転送オペレーター

数学において、転送演算子は反復写像に関する情報を符号化し、力学系、統計力学、量子カオス、フラクタルの挙動を研究するためによく用いられます。通常の場合、最大の固有値は1であり、対応する固有ベクトルはシステムの不変測度となります。

転送演算子は、デイビッド・リュエルにちなんでリュエル演算子と呼ばれることもあれば、演算子の固有値の決定にペロン・フロベニウスの定理が適用できることにちなんで、ペロン・フロベニウス演算子またはリュエル・ペロン・フロベニウス演算子と呼ばれることもある。

研究対象となる反復関数はマップである。${\displaystyle f\colon X\rightarrow X}$任意の集合に対して${\displaystyle X}$。

転送演算子は演算子として定義されます$\displaystyle {\mathcal {L}}}$関数空間に作用する${\displaystyle \{\Phi \colon X\rightarrow \mathbb {C} \}}$として

${\displaystyle ({\mathcal {L}}\Phi )(x)=\sum _{y\,\in \,f^{-1}(x)}g(y)\Phi (y)}$

どこ${\displaystyle g\colon X\rightarrow \mathbb {C} }$は補助的な評価関数です。${\displaystyle f}$ヤコビ行列式を持つ${\displaystyle |J|}$、 それから${\displaystyle g}$通常は${\displaystyle g=1/|J|}$。

上記の転送演算子の定義は、 gの測度論的プッシュフォワードの点集合極限であることが示せる。つまり、転送演算子は可測空間の圏における直接像関手である。ペロン・フロベニウス演算子の左随伴演算子は、クープマン演算子または合成演算子である。一般的な設定は、ボレル関数計算によって提供される。

一般的に、転送演算子は、シフト空間に作用する（左）シフト演算子として解釈できます。最もよく研​​究されているシフトは、有限型の部分シフトです。転送演算子の随伴演算子も同様に、通常は右シフトとして解釈できます。特に研究が進んでいる右シフトには、ヤコビ演算子とヘッセンベルグ行列があり、どちらも右シフトによって直交多項式のシステムを生成します。

関数の反復とは${\displaystyle f}$当然ながら、反復処理における X の点の軌道の研究 (点力学の研究) につながり、転送演算子は (滑らかな) 写像が反復処理でどのように変化するかを定義します。したがって、転送演算子は、 量子カオスや統計力学など、滑らかな関数の時間発展に注目が集まる物理学の問題によく現れます。これは、分子動力学の分野を通じて、合理的な薬剤設計への医学的応用につながります。

多くの場合、伝達演算子は正であり、離散的な正の実数値固有値を持ち、最大の固有値は1に等しくなります。このため、伝達演算子はフロベニウス・ペロン演算子と呼ばれることもあります。

伝達演算子の固有関数は通常フラクタルです。伝達演算子の対数が量子ハミルトニアンに対応する場合、固有値は通常非常に近接しており、したがって、非常に狭く慎重に選択された量子状態のアンサンブルであっても、体積全体にわたって非ゼロのサポートを持つ非常に多様なフラクタル固有状態を多数包含することになります。これは、時間の不可逆性やエントロピーの増加など、古典統計力学の多くの結果を説明するために使用できます。

ベルヌーイ写像の転送演算子${\displaystyle b(x)=2x-\lfloor 2x\rfloor }$これは厳密に解ける問題であり、決定論的カオスの典型的な例です。離散固有値はベルヌーイ多項式に対応します。この演算子は、フルヴィッツゼータ関数からなる連続スペクトルも持ちます。

ガウス写像の転送演算子${\displaystyle h(x)=1/x-\lfloor 1/x\rfloor }$これはガウス・クズミン・ウィルシング（GKW）演算子と呼ばれています。GKWの理論はガウスによる連分数に関する仮説に遡り、リーマンゼータ関数と密接に関連しています。

• ベルヌーイスキーム
• 有限型のシフト
• クライン＝ルトマンの定理
• 伝達行列法

• Gaspard, Pierre (1992). "r進数一次元写像とオイラーの総和公式". J. Phys. A: Math. Gen . 25 (8): L483– L485. Bibcode : 1992JPhA...25L.483G . doi : 10.1088/0305-4470/25/8/017 .
• ガスパール、ピエール（1998）。カオス、散乱、統計力学。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-39511-9。
• マッキー、マイケル・C. (1992).時の矢 ：熱力学的挙動の起源. シュプリンガー・フェルラーク. ISBN 0-387-94093-6。
• Mayer, Dieter H. (1978).古典統計力学におけるRuelle-Araki転送演算子. Springer-Verlag. ISBN 0-387-09990-5。
• リュエル、デイヴィッド（1978）。熱力学的形式主義：古典的平衡統計力学の数学的構造。アディソン・ウェスリー、レディング。ISBN 0-201-13504-3。
• Ruelle, David (2002). 「動的ゼータ関数と伝達演算子」(PDF) . Notices of the AMS . 49 (8): 887– 895.（導入的な概説を提供する。）