軌道

天体力学において、軌道（公転とも呼ばれる）とは、恒星の周りの惑星の軌道、惑星の周りの自然衛星の軌道、惑星、月、小惑星^、ラグランジュ点などの宇宙の物体または位置の周りの人工衛星の軌道など、物体 [1] の曲線軌道である。通常、軌道は規則的に繰り返される軌道を指すが、繰り返さない軌道を指すこともある。近似的に、惑星と衛星は楕円軌道を描き、質量の中心は楕円の焦点を周回し、^[2]ケプラーの惑星運動の法則で説明されている。

ほとんどの場合、軌道運動はニュートン力学によって適切に近似され、重力は反比例の法則に従う力として説明されます。^[3]しかし、アルバート・アインシュタインの一般相対性理論は、重力は時空の曲率によるものであり、軌道は測地線に沿っていると説明しており、軌道運動の正確な力学のより正確な計算と理解を提供しています。

歴史的に、惑星の見かけの運動は、ヨーロッパとアラビアの哲学者によって天球の概念を用いて説明された。このモデルは、恒星と惑星が取り付けられた完全に動く球体またはリングの存在を前提としていた。このモデルは、天球の運動とは別に天体が固定されていると想定し、重力についての理解なしに開発された。惑星の運動がより正確に測定された後、従円や周転円などの理論的メカニズムが追加された。このモデルは天空の惑星の位置をかなり正確に予測できたが、測定がより正確になるにつれて、より多くの周転円が必要になり、モデルはますます扱いにくくなった。もともとは地球中心説だったが、モデルを簡素化するためにコペルニクスによって太陽を中心に置くように修正された。このモデルは、16世紀に彗星が球体を横切るのが観測されたため、さらに疑問視された。^{[4] [5]}

軌道に関する現代的な理解の基礎は、ヨハネス・ケプラーが初めて定式化したもので、彼の研究結果は惑星運動の3つの法則にまとめられています。まず、彼は太陽系の惑星の軌道がそれまで信じられていた円（周転円）ではなく楕円であること、そして太陽は軌道の中心ではなく1つの焦点にあることを発見しました。^[6]次に、彼は各惑星の公転速度がそれまで考えられていたように一定ではなく、速度は惑星の太陽からの距離によって決まることを発見しました。最後に、ケプラーは太陽を周回するすべての惑星の軌道特性の間に普遍的な関係があることを発見しました。惑星の場合、太陽からの距離の3乗は、公転周期の2乗に比例します。たとえば、木星と金星は、太陽からそれぞれ約 5.2 AU と 0.723 AU離れており、公転周期はそれぞれ約 11.86 年と 0.615 年です。比例関係は、木星の比率 5.2 ³ /11.86 ^{2 が}、関係に従って金星の比率 0.723 ³ /0.615 ²と実質的に等しいことからわかります。これらの規則を満たす理想的な軌道は、ケプラー軌道として知られています。

アイザック・ニュートンは、ケプラーの法則が彼の万有引力の理論から導き出せること、そして一般に重力の影響を受ける物体の軌道は円錐曲線になることを実証した（これは重力が瞬間的に伝播することを仮定している）。ニュートンは、一対の物体について、軌道の大きさはその質量に反比例し、それらの物体は共通の質量の中心を周回することを示した。一方の物体の質量が他方の物体の質量よりもはるかに大きい場合（惑星を周回する人工衛星の場合など）、質量の中心をより質量の大きい物体の中心と一致すると近似するのが便利である。

その後、ニュートン力学の進歩は、他の物体による摂動や、球体ではなく回転楕円体の影響など、ケプラーの軌道の背後にある単純な仮定からのバリエーションの調査に使用されました。ジョゼフ・ルイ・ラグランジュは、力よりもエネルギーを重視するニュートン力学への新しいアプローチを開発し、三体問題に進展をもたらし、ラグランジュ点を発見しました。古典力学の劇的な正当性を証明する出来事として、1846年にユルバン・ルヴェリエは、天王星の軌道における説明のつかない摂動に基づいて海王星の位置を予測することができました。

アルバート・アインシュタインは、1916年の論文「一般相対性理論の基礎」で、重力は時空の曲率によるものであると説明し、重力の変化は瞬時に伝播するというニュートンの仮定を排除しました。これにより、天文学者は、ニュートン力学では軌道の理解に最高の精度が得られないことに気付きました。相対性理論では、軌道は測地線の軌跡をたどりますが、これは通常、ニュートンの予測によって非常によく近似されますが (非常に強い重力場と非常に高速な場合を除く)、違いは測定可能です。基本的に、理論を区別できるすべての実験的証拠は、実験測定精度の範囲内で相対性理論と一致しています。一般相対性理論の元々の正当性は、ルヴェリエによって最初に指摘された水星の近日点の歳差運動の残りの未説明の量を説明できたことです。しかし、ニュートンの解は、はるかに使いやすく、十分に正確であるため、ほとんどの短期的な目的で今でも使用されています。

惑星系内では、惑星、準惑星、小惑星およびその他の小惑星、彗星、および宇宙ゴミが、その系の重心の周りを楕円軌道で回っています。重心の周りの放物線または双曲軌道にある彗星は、恒星に重力で束縛されていないため、恒星の惑星系の一部とは見なされません。惑星系の惑星の 1 つに重力で束縛されている天体 (自然衛星または人工衛星)は、その惑星の近くまたは惑星内の重心の周りを軌道で回っています。

相互の重力摂動により、惑星の軌道離心率は時間とともに変化します。太陽系で最も小さい惑星である水星の軌道離心率は最も大きくなっています。現時点では、火星の軌道離心率が次に大きく、金星と海王星の軌道離心率が最も小さくなっています。

2 つの物体が互いの周りを回る場合、近点は2 つの物体が最も接近する点、遠点は最も遠ざかる点です。(特定の物体には、より具体的な用語が使用されます。たとえば、近地点と遠地点は、地球を回る軌道の最も低い部分と最も高い部分であり、近日点と遠日点は、太陽を回る軌道の最も近い点と最も遠い点です。)

恒星を周回する惑星の場合、恒星とそのすべての衛星の質量は、重心と呼ばれる一点に集中すると計算されます。恒星のすべての衛星の軌道は、その重心の周りの楕円軌道になります。そのシステムの各衛星は、その楕円の 1 つの焦点に重心がある独自の楕円軌道を持ちます。軌道上のどの点でも、どの衛星も重心に対して特定の運動エネルギーと位置エネルギーを持ち、これら 2 つのエネルギーの合計は、軌道上のどの点でも一定値です。その結果、惑星が近点 に近づくと、位置エネルギーが減少するため惑星の速度が増加します。一方、惑星が遠点に近づくと、位置エネルギーが増加するため速度が減少します。

軌道を理解するための一般的な方法がいくつかあります。

• 重力などの力は、物体が直線的に飛行しようとするときに、物体を曲線の軌道に引き寄せます。
• 物体が巨大な物体に引っ張られると、物体に向かって落下します。しかし、物体に十分な接線速度があれば、物体に落下することはなく、物体によって生じる曲線軌道を無限にたどり続けます。このとき、物体は物体の周りを周回していると言えます。

したがって、質量を持つ 2 つの移動物体の速度関係は、サブタイプを含む 4 つの実用的なクラスで考えることができます。

軌道なし

弾道軌道

断続楕円軌道の範囲

軌道軌道（または単に軌道）

• 発射点の反対側に最も近い点を持つ楕円軌道の範囲
• 円形の道
• 発射地点に最も近い点を持つ楕円軌道の範囲

オープン（または脱出）軌道

• 放物線状の軌道
• 双曲パス

軌道ロケットは、最初は垂直に打ち上げられ、ロケットを大気圏上に持ち上げ（摩擦抵抗を発生）、その後ゆっくりと機首を傾げ、ロケットエンジンを大気圏と平行にして軌道速度を達成する点に注目すべきです。

軌道に乗ると、物体は速度によって大気圏上の軌道に留まります。例えば、楕円軌道が濃い空気に陥ると、物体は速度を失って再突入します (つまり、落下します)。宇宙船が意図的に大気圏に突入することもあります。これは一般にエアロブレーキング操作と呼ばれる動作です。

惑星の周りの軌道の例として、ニュートンの砲弾モデルが役に立つかもしれません（下の画像を参照）。これは「思考実験」であり、高い山の頂上にある大砲が、任意の砲口速度で砲弾を水平に発射できるというものです。砲弾に対する空気摩擦の影響は無視されます（または、山が十分に高いため大砲が地球の大気圏より上にある場合、同じことです）。^[7]

大砲が低初速でボールを発射した場合、ボールの軌道は下向きにカーブして地面に当たります (A)。発射速度が上がると、大砲から遠く離れた地面に当たります (B)。これは、ボールがまだ地面に向かって落下している間に、地面がボールから遠ざかるカーブを描いていくためです (上記の最初のポイントを参照)。これらの動きはすべて、技術的な意味では実際には「軌道」です。つまり、重心の周りの楕円軌道の一部を表しているのですが、軌道は地球に衝突することで中断されます。

砲弾が十分な速度で発射された場合、地面は少なくとも砲弾が落下するのと同じだけ砲弾から遠ざかるように曲がるため、砲弾が地面に当たることはありません。砲弾は、途切れることのない軌道、つまり周回軌道と呼べる軌道を描いています。重心からの高さと惑星の質量の特定の組み合わせに対して、 (C) に示すように、円軌道を描く特定の発射速度 (砲弾の質量には影響されず、地球の質量に比べて非常に小さいと想定されます) が 1 つあります。

発射速度がこれを超えて増加すると、途切れのない楕円軌道が生成されます。1 つを (D) に示します。図のように最初の発射が地球の表面より上にある場合、より遅い発射速度でも途切れのない楕円軌道が生成されます。これらの軌道は、発射地点の真向かいの軌道の半分先、円軌道の下の地点で地球に最も近づきます。

惑星の質量と物体の重心からの距離に依存する、脱出速度と呼ばれる特定の水平発射速度では、放物線経路を持つ開軌道 (E) が達成されます。さらに高速になると、物体は一連の双曲線軌道をたどります。実際的な意味では、これらの軌道タイプは両方とも、物体が惑星の重力から「解放」され、「宇宙に飛び出して」二度と戻ってこないことを意味します。

ほとんどの場合、相対論的効果は無視でき、ニュートンの法則は運動の十分正確な記述を与える。物体の加速度は、その物体に作用する力の合計をその質量で割ったものに等しく、物体に作用する重力は、2 つの引力の積に比例し、それらの間の距離の 2 乗に反比例して減少する。このニュートンの近似では、相互の重力によってのみ影響を受ける 2 点質量または球形の物体のシステム ( 2 体問題と呼ばれる) の場合、それらの軌道を正確に計算できる。惑星を周回する衛星または小さな月、または太陽を周回する地球の場合のように、重い物体の質量が小さい物体の質量よりもはるかに大きい場合は、重い物体を中心とした座標系で運動を記述するのが正確かつ便利であり、軽い物体が重い物体の周りを周回していると言うことができる。 2 つの物体の質量が同程度である場合、正確なニュートン力学の解は依然として十分であり、座標系をシステムの質量の中心に配置することによって得ることができます。

エネルギーは重力場と関連しています。遠く離れた静止物体は、その物体に引っ張られると外部作業を行うことができ、したがって重力による位置エネルギーを持ちます。2 つの物体を重力に逆らって引き離すには作業が必要なため、物体が離れるにつれて重力による位置エネルギーは増加し、近づくにつれて減少します。質点の場合、重力エネルギーは離れる距離がゼロに近づくにつれて 0 に減少します。位置エネルギーは、物体が無限に離れているときは 0 の値を持つと便利で慣例的であり、したがって、より小さな有限距離では負の値 (0 から減少するため) を持ちます。

2 つの重力物体だけが相互作用する場合、それらの軌道は円錐曲線を描きます。軌道は開いた軌道 (物体が決して戻らないことを意味する) または閉じた軌道 (戻る) になります。どちらになるかは、システムの総エネルギー(運動エネルギー+位置エネルギー) によって決まります。開いた軌道の場合、軌道のどの位置でも速度はその位置の脱出速度以上であり、閉じた軌道の場合、速度は常に脱出速度未満です。無限遠での位置エネルギーをゼロとするという一般的な慣例が採用されている場合、運動エネルギーが負になることは決してないため、束縛軌道は負の総エネルギーを持ち、放物線軌道はゼロの総エネルギー、双曲軌道は正の総エネルギーを持ちます。

開いた軌道は、軌道上のその時点での速度がまさに脱出速度である場合は放物線状になり、速度が脱出速度より大きい場合は双曲線状になります。脱出速度以上の速度を持つ物体が互いに近づくと、最も接近したときに一時的に互いの周りを回り、その後永久に離れます。

すべての閉じた軌道は楕円形です。円軌道は特別なケースで、楕円の焦点が一致します。軌道上の物体が地球に最も近い点は近地点と呼ばれ、地球以外の物体を周回する場合は近点 (より正確には「近焦点」または「近重心」) と呼ばれます。衛星が地球から最も遠い点は遠地点、遠点、または時には遠点焦点または遠重心と呼ばれます。近点から遠点に引かれた線は、遠点線です。これは楕円の長軸であり、楕円の最も長い部分を通る線です。

閉じた軌道を描く物体は、周期と呼ばれる一定の時間で軌道を繰り返します。この運動はケプラーの経験法則によって説明され、ニュートンの法則から数学的に導き出すことができます。これらは次のように定式化できます。

1. 太陽の周りの惑星の軌道は楕円で、太陽はその楕円の焦点の 1 つです。[この焦点は、実際には太陽-惑星系の重心です。簡単にするために、この説明では、太陽の質量が惑星の質量より無限に大きいと仮定しています。] 惑星の軌道は、軌道面と呼ばれる平面上にあります。軌道上で、引き付ける天体に最も近い点は、近点です。引き付ける天体から最も遠い点は、遠点と呼ばれます。特定の天体の周りの軌道には、特定の用語もあります。太陽の周りを回るものには近日点と遠日点があり、地球の周りを回るものには近地点と遠地点があり、月の周りを回るものには近月点と遠月点(または、それぞれ近月点と遠位月点)があります。太陽だけでなく、どの恒星の周りを回る軌道にも、近点と遠点があります。
2. 惑星が軌道上を移動すると、太陽から惑星までの線は、一定期間、軌道面の一定面積を掃引します。これは、惑星がその期間中に軌道のどの部分をたどるかに関係ありません。つまり、惑星は、近日点の近くでは遠日点の近くよりも速く移動します。これは、距離が短いほど、同じ面積をカバーするためにより大きな弧を描く必要があるためです。この法則は通常、「等しい時間に等しい面積」と表現されます。
3. 与えられた軌道では、その軌道の長半径の 3 乗と周期の 2乗の比は一定です。

ニュートンの重力場による質点や球体の拘束軌道は閉じた楕円で、同じ経路を正確に無限に繰り返すが、非球面効果や非ニュートン効果（地球のわずかな扁平化や相対論的効果によって距離に伴う重力場の挙動が変化することなどによって引き起こされる）により、軌道の形状はニュートンの2体運動に特徴的な閉じた楕円から外れる。2体問題の解は、1687年にニュートンによってプリンキピアで発表された。1912年、カール・フリティオフ・スンドマンは、3体問題を解く収束無限級数を開発したが、収束が遅すぎてあまり役に立たなかった。ラグランジアン点のような特殊な場合を除いて、4体以上のシステムの運動方程式を解く方法は知られていない。

正確な閉じた形の解ではなく、多くの物体の軌道を任意の高い精度で近似することができます。これらの近似には 2 つの形式があります。

1 つの形式は、純粋な楕円運動を基礎として、複数の物体の重力の影響を考慮する摂動項を追加します。これは、天体の位置を計算するのに便利です。月、惑星、その他の物体の運動方程式は非常に正確に知られており、天体航法の表を作成するために使用されます。それでも、ポストニュートン法で処理する必要がある世俗的な現象があります。

微分方程式の形式は、科学的またはミッション計画の目的で使用されます。ニュートンの法則によると、物体に作用するすべての力の合計は、物体の質量と加速度の積に等しくなります ( F = ma )。したがって、加速度は位置で表すことができます。摂動項はこの形式で記述する方がはるかに簡単です。位置と速度の初期値から後続の位置と速度を予測することは、初期値問題を解くことに相当します。数値法では、物体の少し先の未来の位置と速度を計算し、計算をうんざりするほど繰り返します。ただし、コンピューターの計算精度の限界による小さな算術誤差は累積するため、このアプローチの精度は制限されます。

多数の物体に対する微分シミュレーションでは、質量中心間の階層的なペアワイズ方式で計算が実行される。この方式を使用して、銀河、星団、その他の大規模な物体の集合がシミュレートされてきた。^[8]

このような楕円軌道には、次の導出が適用される。ニュートンの万有引力の法則から始めて、中心物体に向かう重力加速度は、中心物体と中心物体の間の距離の2乗の逆数に関係している、すなわち、

${\displaystyle F_{2}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$

ここで、F _{2は、質量}m _1が質量m ₂に対して持つ重力引力によって質量m ₂に作用する力、Gは万有引力定数、rは2 つの質量中心間の距離です。

ニュートンの第二法則によれば、 m ₂に作用する力の合計は、その物体の加速度に関係します。

${\displaystyle F_{2}=m_{2}A_{2}}$

ここで、A _{2 は、} m ₁の重力引力F _{2 が}m ₂に作用することによって生じるm ₂の加速度です。

式1と式2を組み合わせると、

${\displaystyle -{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}=m_{2}A_{2}}$

加速度A ₂を解くと、

${\displaystyle A_{2}={\frac {F_{2}}{m_{2}}}=-{\frac {1}{m_{2}}}{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}=-{\frac {\mu}{r^{2}}}}$

ここで、は標準重力パラメータで、この場合はです。記述されているシステムはm ₂であることが理解されるため、下付き文字は省略できます。 ${\displaystyle \mu \,}$${\displaystyle Gm_{1}}$

中心天体は静止しているとみなせるほど質量が大きいと仮定し、一般相対性理論のより微妙な影響は無視します。

振り子またはバネに取り付けられた物体が楕円形に振動する場合、内側への加速度/力は距離に比例します。ベクトルの加算方法により、方向または方向の力の成分も、距離のそれぞれの成分に比例します。したがって、分析全体をこれらの次元で個別に行うことができます。これにより、楕円の 調和放物線方程式とが得られます。${\displaystyle A=F/m=-kr.}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$${\displaystyle r''_{x}=A_{x}=-kr_{x}}$${\displaystyle x=A\cos(t)}$${\displaystyle y=B\sin(t)}$

軌道上の物体の現在位置は、標準ユークリッド基底と原点が力の中心と一致する極座標系のベクトル計算を使用して平面上に位置付けられます。を物体と中心の間の距離、 を物体の回転角度とします。および を標準ユークリッド基底とし、および を放射状および横方向の極基底とします。最初の基底は中心物体から軌道上の物体の現在の位置を指す単位ベクトルであり、2 番目の基底は軌道上の物体が反時計回りの円を周回する場合に移動する方向を指す直交単位ベクトルです。すると、軌道上の物体へのベクトルは次のようになります。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }} }$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}=-\sin(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {O} }}=r\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+r\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}=r{\hat {\mathbf {r} }}}$

および を使用して、この距離と角度が時間とともにどのように変化するかの標準導関数を示します。 時間とともにベクトルがどのように変化するかを見るには、 時間 での位置から 時間 での位置を減算し、それを で割ります。結果もベクトルです。基底ベクトルは物体が軌道を回るにつれて移動するため、まずこれを微分します。 時間 からまで、ベクトルは原点を始点として角度 から まで回転し、その先端が垂直方向に距離移動して、導関数 が得られます。 ${\displaystyle {\dot {r}}}$${\displaystyle {\dot {\theta}}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t+\delta t}$${\displaystyle \delta t}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t+\delta t}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \theta +{\dot {\theta }}\ \delta t}$${\displaystyle {\dot {\theta }}\ \delta t}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$${\displaystyle {\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&=\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}\\{\frac {\delta {\hat {\mathbf {r} }}}{\delta t}}={\dot {\mathbf {r} }}&=-\sin(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {y} }}={\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\{\hat {\boldsymbol {\theta }}}&=-\sin(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}\\{\frac {\delta {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}{\delta t}}={\dot {\boldsymbol {\theta }}}&=-\cos(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {x} }}-\sin(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {y} }}=-{\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {r} }}\end{aligned}}}$

これで、軌道を周回する物体の速度と加速度がわかります。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {O} }}&=r{\hat {\mathbf {r} }}\\{\dot {\mathbf {O} }}&={\frac {\delta r}{\delta t}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\frac {\delta {\hat {\mathbf {r} }}}{\delta t}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r\left[{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\right]\\{\ddot {\mathbf {O} }}&=\left[{\ddot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\right]+\left[{\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\ddot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}-r{\dot {\theta }}^{2}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\\&=\left[{\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right]{\hat {\mathbf {r} }}+\left[r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right]{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\end{aligned}}}$

およびの係数は、半径方向および横方向の加速度を与えます。前述のように、ニュートンは重力により、これを最初に とし、2 番目は 0 と与えました。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$${\displaystyle -\mu /r^{2}}$

式(2)は部分積分を使って変形できる。

${\displaystyle r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}={\frac {1}{r}}{\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\theta }}\right)=0}$

軌道上の物体が衝突しない限り、これはゼロではないため、を乗算することができます。すると、導関数がゼロになることで、関数は定数になります。 ${\displaystyle r}$

これは実際にはケプラーの第二法則（惑星と太陽を結ぶ線は、等しい時間間隔で等しい面積を描きます）の理論的証明です。積分定数hは、単位質量あたりの角運動量です。

式(1)から軌道の方程式を得るためには、時間を消去する必要がある。^[9] (ビネの方程式も参照) 極座標では、これは中心から周回する物体までの距離をその角度 の関数として表すことになる。しかし、補助変数を導入しての関数として表す方が簡単である。 の時間に関する微分は、角度に関する の微分として書き直すことができる。${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle u=1/r}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle r}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle u={1 \over r}}$

${\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {h}{r^{2}}}=hu^{2}}$（リワーク（３））

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}&={\frac {\delta }{\delta t}}\left({\frac {1}{r}}\right){\frac {\delta t}{\delta \theta }}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\dot {r}}{h}}\\{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}&=-{\frac {1}{h}}{\frac {\delta {\dot {r}}}{\delta t}}{\frac {\delta t}{\delta \theta }}=-{\frac {\ddot {r}}{h{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\ddot {r}}{h^{2}u^{2}}}\ \ \ {\text{ or }}\ \ \ {\ddot {r}}=-h^{2}u^{2}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}\end{aligned}}}$

これを（１）に代入すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}&=-{\frac {\mu }{r^{2}}}\\-h^{2}u^{2}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}-{\frac {1}{u}}\left(hu^{2}\right)^{2}&=-\mu u^{2}\end{aligned}}}$

したがって、重力の場合、またはより一般的には、任意の反二乗力の法則の場合、方程式の右辺は定数になり、方程式は調和方程式であることがわかります(従属変数の原点のシフトまで)。解は次のとおりです。

${\displaystyle u(\theta )={\frac {\mu }{h^{2}}}+A\cos(\theta -\theta _{0})}$

ここで、Aとθ _{0 は}任意の定数です。この物体の軌道の方程式は、焦点の 1 つを基準とした極座標形式の楕円の方程式です。これを離心率とすると、より標準的な形になります。これを整理すると、次のようになります。 ${\displaystyle e\equiv h^{2}A/\mu }$

${\displaystyle u(\theta )={\frac {\mu }{h^{2}}}(1+e\cos(\theta -\theta _{0}))}$

を長半径とし、楕円の長軸が正のx座標に沿うようにすると、次の式が得られることに注意してください。 ${\displaystyle a\equiv h^{2}/\mu \left(1-e^{2}\right)}$${\displaystyle \theta _{0}\equiv 0}$

${\displaystyle r(\theta )={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos \theta }}}$

2体系がトルクの影響を受ける場合、角運動量hは定数ではありません。次の計算の後、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta r}{\delta \theta }}&=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}=-{\frac {h}{m}}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}\\{\frac {\delta ^{2}r}{\delta \theta ^{2}}}&=-{\frac {h^{2}u^{2}}{m^{2}}}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}-{\frac {hu^{2}}{m^{2}}}{\frac {\delta h}{\delta \theta }}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}\\\left({\frac {\delta \theta }{\delta t}}\right)^{2}r&={\frac {h^{2}u^{3}}{m^{2}}}\end{aligned}}}$

二体系のシュトゥルム・リウヴィル方程式が得られる。^[10]

上記の軌道力学の古典的（ニュートン的）解析では、フレームドラッグや重力による時間の遅れなどの一般相対性理論のより微妙な影響は無視できると仮定しています。相対論的影響は、非常に質量の大きい天体の近くにある場合（太陽の周りの水星の軌道の歳差運動など）や、極めて高い精度が必要な場合（ GPS衛星の軌道要素や時間信号基準の計算など）には無視できなくなります。 ^[11]

これまでの分析は 2 次元のものでしたが、摂動を受けない軌道は空間に固定された平面内で 2 次元であることが判明しており、したがって 3 次元への拡張には、関係する惑星の極に対して必要な角度で 2 次元平面を回転させるだけで済みます。

これを 3 次元で行うための回転には、一意に決定する 3 つの数値が必要です。伝統的に、これらは 3 つの角度として表現されます。

軌道周期とは、単に軌道を回る物体が 1 周するのにかかる時間のことです。

物体の周りのケプラー軌道を指定するには、6 つのパラメータが必要です。たとえば、物体の初期位置を指定する 3 つの数値と、その速度を指定する 3 つの値によって、時間的に前方 (または後方) に計算できる一意の軌道が定義されます。ただし、従来使用されるパラメータは若干異なります。

伝統的に使用されている軌道要素のセットは、ヨハネス ケプラーとその法則にちなんで、ケプラーの要素のセットと呼ばれています。ケプラーの要素は次の 6 つです。

• 傾斜（i）
• 昇交点の経度（Ω）
• 近点引数（ω）
• 離心率（e）
• 長半径( a )
• ある時点における平均異常（M ₀）。

原理的には、ある物体の軌道要素がわかれば、その位置を時間的に前後に無限に計算することができます。しかし、実際には、軌道は、想定される点源からの単純な重力以外の力によって影響を受けたり、乱されたりします(次のセクションを参照)。そのため、軌道要素は時間とともに変化します。

離心率がゼロでない限り、aは平均軌道半径ではないことに注意する。時間平均軌道距離は次のように与えられる: ^[12]

${\displaystyle {\bar {r}}=a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\right)}$

軌道摂動とは、主な重力体の全体的な力または平均衝撃よりもはるかに小さく、2 つの軌道上の物体の外部にある力または衝撃が加速を引き起こし、時間の経過とともに軌道のパラメータが変化することです。

軌道上の物体に小さな半径方向の衝撃を与えると、離心率は変化しますが、軌道周期は変化しません( 1 次まで)。順行または逆行の衝撃 (つまり、軌道運動に沿って加えられる衝撃) は、離心率と軌道周期の両方を変化させます。特に、近点での順行衝撃は遠点での高度を上昇させ、その逆もまた同様であり、逆行衝撃はその逆になります。横方向の衝撃 (軌道面外) は、周期や離心率を変化させずに軌道面を回転させます。いずれの場合も、閉じた軌道は摂動点と交差します。

軌道が大気の大きな惑星の周りを回っている場合、その軌道は抗力のために減速することがあります。特に、各近点では、物体は大気の抗力を受け、エネルギーを失います。物体は運動エネルギーが最大になるまさにその時に運動エネルギーを失うので、軌道の偏心度は低下します（より円形に近づきます）。これは、振り子を最低点で減速させたときの効果に似ています。振り子の最高点が低くなります。減速が進むにつれて、軌道の経路のより多くの部分が大気の影響を受けるため、効果はより顕著になります。最終的に、効果は非常に大きくなり、最大運動エネルギーでは軌道を大気の抗力効果の限界より上に戻すのに十分ではなくなります。これが起こると、物体は急速に螺旋状に下降し、中心物体と交差します。

大気の境界は大きく変化します。太陽活動極大期には、地球の大気は太陽活動極小期よりも最大 100 キロメートル高い高度で抗力を引き起こします。

長い導電性テザーを備えた衛星の中には、地球の磁場による電磁気抵抗により軌道が減衰するものもあります。ワイヤーが磁場を切断すると、発電機として機能し、電子を一端からもう一端に移動します。軌道エネルギーはワイヤー内で熱に変換されます。

ロケット エンジンを使用して軌道上の物体の運動エネルギーを変化させることで、軌道を人工的に制御することができます。これは、化学エネルギーまたは電気エネルギーを運動エネルギーに変換することです。この方法で、軌道の形状や方向の変更を容易に行うことができます。

軌道に人工的に影響を与える別の方法は、ソーラーセイルまたは磁気セイルを使用することです。これらの推進力は、太陽以外の推進剤やエネルギー入力を必要としないため、無期限に使用できます。そのような提案された使用法の 1 つについては、 statite を参照してください。

軌道の減衰は、周回する天体との同期軌道より下にある天体では潮汐力によって起こることがあります。周回する天体の重力によって主衛星に潮汐力による膨らみが生じます。同期軌道より下では、周回する天体は天体の表面より速く動いているので、膨らみは天体より少し遅れます。膨らみの重力は主衛星と衛星の軸からわずかにずれているため、衛星の動きに沿った成分を持ちます。近くの膨らみは遠い膨らみが加速するよりも物体を遅くするため、結果として軌道が減衰します。逆に、膨らみに対する衛星の重力は主衛星にトルクを与え、その自転を加速します。人工衛星は小さすぎるため、周回する惑星に顕著な潮汐力の影響を与えることはできませんが、太陽系のいくつかの衛星はこのメカニズムによって軌道減衰を起こしています。火星の最も内側の衛星フォボスはその代表例であり、5000万年以内に火星の表面に衝突するか、環に分裂すると予想されている。

軌道は重力波の放出によって崩壊することがある。このメカニズムはほとんどの恒星にとっては非常に弱く、極度の質量と極度の加速が組み合わさった場合、例えばブラックホールや中性子星が互いに接近して周回している場合にのみ重要になる。

軌道を回る物体の標準的な解析では、すべての物体は均一な球体、またはより一般的には均一な密度の同心円状の殻で構成されていると仮定します。このような物体は重力的に点源と同等であることが示されます。

しかし、現実の世界では多くの物体が回転しており、これが扁平化をもたらし、重力場を歪ませ、物体の半径に匹敵する距離で顕著となる四重極モーメントを重力場に与えている。一般的なケースでは、例えば惑星などの回転物体の重力ポテンシャルは通常、球対称性からの逸脱を考慮して多極に展開されている。衛星ダイナミクスの観点からは、いわゆる偶数ゾーン調和係数、または偶数ゾーンが特に関連している。これは、軌道周期よりも長い時間スパンで累積する永年軌道摂動を引き起こすからである。^{[13] [14] [15]}これらは、空間における物体の対称軸の向きに依存し、一般に、長半径を除いて軌道全体に影響を及ぼす。

他の重力天体の影響は、重大なものとなる可能性があります。たとえば、月の軌道は、地球だけでなく太陽の重力の作用も考慮しなければ正確には説明できません。おおよその結論としては、これらの摂動にもかかわらず、より重い天体のヒル球面内で十分に周回している限り、天体は通常、より重い惑星や月の周りをかなり安定した軌道で周回することになります。

重力を持つ物体が 2 つ以上ある場合、それはn 体問題と呼ばれます。ほとんどの n 体問題には閉じた形式の解はありませんが、いくつかの特殊なケースが定式化されています。

特に小さな天体の場合、光と恒星風が天体の姿勢と運動方向に大きな乱れを引き起こす可能性があり、時間の経過とともにその影響は大きくなります。惑星のうち、小惑星の運動は、小惑星が太陽に対して回転しているときに長期間にわたって特に影響を受けます。

数学者は、原理的には複数の物体が非楕円軌道を描いて周期的に繰り返すことが可能であることを発見したが、そのような軌道のほとんどは質量、位置、速度の小さな摂動に対して安定ではない。しかし、3つの運動物体が占める平面の8の字軌道など、いくつかの特別な安定したケースが特定されている。^[16]さらなる研究により、12個の質量が4つのほぼ円形の連動軌道を運動する軌道など、非平面軌道も可能であることがわかった。この軌道は位相的には立方八面体の辺と同等である。^[17]

宇宙で自然に発生するこのような軌道を見つけることは、必要な条件が偶然に発生する可能性が低いため、極めてありそうにないと考えられています。^[17]

軌道力学または天体力学は、弾道学と天体力学をロケットやその他の宇宙船の運動に関する実際的な問題に応用したものである。これらの物体の運動は通常、ニュートンの運動の法則とニュートンの万有引力の法則から計算される。これは宇宙ミッションの設計と制御における中核的な学問である。天体力学は、宇宙船や恒星系、惑星、衛星、彗星などの自然天体を含む、重力の影響下にあるシステムの軌道力学をより広く扱う。軌道力学は、軌道操作、軌道面の変更、惑星間移動を含む宇宙船の軌道に焦点を当てており、ミッションプランナーが推進操作の結果を予測するために使用される。一般相対性理論は、ニュートンの法則よりも正確な軌道計算理論であり、より高い精度が必要な場合や高重力の状況（太陽に近い軌道など）で必要になることがある。

• 低軌道（LEO）：高度2,000km（0～1,240マイル）までの地球中心軌道。^[18]
• 中軌道（MEO）：高度2,000km（1,240マイル）から静止軌道のすぐ下の35,786km（22,236マイル）までの地球中心軌道。中間円軌道とも呼ばれる。これらは「最も一般的には高度20,200km（12,600マイル）、または20,650km（12,830マイル）で、軌道周期は12時間です。」^[19]
• 静止軌道(GSO) と静止軌道(GEO) はどちらも地球の恒星自転周期に合わせて地球を周回する軌道です。すべての静止軌道と静止軌道の軌道長半径は 42,164 km (26,199 マイル) です。^[20]すべての静止軌道は静止軌道でもありますが、すべての静止軌道が静止しているわけではありません。静止軌道は赤道の真上にとどまりますが、静止軌道は地球の表面をより多くカバーするために南北に振れることがあります。どちらも恒星日 (太陽ではなく星を基準として) に地球を一周します。
• 高軌道：静止軌道の高度35,786km （22,240マイル）以上の地球中心軌道。^[19 ]

重力定数 G は次のように計算されます。

• (6.6742 ± 0.001) × 10 ^-11 (kg/m ³ ) ^-1 s ^-2。

したがって、定数の次元は密度⁻¹ × ⁻²になります。これは次の特性に対応します。

距離のスケーリング（密度を同じにしたまま物体のサイズを含む）は、時間のスケーリングなしで同様の軌道を与えます。たとえば、距離が半分になると、質量は 8 で分割され、重力は 16 で分割され、重力加速度は 2 になります。したがって、速度は半分になり、軌道周期と重力に関連するその他の移動時間は同じままです。たとえば、物体が塔から落とされた場合、地面に落ちるのにかかる時間は、地球のスケールモデルの上に塔のスケールモデルを置いても同じです。

質量を同じに保ちながら距離をスケーリングすると（質点の場合、または密度を調整することによって）、同様の軌道が得られます。距離が 4 倍になると、重力と加速度が 16 で割られ、速度が半分になり、軌道周期が 8 倍になります。

すべての密度が 4 倍になると、軌道は同じになります。重力は 16 倍、加速度は 4 倍になり、速度は 2 倍になり、軌道周期は半分になります。

すべての密度が 4 倍になり、すべてのサイズが半分になると、軌道は同様になります。質量は 2 で割られ、重力は同じになり、重力加速度は 2 倍になります。したがって、速度は同じになり、軌道周期は半分になります。

これらすべてのスケーリングのケースでは、密度が 4 倍になると時間は半分になり、速度が 2 倍になると力は 16 倍になります。

これらの特性は、次の式で表されます（軌道周期の式から導かれます）。

${\displaystyle GT^{2}\rho =3\pi \left({\frac {a}{r}}\right)^{3},}$

半径r、平均密度ρの球体の周りを小天体が周回する、長半径 aの楕円軌道（ Tは軌道周期）。ケプラーの第三法則も参照。

特定の軌道や軌道操作を特定の有用な目的に応用することは特許の対象となっている。^[21]

いくつかの天体は他の天体と潮汐ロックされており、これは天体の片側が恒久的にそのホスト天体に面していることを意味します。これは地球-月系と冥王星-カロン系の場合です。

• アベル、ジョージ・O.、モリソン、デイビッド、ウルフ、シドニー・C. (1987)。宇宙の探査（第5版）。サンダース大学出版。ISBN 9780030051432。
• リントン、クリストファー（2004）。『エウドクソスからアインシュタインまで：数理天文学の歴史』ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-1-139-45379-0。
• ミラニ、アンドレア; グロンキ、ジョヴァンニ F. (2010)。軌道決定理論。ケンブリッジ大学出版局。自然天体と人工天体の両方の軌道を決定するための新しいアルゴリズムについて説明します。
• フランク・スウェッツ、ジョン・フォーベル、ベングト・ヨハンソン、ビクター・カッツ、オットー・ベッケン（1995）。『巨匠から学べ』。MAA。ISBN 978-0-88385-703-8。

• CalcTool: 惑星の公転周期を計算するツール。単位の選択肢が豊富。JavaScript が必要です。
• 軌道運動に関する Java シミュレーション。Java が必要です。
• NOAAの気候強制データページには、過去5000万年間および今後2000万年間の地球軌道変動に関する（計算された）データが含まれています。
• オンライン軌道プロッター。JavaScript が必要です。
• 軌道力学（ロケットと宇宙技術）
• Varadi、 Ghil、Runnegar (2003)による軌道シミュレーションでは、地球の軌道離心率の別の、わずかに異なる系列と、軌道傾斜角の系列が提供されます。他の惑星の軌道も、F. Varadi、B. Runnegar、M. Ghil ( 2003) によって計算されました。「惑星軌道の長期積分における連続的な改良」。The Astrophysical Journal。592 ( 1): 620–630。Bibcode : 2003ApJ ...592..620V。doi : 10.1086/375560。ただし、オンラインで入手できるのは地球と水星の離心率データのみです。
• 直接操作による軌道の理解 2017年11月8日にWayback Machineにアーカイブされました。JavaScriptとMacromediaが必要です
• メリフィールド、マイケル。「軌道（最初の有人軌道を含む）」。60 のシンボル。ノッティンガム大学のブレイディ・ハラン。