多値関数

数学において、多値関数^{[ 1 ]} 、多価関数^{[ 2 ]} 、多値関数^{[ 3 ]}、または多関数^{[ 4 ]}とは、定義域の少なくとも1点に対して、値域に2つ以上の値を持つ関数のことである^{[ 5 ]} 。これは、文脈に応じて追加の特性を持つ集合値関数である。ただし、一部の著者は集合値関数と多関数を区別しない^{[ 6 ] 。}

集合の多値関数f :  X → Yは部分集合である

${\displaystyle \Gamma _{f}\ \subseteq \ X\times Y.}$

( x,y ) ∈ Γfを満たすy ∈ Yの集合に対してf(x)を記述します。fが通常の関数である場合、そのグラフを取ることで多価関数になります_。

${\displaystyle \Gamma _{f}\ =\ \{(x,f(x))\$ :\ x\in X\}.}

それらを区別するために、単値関数と呼ばれます。

多価関数という用語は、複素解析の解析接続に由来する。複素解析関数の値が既知である場合はよくある。${\displaystyle f(z)}$ある点の近傍で${\displaystyle z=a}$これは、陰関数定理またはテイラー級数で定義される関数の場合に当てはまります。${\displaystyle z=a}$このような状況では、一価関数の定義域を拡張することができる。${\displaystyle f(z)}$複素平面上の曲線に沿って、${\displaystyle a}$そうすることで、ある点における拡張関数の値がわかる。${\displaystyle z=b}$選択した曲線によって異なります${\displaystyle a}$に${\displaystyle b}$新しい値のどれもが他の値より自然ではないため、それらすべてが多値関数に組み込まれます。

例えば、${\displaystyle f(z)={\sqrt {z}}\,}$は、正の実数上の通常の平方根関数である。その定義域を の近傍に拡張することができる。${\displaystyle z=1}$複素平面上で、そしてさらに曲線に沿って、${\displaystyle z=1}$、したがって、与えられた曲線に沿った値は連続的に変化します。$\displaystyle {\sqrt {1}}=1}$負の実数に拡張すると、定義域が複素平面の上半分を通るか下半分を通るかによって、平方根の値が2つ反対になります（例えば、−1の場合は± i） 。この現象は非常に頻繁に発生し、n乗根、対数、逆三角関数などで見られます。

複雑な多価関数から単価関数を定義するには、複数の値のうちの1つを主値として区別し、特定の境界曲線に沿って不連続な、平面全体で単価関数を生成することができます。あるいは、多価関数を扱うことで、閉じた経路（モノドロミー）をたどる際に値が変化する可能性があるという代償を伴いますが、どこでも連続な関数を得ることができます。これらの問題は、リーマン面の理論で解決されます。多価関数を考えるには、${\displaystyle f(z)}$通常の関数として、値を破棄することなく、領域を多層被覆空間に掛け合わせる。これは、に関連付けられたリーマン面である多様体である。${\displaystyle f(z)}$。

f  : X → Yが通常の関数である場合、その逆関数は多価関数である。

$\displaystyle \Gamma _{f^{-1}}\ \subseteq \ Y\times X}$

X × Yの部分集合としてΓ _fと定義される。fが多様体間の微分可能な関数である場合、逆関数定理は、これがX内で局所的に一価となるための条件を与える。

例えば、複素対数log(z) は、グラフが の指数関数e ^z  : C → C ^{×の多価逆関数です。}

${\displaystyle \Gamma _{\log(z)}\ =\ \{(z,w)\$ :\ w=\log(z)\}\ \subseteq \ \mathbf {C} \times \mathbf {C} ^{\times }.}

単一の値ではなく、 w = log(z)の単一のwが与えられた場合、次のようになります。

${\displaystyle \log(z)\ =\ w\ +\ 2\pi i\mathbf {Z} .}$

複素平面Cの開集合上の任意の正則関数に対して、その解析接続は常に多価関数となる。

• 0より大きいすべての実数は2つの実数平方根を持つため、平方根は多価関数とみなすことができます。例えば、次のように書くことができます。${\displaystyle {\sqrt {4}}=\pm 2=\{2,-2\}}$; ゼロには平方根が 1 つしかないが、$\displaystyle {\sqrt {0}}=\{0\}}$。 ご了承ください${\displaystyle {\sqrt {x}}}$通常は主平方根のみを表す${\displaystyle x}$。
• ゼロ以外の複素数には、2つの平方根、3つの立方根、そして一般にn個のn乗根が存在する。0のn乗根は0のみである。
• 複素対数関数は多価関数です。${\displaystyle \log(a+bi)}$実数の場合${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$は${\displaystyle \log {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+i\arg(a+bi)+2\pi ni}$すべての整数に対して${\displaystyle n}$。
• 逆三角関数は、三角関数が周期的であるため、多価関数です。$${\displaystyle \tan \left({\tfrac {\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {5\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {-3\pi }{4}}\right)=\tan \left({\tfrac {(4n+1)\pi }{4}}\right)=\cdots =1.}$$その結果、arctan(1) は直感的にいくつかの値と関連付けられます。π / 4、5π / 4、−3π /4 などです。tan xの定義域を−π /2 < x < π /2に制限することで、arctan を単値関数として扱うことができます。この範囲では tan x は単調増加します。したがって、 arctan ( x ) の範囲は −π/2 < y < π/2 になります。制限された定義域からのこれらの値は主値と呼ばれます。
• 原始関数は多価関数とみなすことができます。関数の原始関数とは、導関数がその関数となる関数の集合です。積分定数は、定数関数の導関数が0であるという事実から導かれます。
• 複素数領域における逆双曲線関数は、双曲線関数が虚軸に沿って周期的であるため、多価関数となる。実数領域では、arcosh と arsech を除いて、単価関数となる。

これらはすべて、非単射関数から生じる多値関数の例です。元の関数は入力のすべての情報を保持しないため、可逆ではありません。多くの場合、多値関数の制限は元の関数の部分逆関数となります。

複素変数の多価関数には分岐点があります。例えば、n乗根関数と対数関数では、0が分岐点です。逆正接関数では、虚数単位iと−iが分岐点です。これらの関数は、分岐点を利用して値域を制限することで、単価関数に再定義できます。適切な区間は、分岐点のペアを結ぶ曲線である分岐カットを用いることで見つけることができます。これにより、関数の多層構造のリーマン面が単一の層に縮小されます。実関数の場合と同様に、制限された値域は関数の主分岐と呼ばれます。

物理学において、多価関数はますます重要な役割を担うようになっている。多価関数は、ディラックの磁気単極子、結晶中の欠陥理論とそれに伴う物質の塑性、超流体や超伝導体における渦、そしてこれらの系における相転移（例えば、融解やクォーク閉じ込め）の数学的基礎を形成している。また、物理学の多くの分野におけるゲージ場構造の起源でもある。

• 関係（数学）
• 関数（数学）
• 二項関係
• 集合値関数

• H. クライナート著、『凝縮系物質、電気力学、重力における多価場』、 ワールドサイエンティフィック（シンガポール、2008年）（オンラインでも入手可能）
• H. クライナート著、『凝縮物質におけるゲージ場』、第 I 巻：スーパーフローと渦線、1–742 ページ、第 II 巻：応力と欠陥、743–1456 ページ、World Scientific、シンガポール、1989 年（第 I 巻および第 II 巻はオンラインでも入手可能）