当てはまりませんが、多くの場合、最初の近似値として適しています。)

おそらく、最初の問題は、原子が多すぎたため、解決が難しすぎたのでしょう。現在、再正規化された問題では、原子は 4 分の 1 しかありません。しかし、なぜここで止まるのでしょうか。同じ種類の別の反復により、H ( T"、J" )に至り、原子は 16 分の 1 だけになります。RGステップごとに、 観測スケールが拡大しています。

もちろん、最も良い方法は、非常に大きなブロックが 1 つだけになるまで繰り返すことです。実際の材料サンプル内の原子の数は非常に多いため、これは、( T、J ) → ( T ′ 、 J ′ ) および ( T ′、J ′ ) → ( T " 、 J " )をとるRG変換の長距離動作を見つけることとほぼ同等です。多くの場合、この RG 変換を何度も繰り返すと、一定数の固定点が生じます。

より具体的には、J結合が隣接するスピンが整列する傾向を示す磁気システム (例:イジング モデル)を考えてみましょう。システムの構成は、秩序化J項と温度の無秩序化効果との間のトレードオフの結果です。

この種のモデルの多くには、3 つの固定点があります。

1. T = 0かつJ → ∞です。これは、最大サイズでは温度が重要ではなくなる、つまり無秩序化要因が消えることを意味します。したがって、大規模では、システムは秩序立っているように見えます。私たちは強磁性相にあります。
2. T → ∞かつJ → 0。まったく逆で、ここでは温度が支配的であり、システムは大規模に無秩序になります。
3. それらの間の非自明な点、T = T _cとJ = J _c 。この点では、システムがフラクタル状態にあるため、スケールを変更しても物理的性質は変化しません。これはキュリー 相転移に対応し、臨界点とも呼ばれます。

したがって、 TとJの値が与えられた特定の材料が与えられた場合、システムの大規模な動作を見つけるために必要なことは、対応する固定点が見つかるまでペアを反復することだけです。

より技術的な言葉で言えば、状態変数の特定の関数と特定の結合定数のセットによって記述される理論があると仮定します。この関数は、分割関数、アクション、ハミルトニアンなどです。システムの物理的性質の全体的な記述が含まれている必要があります。 ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \{s_{i}\}}$${\displaystyle \{J_{k}\}}$

ここで、状態変数の特定のブロッキング変換について考えます。 の数はの数よりも少なくなければなりません。 ここで、についてのみ関数を書き直してみましょう。 これがパラメータの特定の変更によって達成できる場合、理論は繰り込み可能であると言われます。 ${\displaystyle \{s_{i}\}\to \{{\tilde {s}}_{i}\}}$${\displaystyle {\tilde {s}}_{i}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle {\tilde {s}}_{i}}$${\displaystyle \{J_{k}\}\to \{{\tilde {J}}_{k}\}}$

量子電磁力学、量子色力学、電弱相互作用などの物理学のほとんどの基礎理論は、重力を除いて、正確に繰り込み可能です。また、超伝導から流体乱流まで、凝縮物質物理学のほとんどの理論は、近似的に繰り込み可能です。

パラメータの変更は、特定のベータ関数 によって実装されます。これは、 -空間に繰り込み群フロー(またはRG フロー)を誘導すると言われています。フローにおけるの値は、ランニングカップリングと呼ばれます。 ${\displaystyle \{{\tilde {J}}_{k}\}=\beta (\{J_{k}\})}$${\displaystyle J}$${\displaystyle J}$

前のセクションで述べたように、RG フローの最も重要な情報は、その固定点です。大規模なシステムの可能なマクロ状態は、この固定点の集合によって与えられます。これらの固定点が自由場理論に対応する場合、その理論は量子電気力学でランダウ極と呼ばれるものを持ち、量子自明性を示すと言われています。 φ ⁴相互作用の場合、マイケル・アイゼンマンは、時空次元D ≥ 5に対してこの理論が確かに自明であることを証明しました。 ^[22] D = 4の場合、自明性はまだ厳密に証明されていませんが、格子計算はこれに対する強力な証拠を提供しています。この事実は重要です。なぜなら、量子自明性は、漸近的な安全シナリオにおけるヒッグス粒子の質量などのパラメータを制限したり予測したりするために使用できるからです。格子ヒッグス理論の研究には多数の固定点が登場しますが、これらに関連する量子場理論の性質は未解決の問題のままです。^[23]

このようなシステムにおける RG 変換は非可逆であるため(つまり、変数の数が減少する - 別のコンテキストでの例として、非可逆データ圧縮を参照)、特定の RG 変換の逆変換が存在する必要はありません。したがって、このような非可逆システムでは、非可逆性は各要素に一意の逆変換が存在しないことを意味するため 、繰り込み群は実際には半群です。

RG 変換を受ける物理システムの特定の観測量Aを考えてみましょう。システムの長さスケールが小さいものから大きいものへと変化するときの観測量の大きさによって、スケーリング則に対する観測量の重要性が決まります。

システムのマクロ的な動作を記述するには、関連する観測量が必要です。無関係な観測量は必要ありません。限界観測量は考慮に入れる必要がある場合と、そうでない場合があります。注目すべき広範な事実は、ほとんどの観測量は無関係であるということです。つまり、ほとんどのシステムでは、マクロ的な物理現象はほんの数個の観測量によって支配されています。

たとえば、ミクロ物理学では、1モルの炭素 12 原子からなるシステムを記述するには、約 10 ^{23 個}(アボガドロ数) の変数が必要ですが、マクロシステム (12 グラムの炭素 12) として記述するには、数個の変数しか必要ありません。

ウィルソンのRGアプローチ以前には、説明すべき驚くべき経験的事実がありました。それは、磁気システム、超流動転移（ラムダ転移）、合金物理学など、非常に異なる現象における臨界指数（つまり、2次相転移付近のいくつかの量の縮減温度依存性の指数）の一致です。そのため、一般に、相転移付近のシステムの熱力学的特徴は、次元や対称性などの少数の変数にのみ依存し、システムの根本的な微視的特性の詳細には影響されません。

一見全く異なる物理システムにおける臨界指数の一致は普遍性と呼ばれ、個々の微細スケールの要素間の現象の違いは無関係な観測量によって決定され、関連する観測量は共通に共有されていることを実証することにより、繰り込み群を使用して簡単に説明できます。したがって、多くのマクロな現象は、関連する観測量の共有セットによって指定される、小さな普遍性クラスのセットにグループ化できます。^[g]

実際には、繰り込み群には 2 つの主な「種類」があります。上で説明した Kadanoff の描像は、主にいわゆる実空間 RGを指します。

一方、運動量空間 RG は、比較的微妙であるにもかかわらず、より長い歴史を持っています。これは、自由度を特定のフィールドのフーリエ モードとして表現できるシステムに使用できます。RG 変換は、高運動量 (大波数) モードの特定のセットを積分することによって進行します。大波数は短い長さのスケールに関連しているため、運動量空間 RG は、実空間 RG と本質的に類似した粗視化効果をもたらします。

運動量空間 RG は通常、摂動展開で実行されます。このような展開の妥当性は、システムの実際の物理が自由場システムの物理に近いことを前提としています。この場合、展開の主要な項を合計することで観測量を計算できます。このアプローチは、粒子物理学のほとんどを含む多くの理論で成功していることが証明されていますが、物理が自由システムから非常に離れているシステム、つまり強い相関を持つシステムでは失敗します。

粒子物理学における RG の物理的な意味の例として、量子電磁力学(QED)における電荷の再正規化の概要を考えてみましょう。ある真の (または裸の) 大きさの点正電荷があるとします。その周囲の電磁場は特定のエネルギーを持っているため、たとえば仮想電子陽電子対がいくつか生成されることがあります。仮想粒子は急速に消滅しますが、その短い寿命の間に電子は電荷に引き付けられ、陽電子は反発されます。これは点電荷の近く、つまり電場が十分に強い場所ではどこでも一様に発生するため、遠くから見るとこれらの対によって電荷の周囲に効果的にスクリーンが作成されます。測定される電荷​​の強さは、測定プローブが点電荷にどれだけ近づけるかによって決まります。点電荷に近づけば近づくほど、仮想粒子のスクリーンをより多く迂回します。したがって、ある結合定数 (ここでは電荷) は距離スケールに依存します。

運動量と長さのスケールは、ド・ブロイの関係に従って、逆の関係にあります 。つまり、到達できるエネルギーまたは運動量のスケールが高くなるほど、調査および解決できる長さのスケールは低くなります。したがって、運動量空間 RG 実践者は、理論から高運動量または高エネルギーを 統合して排除すると主張することがあります。

正確な繰り込み群方程式( ERGE )は、無関係な結合を考慮に入れた方程式です。いくつかの定式化があります。

ウィルソンERGEは概念的には最も単純ですが、実装は事実上不可能です。ウィック回転をユークリッド空間にした後、運動量空間にフーリエ変換します。運動量カットオフを厳密にp ² ≤ Λ ²に設定し、運動量がΛ未満の自由度のみになるようにします。分割関数は

${\displaystyle Z=\int _{p^{2}\leq \Lambda ^{2}}{\mathcal {D}}\phi \exp \left[-S_{\Lambda }[\phi ]\right].}$

Λ未満の任意の 正のΛ'に対して 、S _Λ' （フーリエ変換がp ² ≤ Λ' ²の範囲内で運動量サポートを持つフィールド構成φ上の汎関数 ）を次のように 定義します。

${\displaystyle \exp \left(-S_{\Lambda '}[\phi ]\right)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{\Lambda '\leq p\leq \Lambda }{\mathcal {D}}\phi \exp \left[-S_{\Lambda }[\phi ]\right].}$

S _{Λ が}ϕのみに依存し、ϕの導関数には依存しない場合は、これは次のように書き直すことができる。

${\displaystyle \exp \left(-S_{\Lambda '}[\phi ]\right)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \prod _{\Lambda '\leq p\leq \Lambda }\int d\phi (p)\exp \left[-S_{\Lambda }[\phi (p)]\right],}$

ここで、 Λ' と Λの間のサポートを持つ 関数ϕのみが積分されるので、左辺は依然としてその範囲外のサポートを持つϕに依存する可能性があることが明らかになる。明らかに、

${\displaystyle Z=\int _{p^{2}\leq {\Lambda '}^{2}}{\mathcal {D}}\phi \exp \left[-S_{\Lambda '}[\phi ]\right].}$

実際、この変換は推移的です。S Λから S _{Λ ′ を}計算し 、次に S Λ ′ ′ から S Λ ′ ′ を計算すると_、 S _{Λから直接}S Λ _{″を計算する}の_と同じウィルソン作用が得られます。

Polchinski ERGEには、滑らかなUVレギュレータ カットオフが含まれます。基本的に、このアイデアは Wilson ERGE の改良版です。鋭い運動量カットオフの代わりに、滑らかなカットオフを使用します。基本的に、 Λより大きい運動量からの寄与を強く抑制します。ただし、カットオフが滑らかなため、カットオフ スケール Λで関数微分方程式を導出できます。Wilson のアプローチと同様に、カットオフ エネルギー スケールΛごとに異なるアクション関数があります 。これらのアクションはそれぞれまったく同じモデルを記述することになっているため、それらのパーティション関数は完全に一致する必要があります。

言い換えれば、（実スカラー場の場合、他の場への一般化は明らかである）、

${\displaystyle Z_{\Lambda }[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(-S_{\Lambda }[\phi ]+J\cdot \phi \right)=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot R_{\Lambda }\cdot \phi -S_{{\text{int}}\,\Lambda }[\phi ]+J\cdot \phi \right)}$

そして、Z _{Λ は実際には}Λとは独立です。ここでは、凝縮されたdeWitt 表記法を使用しています。また、裸の作用 S _{Λ を}2 次運動項と相互作用部分 S _{int Λに分割しています。この分割は、決してきれいなものではありません。「相互作用」部分には、2 次運動項も含まれる可能性があります。実際、}波動関数の再正規化がある場合は、間違いなく含まれます。これは、フィールドの再スケーリングを導入することでいくらか軽減できます。R _{Λ は}運動量 p の関数であり、指数の 2 番目の項は

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\tilde {\phi }}^{*}(p)R_{\Lambda }(p){\tilde {\phi }}(p)}$

展開すると。

のとき、R _Λ ( p )/ p ²は本質的に 1 です。 のとき、R _Λ ( p )/ p ²は非常に大きくなり、無限大に近づきます。R _Λ ( p )/ p ^{2 は}常に 1 以上で滑らかです。基本的に、これにより、カットオフΛ未満の運動量を持つ変動は影響を受けませんが、カットオフを超える運動量を持つ変動の寄与は大幅に抑制されます。これは明らかに、Wilson に比べて大幅に改善されています。 ${\displaystyle p\ll \Lambda }$${\displaystyle p\gg \Lambda }$

という条件

${\displaystyle {\frac {d}{d\Lambda }}Z_{\Lambda }=0}$

（ただし、それだけではない）

${\displaystyle {\frac {d}{d\Lambda }}S_{{\text{int}}\,\Lambda }={\frac {1}{2}}{\frac {\delta S_{{\text{int}}\,\Lambda }}{\delta \phi }}\cdot \left({\frac {d}{d\Lambda }}R_{\Lambda }^{-1}\right)\cdot {\frac {\delta S_{{\text{int}}\,\Lambda }}{\delta \phi }}-{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[{\frac {\delta ^{2}S_{{\text{int}}\,\Lambda }}{\delta \phi \,\delta \phi }}\cdot R_{\Lambda }^{-1}\right].}$

ジャック・ディスラーは、このERGEは非摂動論的には正しくないということを証拠なしに主張した。^[24]

有効平均作用 ERGEには、滑らかな IR レギュレータ カットオフが含まれます。その考え方は、IR スケールkまでのすべての変動を考慮することです。有効平均作用は、 kよりも大きい運動量を持つ変動に対して正確になります。パラメータkが小さくなると、有効平均作用は、すべての量子および古典的変動を含む有効作用に近づきます。対照的に、kが大きい場合、有効平均作用は「裸の作用」に近くなります。したがって、有効平均作用は、「裸の作用」と有効作用の間を補間します。

実スカラー場の場合、IRカットオフを加えると

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\tilde {\phi }}^{*}(p)R_{k}(p){\tilde {\phi }}(p)}$

作用 Sに対して、R _{k は}kと pの両方の関数であり 、 に対して 、R _k (p) は非常に小さく 0 に近づき、 に対して、に近づきます。R _{k は}滑らかで非負です。小さな運動量に対するその大きな値は、分配関数へのそれらの寄与を抑制することにつながり、これは事実上、大規模な変動を無視することと同じことです。 ${\displaystyle p\gg k}$${\displaystyle p\ll k}$${\displaystyle R_{k}(p)\gtrsim k^{2}}$

凝縮されたデウィット記法を使うこともできる。

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\phi \cdot R_{k}\cdot \phi }$

このIRレギュレータ用。

それで、

${\displaystyle \exp \left(W_{k}[J]\right)=Z_{k}[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(-S[\phi ]-{\frac {1}{2}}\phi \cdot R_{k}\cdot \phi +J\cdot \phi \right)}$

ここで、 Jはソース フィールドです。W _kのルジャンドル変換は通常、有効作用を与えます。ただし、最初に得た作用は実際には S[φ]+1/2 φ⋅R _{k ⋅φ であるため、有効平均作用を得るには、1/2 φ⋅R k} ⋅φを減算します。言い換えると、

${\displaystyle \phi [J;k]={\frac {\delta W_{k}}{\delta J}}[J]}$

_{を逆にするとJ k} [φ]となり、実効平均作用Γ _kを次のように 定義する。

${\displaystyle \Gamma _{k}[\phi ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(-W\left[J_{k}[\phi ]\right]+J_{k}[\phi ]\cdot \phi \right)-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot R_{k}\cdot \phi .}$

したがって、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dk}}\Gamma _{k}[\phi ]&=-{\frac {d}{dk}}W_{k}[J_{k}[\phi ]]-{\frac {\delta W_{k}}{\delta J}}\cdot {\frac {d}{dk}}J_{k}[\phi ]+{\frac {d}{dk}}J_{k}[\phi ]\cdot \phi -{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \\&=-{\frac {d}{dk}}W_{k}[J_{k}[\phi ]]-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \\&={\tfrac {1}{2}}\left\langle \phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \right\rangle _{J_{k}[\phi ];k}-{\tfrac {1}{2}}\phi \cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\cdot \phi \\&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\left({\frac {\delta J_{k}}{\delta \phi }}\right)^{-1}\cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\right]\\&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\left({\frac {\delta ^{2}\Gamma _{k}}{\delta \phi \delta \phi }}+R_{k}\right)^{-1}\cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\right]\end{aligned}}}$

したがって

${\displaystyle {\frac {d}{dk}}\Gamma _{k}[\phi ]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\left({\frac {\delta ^{2}\Gamma _{k}}{\delta \phi \delta \phi }}+R_{k}\right)^{-1}\cdot {\frac {d}{dk}}R_{k}\right]}$

はERGEであり、ウェッテリッヒ方程式としても知られています。モリスが示したように、有効作用Γk_は実際にはルジャンドル変換関係を介してポルチンスキーの有効作用Sintと単純に関連しています。_[ ^25]

R _kの選択肢は無限にあるため、補間 ERGE も無限に存在します。スピノル場のような他の場への一般化は簡単です。

Polchinski ERGE と有効平均作用 ERGE は似ているように見えますが、まったく異なる哲学に基づいています。有効平均作用 ERGE では、裸の作用は変更されません (UV カットオフ スケール (存在する場合) も変更されません) が、有効作用への IR 寄与は抑制されます。一方、Polchinski ERGE では、QFT は一度固定されますが、「裸の作用」はさまざまなエネルギー スケールで変化し、事前に指定されたモデルを再現します。Polchinski のバージョンは、精神的には確かに Wilson のアイデアに非常に近いです。一方は「裸の作用」を使用し、もう一方は有効 (平均) 作用を使用することに注意してください。

繰り込み群は、1ループ以上の高次の有効ポテンシャルを計算するためにも使用できます。この種のアプローチは、コールマン・ワインバーグ^[26]メカニズムの補正を計算するのに特に興味深いものです。これを行うには、繰り込み群方程式を有効ポテンシャルの観点から記述する必要があります。モデルの場合: ${\displaystyle \phi ^{4}}$

${\displaystyle \left(\mu {\frac {\partial }{\partial \mu }}+\beta _{\lambda }{\frac {\partial }{\partial \lambda }}+\phi \gamma _{\phi }{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)V_{\text{eff}}=0.}$

有効電位を決定するには、次のように 書くと便利です。${\displaystyle V_{\text{eff}}}$

${\displaystyle V_{\text{eff}}={\frac {1}{4}}\phi ^{4}S_{\text{eff}}{\big (}\lambda ,L(\phi ){\big )},}$

ここで、は のべき級数です: ${\displaystyle S_{\text{eff}}}$${\displaystyle L(\phi )=\log {\frac {\phi ^{2}}{\mu ^{2}}}}$

${\displaystyle S_{\text{eff}}=A+BL+CL^{2}+DL^{3}+\dots .}$

上記の仮定を用いると、繰り込み群方程式を摂動的に解き、所望の次数までの有効ポテンシャルを求めることができる。この手法の教育的説明は参考文献に示されている。^[27]

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