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複素力学、または正則力学とは、複素解析写像を反復することによって得られる力学系の研究である。本稿では、多項式関数または有理関数を反復する代数力学の場合に焦点を当てる。幾何学的に言えば、これはある代数多様体からそれ自身への写像を反復することに等しい。関連する算術力学の理論は、複素数ではなく有理数またはp進数に対する反復を研究する。
複雑な力学における主な問題点を示す簡単な例として、マッピングがあります。複素数Cからそれ自身への写像として考えると分かりやすいでしょう。自身に点を追加することによって複素数へ。コンパクトであるという利点があります。）基本的な質問は次のとおりです。で、その軌道（または順方向軌道）はどのように
定性的にどのような挙動を示すか？答えは、絶対値| z | が 1 未満の場合、軌道は 0 に収束し、実際には指数関数的に速く収束します。| z | が 1 より大きい場合、軌道は点に収束します。でこれも指数関数的に速い。（ここでは0とこれらは関数fの超吸引不動点であり、これらの点ではfの導関数がゼロになることを意味します。吸引不動点とは、fの導関数の絶対値が 1 未満となる点のことです。
一方、つまり、zはCの単位円上にあるということです。これらの点では、 fのダイナミクスはさまざまな意味でカオス的です。たとえば、測度論の観点から円上のほとんどすべての点zに対して、 zの順方向軌道は円内で密であり、実際には円上に均一に分布しています。また、円上には無限に多くの周期点、つまり、ある正の整数rに対して。（ここでこれは、zにfをr回適用した結果を意味します。）円上の周期点zにおいても、 fのダイナミクスはカオス的であると考えられる。なぜなら、zに近い点は、 f を反復するとzから指数関数的に速く離れていくからである。（単位円上のfの周期点は反発的である。の導関数zの絶対値は1より大きい。）
ピエール・ファトゥーとガストン・ジュリアは1910年代後半に、この話の多くが、あらゆる複雑な代数写像にまで及ぶことを示した。次数が 1 より大きい、それ自身への写像。（このような写像は多項式によって与えられる可能性がある。複素係数、あるいはより一般的には有理関数によって）すなわち、常にコンパクトな部分集合が存在する。ジュリア集合上では、fのダイナミクスはカオス的である。マッピングについては、の場合、ジュリア集合は単位円になります。他の多項式写像の場合、ジュリア集合はしばしば非常に不規則で、たとえばハウスドルフ次元が整数ではないという意味でフラクタルです。これは、次のような単純な写像でも発生します。定数に対してマンデルブロ集合は、ジュリア集合が接続されています。
有理関数の可能な動態については、かなり包括的な分類が存在する。ファトゥ集合はジュリア集合の補集合であり、そのダイナミクスは「穏やか」である。具体的には、デニス・サリバンはファトゥ集合の各連結成分Uが前周期であることを示した。つまり、自然数が存在する。そのためしたがって、コンポーネントUのダイナミクスを分析するには、 f を反復関数に置き換えた後、次のように仮定できます。すると、(1) U はfの吸引固定点を含む、(2) Uは放物線状であり、 U内のすべての点がUの境界内の固定点に近づく、(3) Uはジーゲル円盤であり、つまり、 Uに対するfの作用は、開いた単位円盤の無理数回転と共役である、または (4) Uはヘルマン環であり、つまり、 Uに対するfの作用は、開いた環状領域の無理数回転と共役である、のいずれかである。[ 1 ] (U内の点zの「逆軌道」、つまり、 U内の点の集合は、fのある反復処理によってzに写像されるものは、必ずしもUに含まれる必要はない。）
複雑な力学は、あらゆる次元において効果的に展開されてきた。このセクションでは、複素射影空間からの写像に焦点を当てる。それ自体が、最も豊富な例の源泉である。主な結果は射影多様体からそれ自身への有理写像のクラスに拡張されている。[ 2 ]ただし、多くの多様体には興味深い自己写像がないことに注意。
fを の自己準同型とする、つまり代数多様体の射正の整数nに対して、自身への写像である。このような写像は同次座標では次のように与えられる。
いくつかの同次多項式について次数dが同じで、共通の零点を持たないもの（チョウの定理によれば、これはからの正則写像と同じである。）（自身に対して。）dが1より大きいと仮定すると、写像fの次数はこれも1より大きい。
そして、独自の確率尺度が存在するの上は、fのダイナミクスの最もカオス的な部分を記述するfの平衡尺度です。（グリーン尺度または最大エントロピー尺度とも呼ばれます。）この尺度は、1 変数の多項式については Hans Brolin (1965) によって、f についてはAlexandre Freire、 Artur Lopes、Ricardo Mañé、Mikhail Lyubichによって定義されました。（1983年頃）、そしてジョン・ハバード、ピーター・パパドポル、ジョン・フォルネス、ネッシム・シボニーによって任意の次元で（1994年頃）発見された。[ 3 ]小さなジュリア集合均衡尺度のサポートはこれは単にジュリア集合です。
均衡尺度の基本的な性質は、プッシュフォワード尺度がfの下で不変であるということである。に等しいfは有限射であるため、引き戻し測度はも定義されており、は、。
平衡測度の際立った特徴の一つは、それがほぼすべての点の漸近挙動を記述することである。ジャン＝イヴ・ブリアン、ジュリアン・デュバル、ティエン＝クオン・ディン、シボニーによって時間を遡って追跡された。すなわち、点zについては、正の整数rに対して、確率測度を考えるこれは均等に分布していますポイントwすると、ザリスキー閉部分集合が存在する。Eに含まれないすべての点zに対して、ここで定義した尺度は平衡尺度に弱収束する。rが無限大に近づくとき。より詳細には、fの下で完全に不変である（つまり、)、例外集合Eは、等しくない唯一の最大の完全不変閉複素部分空間とすることができる。[ 4 ]
平衡測度の別の特徴付け（ブリエンドとデュバルによる）は次のとおりです。各正の整数rに対して、周期rの周期点の数（つまり、）多重度を考慮して数えると、これはおおよそ周期rの各点に均等に分布する確率測度を考えます。すると、これらの測度も平衡測度に収束します。rが無限大に近づくにつれて。さらに、ほとんどの周期点は反発し、したがって、反発する周期点のみで平均化することによって同じ極限測度が得られる。[ 5 ]外側にも反発する周期点が存在する可能性がある[ 6 ]
平衡測度は、任意の閉じた複素部分空間にゼロ質量を与える。それは空間全体ではない。[ 7 ]周期点では密度が高いしたがって、fの周期点はザリスキー稠密である。このザリスキ密度のより代数的な証明は、ナジュムディン・ファクルディンによって与えられた。[ 8 ]もう一つの帰結は等しくない閉じた複素部分空間にゼロ質量を与える各点の質量がゼロである。その結果、支持力はの孤立点がないため、完全集合である。
サポート平衡測度の は、そのハウスドルフ次元が常にゼロより大きいという意味で、小さすぎない。[ 7 ]その意味で、次数が 1 より大きい複素射影空間の自己準同型写像は、空間の少なくとも一部で常にカオス的に振る舞う。(すべて[ 9 ] ） fが何らかのカオス的挙動を示すことを明確にするもう一つの方法は、 fの位相エントロピーが常にゼロより大きく、実際には等しいということである。、ミハイル・グロモフ、ミハウ・ミシウレヴィチ、フェリックス・プシティツキ著。[ 10 ]
コンパクト距離空間Xの任意の連続自己準同型fに対して、 fの位相エントロピーは、X上のすべてのf不変測度の測度論的エントロピー(または「距離エントロピー」) の最大値に等しい。均衡尺度は、ブリエンドとデュバルによる最大エントロピーの唯一の不変尺度です。 [ 3 ]これは、 fの最もカオス的な挙動が平衡尺度のサポートに集中していると言う別の方法です。
Finally, one can say more about the dynamics of f on the support of the equilibrium measure: f is ergodic and, more strongly, mixing with respect to that measure, by Fornaess and Sibony.[11] It follows, for example, that for almost every point with respect to , its forward orbit is uniformly distributed with respect to .
A Lattès map is an endomorphism f of obtained from an endomorphism of an abelian variety by dividing by a finite group. In this case, the equilibrium measure of f is absolutely continuous with respect to Lebesgue measure on . Conversely, by Anna Zdunik, François Berteloot, and Christophe Dupont, the only endomorphisms of whose equilibrium measure is absolutely continuous with respect to Lebesgue measure are the Lattès examples.[12] That is, for all non-Lattès endomorphisms, assigns its full mass 1 to some Borel set of Lebesgue measure 0.
In dimension 1, more is known about the "irregularity" of the equilibrium measure. Namely, define the Hausdorff dimension of a probability measure on (or more generally on a smooth manifold) by
where denotes the Hausdorff dimension of a Borel set Y. For an endomorphism f of of degree greater than 1, Zdunik showed that the dimension of is equal to the Hausdorff dimension of its support (the Julia set) if and only iff is conjugate to a Lattès map, a Chebyshev polynomial (up to sign), or a power map with .[14] (In the latter cases, the Julia set is all of , a closed interval, or a circle, respectively.[15]) Thus, outside those special cases, the equilibrium measure is highly irregular, assigning positive mass to some closed subsets of the Julia set with smaller Hausdorff dimension than the whole Julia set.
より一般的に言えば、複素力学は、反復における有理写像の挙動を記述しようとするものである。ある程度の成功を収めて研究されてきた事例の一つは、滑らかな複素射影多様体Xの自己同型写像、すなわちXからX自身への同型写像fである。特に興味深いのは、 f が特異コホモロジーに非自明に作用する場合である。。
グロモフとヨセフ・ヨムディンは、滑らかな複素射影多様体の自己準同型（例えば自己同型）の位相エントロピーは、コホモロジーへの作用によって決定されることを示した。[ 16 ]具体的には、複素次元nのXと、 させてホッジコホモロジー群に引き戻し作用を及ぼすfのスペクトル半径をfとする。すると、 fの位相エントロピーは次のようになる。
( fの位相エントロピーは、コホモロジー全体におけるfのスペクトル半径の対数でもある)) したがって、f は、絶対値が 1 より大きい固有値を持つコホモロジー群に作用する場合に限り、位相エントロピーがゼロより大きいという意味で、何らかのカオス的挙動を示す。多くの射影多様体はこのような自己同型を持たないが、（例えば）多くの有理曲面やK3 曲面はこのような自己同型を持つ。[ 17 ]
X をコンパクトなケーラー多様体とし、これには滑らかな複素射影多様体の場合も含まれるとする。Xの自己同型fがコホモロジーに単純作用を持つとは、次の条件を満たす数pがただ 1 つだけ存在する場合をいう。fの作用は最大値をとる。絶対値が 1 つの固有値のみを持つ、これは単純な固有値です。例えば、Serge Cantat は、位相エントロピーが正のコンパクト Kähler 曲面のすべての自己同型がコホモロジーに単純な作用を持つことを示しました。[ 18 ] (ここで「自己同型」は複素解析的ですが、X上の Kähler 計量を保存するとは仮定されていません。実際、計量を保存するすべての自己同型は位相エントロピーがゼロです。)
コホモロジーに単純な作用を持つ自己同型fに対して、複素力学の目標の一部が達成されている。Dinh、Sibony、および Henry de Thélin は、一意の不変確率測度が存在することを示した。fの最大エントロピーの尺度、平衡尺度（またはグリーン尺度、または最大エントロピー尺度）と呼ばれる。[ 19 ]（特に、エントロピーを持つfに関して。）小ジュリア集合と呼ばれる非公式には、fにはいくつかのカオス的な挙動があり、最もカオス的な挙動は小さなジュリア集合に集中しています。少なくともXが射影的である場合、ハウスドルフ次元は正である。（より正確には、十分小さいハウスドルフ次元のすべての集合にゼロ質量を割り当てる。）[ 20 ]
アーベル多様体の中には、正のエントロピーを持つ自己同型を持つものがある。例えば、E を複素楕円曲線とし、X をアーベル曲面とする。するとグループは可逆の整数行列はXに作用します。トレースの絶対値が 2 より大きい任意のグループ要素f、例えばはスペクトル半径が 1 より大きいため、 Xの正のエントロピー自己同型写像を与える。fの平衡測度はX上のハール測度 (標準ルベーグ測度) である。[ 21 ]
クンマー自己同型は、自己同型を持つアーベル曲面の有限群による商空間を取り、曲面を滑らかにするためにブローアップすることによって定義されます。結果として得られる曲面には、いくつかの特別な K3 曲面と有理曲面が含まれます。クンマー自己同型の場合、平衡測度はXに等しいサポートを持ち、有限個の曲線の外側では滑らかです。逆に、カンタとデュポンは、クンマーの例を除くすべての正のエントロピーを持つ曲面自己同型の場合、平衡測度はルベーグ測度に関して絶対連続ではないことを示しました。[ 22 ]この意味で、自己同型の平衡測度が多少不規則であることは一般的です。
fの周期点zは、正の整数rに対して、導関数の少なくとも１つの固有値zにおける接空間上の点の絶対値は 1 未満であり、少なくとも 1 つの点の絶対値は 1 より大きく、絶対値が 1 に等しい点は存在しない。（したがって、fはz付近で、ある方向には拡大し、別の方向には縮小している。）コホモロジーに単純な作用を持つ自己同型fの場合、鞍点周期点はサポート内で稠密である。均衡尺度の[ 20 ]一方、この尺度はXと等しくない閉じた複素部分空間では消滅する。[ 20 ]したがって、fの周期点(あるいは単にサポートに含まれる鞍点周期点)は、) はXにおいて Zariski 稠密である。
コホモロジーに単純な作用を持つ自己同型写像fに対して、fとその逆写像はエルゴード的であり、さらに強く、平衡測度に関して混合的である。[ 23 ]ほとんどすべての点zについて、zの順方向および逆方向の軌道はどちらも、。
自己準同型のケースとの顕著な違いは、コホモロジーに単純な作用を持つ自己同型fに対して、前方軌道も後方軌道もサポートに近づかないXの空でない開部分集合が存在する可能性がある。平衡測度の。例えば、Eric Bedford、Kyounghee Kim、およびCurtis McMullenは、正の位相エントロピー（したがってコホモロジーへの単純な作用）を持つ滑らかな射影有理曲面の自己同型fを構成し、 fは、 fの作用が無理回転と共役なジーゲル円盤を持つようにした。[ 24 ]その開集合内の点は決して近づかないfまたはその逆関数の作用の下で。
少なくとも複素次元2においては、fの平衡測度はfの孤立周期点の分布を表す。（fまたは反復によって固定される複素曲線も存在する可能性があるが、ここでは無視する。）すなわち、fを正の位相エントロピーを持つコンパクトケーラー曲面Xの自己同型とする。周期rの孤立した周期点に均等に分布する確率測度を考えます(つまり、)すると、この尺度は弱収束してrが無限大に近づくとき、Eric Bedford、Lyubich、John Smillieによる。[ 25 ]同じことが鞍点周期点のサブセットにも当てはまります。なぜなら、両方の周期点の集合は、。
![{\displaystyle f([z_{0},\ldots ,z_{n}])=[f_{0}(z_{0},\ldots ,z_{n}),\ldots ,f_{n}(z_{0},\ldots ,z_{n})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c0844f46a025bd1c25989adef821196828afac4)
![{\displaystyle f([z_{0},\ldots ,z_{n}])=[z_{0}^{d},\ldots ,z_{n}^{d}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77f88ec83f326f09a740a7f88a7cff403a79f07a)
![{\displaystyle \{[1,z_{1},\ldots ,z_{n}]:|z_{1}|=\cdots =|z_{n}|=1\}。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71776c46e188a1ade688fa4c3860147d9c83d7d9)
