線形動的システム

線形動的システムは、発展関数が線形である動的システムです。一般に、動的システムには閉形式の解はありませんが、線形動的システムは正確に解くことができ、豊富な数学的特性を持っています。線形システムは、システムの平衡点を計算し、各平衡点の周りの線形システムとして近似することにより、一般的な動的システムの質的動作を理解するためにも使用できます。

線形動的システムでは、状態ベクトル（ 次元ベクトル）の変化は、定数行列（）に を掛けたもの に等しい。この変化は、時間とともに連続的に変化する フローの2つの形式をとることができる。${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)}$

または、離散的なステップ で変化するマッピングとして ${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle \mathbf {x} _{m+1}=\mathbf {A} \mathbf {x} _{m}}$

これらの方程式は、次の意味で線形です。 と が2 つの有効な解である場合、2 つの解の任意の線形結合 も有効です。 たとえば、 とは任意の 2 つのスカラーです。行列は対称で ある必要はありません。 ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$${\displaystyle \mathbf {z} (t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \alpha \mathbf {x} (t)+\beta \mathbf {y} (t)}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \mathbf {A} }$

線形動的システムは、ほとんどの非線形システムとは対照的に、正確に解くことができます。 場合によっては、非線形システムは、変数を線形システムに変更することで正確に解くことができます。 さらに、（ほぼ）すべての非線形システムの解は、その固定点の近くで同等の線形システムによって十分に近似できます。 したがって、線形システムとその解を理解することは、より複雑な非線形システムを理解するための重要な第一歩です。

初期ベクトルが行列の右固有ベクトル と一直線上にある場合、ダイナミクスは単純である。 ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {x} (t=0)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \mathbf {r} _{k}=\lambda _{k}\mathbf {r} _{ k}}$

ここで は対応する固有値である。この方程式の解は ${\displaystyle \lambda_{k}}$

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {r} _{k}e^{\lambda _{k}t}}$

置換によって確認できる。

が対角化可能な場合、次元空間内の任意のベクトルは、行列の右固有ベクトルと左固有ベクトル( と表記)の線形結合によって表すことができます。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathbf {l} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \mathbf {x} _{0}=\sum _{k=1}^{N}\left(\mathbf {l} _{k}\cdot \mathbf {x} _{0}\right )\mathbf {r} _{k}}$

したがって、の一般解は、右固有ベクトルの個々の解の線形結合である。 ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\sum _{k=1}^{n}\left(\mathbf {l} _{k}\cdot \mathbf {x} _{0}\right) \mathbf {r} _{k}e^{\lambda _{k}t}}$

離散マッピングにも同様の考慮事項が適用されます。

特性多項式det( A -λI )の根はAの固有値である。これらの根の符号と相互関係は、動的システムの安定性を決定するために使用できる。 ${\displaystyle \lambda_{n}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t).}$

2次元システムの場合、特性多項式は の形をとります。ここではトレース、 はAの行列式です。したがって、2つの根は次の形になります。 ${\displaystyle \lambda ^{2}-\tau \lambda +\Delta =0}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {\tau +{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {\tau -{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}}$、

およびおよび です。したがって、の場合、固有値は反対の符号を持ち、固定点は鞍点です。 の場合、固有値は同じ符号です。したがって、両方が正で、点は不安定であり、 の場合、両方が負で、点は安定です。判別式により、点が節点であるか螺旋状であるか (つまり、固有値が実数であるか複素数であるか) がわかります。 ${\displaystyle \Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}}$${\displaystyle \tau =\lambda _{1}+\lambda _{2}}$${\displaystyle \Delta <0}$${\displaystyle \Delta >0}$${\displaystyle \tau >0}$${\displaystyle \tau <0}$

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