周期点

数学において、反復関数や力学系の研究において、関数の周期点とは、一定回数の関数反復後、または一定時間経過後にシステムが戻る点のことである。

集合Xから集合 X自身への写像fが与えられたとき、

${\displaystyle f:X\to X,}$

X内の点xは、 n > 0が存在して、

${\displaystyle \ f_{n}(x)=x}$

ここで、f n_はfのn番目の反復です。上記を満たす最小の正の整数n を、点xの素周期または最小周期と呼びます。X のすべての点が同じ周期nを持つ周期点である場合、fは周期nを持つ周期関数と呼ばれます(これは周期関数の概念と混同しないでください)。

異なるnとmが存在して、

${\displaystyle f_{n}(x)=f_{m}(x)}$

このとき、xは前周期点と呼ばれる。すべての周期点は前周期点である。

f が微分可能な多様体の微分同相写像である場合、導関数は${\displaystyle f_{n}^{\prime }}$が定義され、周期点が双曲的であるとは、

${\displaystyle |f_{n}^{\prime }|\neq 1,}$

魅力的であるならば

${\displaystyle |f_{n}^{\prime }|<1,}$

そしてそれは反発を招く

${\displaystyle |f_{n}^{\prime }|>1.}$

周期点または固定点の安定多様体の次元がゼロの場合、その点はソースと呼ばれます。不安定多様体の次元がゼロの場合、その点はシンクと呼ばれます。安定多様体と不安定多様体の両方の次元がゼロでない場合、その点はサドルまたはサドル点と呼ばれます。

実際のグローバルな動的システム が与えられた場合${\displaystyle (\mathbb {R} ,X,\Phi ),}$ここで、 Xは位相空間、 Φは発展関数である。

${\displaystyle \Phi$ :\mathbb {R} \times X\to X}

点X内の点xは、周期Tを持つ周期点と呼ばれる。

${\displaystyle \Phi (T,x)=x\,}$

この性質を持つ最小の正のTを点xの素周期と呼ぶ。

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• 複素二次写像の周期点

この記事は、 PlanetMathの双曲型不動点に関する資料を組み込んでおり、クリエイティブ・コモンズ表示-継承ライセンスの下でライセンスされています。