カプラン・ヨーク地図

カプラン・ヨーク写像は離散時間力学系です。これはカオス的挙動を示す力学系の一例です。カプラン・ヨーク写像は平面上の点 ( x _n ,  y _n  )を取り、それを次の式で与えられる新しい点に写像します。

${\displaystyle x_{n+1}=2x_{n}\ ({\textrm {mod}}~1)}$

${\displaystyle y_{n+1}=\alpha y_{n}+\cos(4\pi x_{n})}$

ここで、modは実数引数を持つ剰余演算子です。この写像は、定数αのみに依存します。

丸め誤差のため、コンピュータ上で浮動小数点演算として実装した場合、剰余演算子を10回または20回ほど繰り返し適用すると、結果がゼロになることがあります。そのため、以下の同等のアルゴリズムを実装することをお勧めします。

${\displaystyle a_{n+1}=2a_{n}\ ({\textrm {mod}}~b)}$

${\displaystyle x_{n+1}=a_{n}/b}$

${\displaystyle y_{n+1}=\alpha y_{n}+\cos(4\pi x_{n})}$

どこで${\displaystyle a_{n}}$そして${\displaystyle b}$は計算上の整数です。また、選択するのが最善です。${\displaystyle b}$さまざまな値を得るために大きな素数である${\displaystyle x_{n}}$。

剰余演算子が数回の反復後にゼロを返すのを避けるもう1つの方法は、

${\displaystyle x_{n+1}=2x_{n}\ ({\textrm {mod}}~0.99995)}$

${\displaystyle y_{n+1}=\alpha y_{n}+\cos(4\pi x_{n})}$

最終的には、より多くの反復処理の後ではあるものの、ゼロを返すことになる。

• JL Kaplanおよび JA Yorke (1979)。HO Peitgen および HO Walther (編)。関数微分方程式と不動点の近似 (数学講義ノート 730)。Springer-Verlag。ISBN 0-387-09518-7。
• P. Grassberger および I. Procaccia (1983). "ストレンジアトラクターのストレンジネスの測定". Physica . 9D ( 1– 2): 189– 208. Bibcode : 1983PhyD....9..189G . doi : 10.1016/0167-2789(83)90298-1 .