ソリトン

数学と物理学において、ソリトンは非線形で 自己強化的な局所的な波束であり、一定速度で自由に伝播しながら形状を維持し、他の同様の局所的な波束と衝突した後でも形状を回復するという点で強く安定しています。その驚くべき安定性は、媒体における非線形効果と分散効果のバランスの取れた相殺に起因します。(分散効果は、波の速度が周波数に依存する特定のシステムの特性です。) その後、ソリトンは、物理システムを記述する広範囲の弱非線形分散偏微分方程式の安定した解を提供することが分かりました。

ソリトン現象は、スコットランドのユニオン運河で孤立波を観測したジョン・スコット・ラッセル（1808–1882）によって1834年に初めて説明されました。彼はこの現象を造波水槽で再現し、「並進波」と名付けました。ソリトンという用語は、ラッセルが観測したタイプの波をモデル化するコルテヴェク・ド・フリース方程式の局所的で強く安定した伝播解を説明するために、ザブスキーおよびクラスカルによって造られました。この名前は波の孤立性を特徴付けるためのもので、「on」という接尾辞は電子、重粒子、ハドロンなどの粒子の使用を思い起こさせ、観測された粒子のような挙動を反映しています。^[1]

ソリトンの単一のコンセンサス定義を見つけることは困難です。Drazin & Johnson (1989、p. 15) は、ソリトンに 3 つの特性があると述べています。

1. それらは永続的な形式です。
2. それらは地域内に限定されます。
3. これらは他のソリトンと相互作用することができ、位相シフトを除いて衝突から変化せずに出てきます。

より正式な定義も存在するが、かなりの数学的知識が必要である。さらに、一部の科学者は、これら3つの特性を完全には備えていない現象に対してソリトンという用語を使用する（例えば、非線形光学の「光弾」は、相互作用中にエネルギーを失うにもかかわらず、ソリトンと呼ばれることが多い）。^[2]

分散と非線形性が相互作用して、永続的で局所的な波形が生成されることがあります。ガラス内を伝わる光のパルスを考えてみましょう。このパルスは、いくつかの異なる周波数の光で構成されていると考えられます。ガラスは分散を示すため、これらの異なる周波数は異なる速度で伝わり、したがってパルスの形状は時間とともに変化します。ただし、非線形カー効果も発生します。特定の周波数での材料の屈折率は、光の振幅または強度によって異なります。パルスの形状が適切であれば、カー効果によって分散効果が正確に打ち消され、パルスの形状は時間とともに変化しません。したがって、パルスはソリトンです。詳細については、 ソリトン (光学)を参照してください。

正確に解ける多くのモデルにはソリトン解があり、コルテヴェク・ド・フリース方程式、非線形シュレーディンガー方程式、結合非線形シュレーディンガー方程式、およびサイン・ゴードン方程式が含まれます。ソリトン解は、通常、逆散乱変換によって得られ、その安定性は場の方程式の積分可能性に依存します。これらの方程式の数学的理論は、数学的研究の広範かつ非常に活発な分野です。

セヴァーン川を含むいくつかの河川で発生する波動現象である潮汐波のいくつかのタイプは「波状」で、波頭にソリトンの列が続く。他のソリトンは、海底地形によって引き起こされる海底内部波として発生し、海洋の密度躍層を伝播する。カーペンタリア湾のアサガオ雲など、大気ソリトンも存在する。ここでは、圧力ソリトンが温度逆転層を移動して、広大な線形ロール雲を生成する。神経科学における最近のあまり広く受け入れられていないソリトンモデルは、ニューロン内の信号伝導を圧力ソリトンとして説明することを提案している。

位相ソリトンは位相欠陥とも呼ばれ、偏微分方程式の集合の解のうち、「自明な解」への崩壊に対して安定しているものを指します。ソリトンの安定性は、場の方程式の積分可能性ではなく、位相制約によるものです。制約は、ほとんどの場合、微分方程式が境界条件の集合に従わなければならないことと、境界が微分方程式によって保存される非自明なホモトピー群を持つことから生じます。したがって、微分方程式の解はホモトピークラスに分類できます。

連続的な変換は、あるホモトピー類の解を別のホモトピー類に写像するものではありません。解は完全に別個であり、非常に強力な力に直面してもその完全性を維持します。トポロジカルソリトンの例には、結晶格子のらせん転位、電磁気学におけるディラック弦と磁気単極子、量子場の理論におけるスキルミオンとウェス・ズーミノ・ウィッテンモデル、凝縮物質物理学における磁気スキルミオン、宇宙論における宇宙弦とドメインウォールなどがあります。

1834年、ジョン・スコット・ラッセルは翻訳の波について述べています。^{[nb 1]}この発見はスコット・ラッセル自身の言葉で次のように説明されています。^{[nb 2]}

2 頭の馬に引かれた狭い水路をボートが急速に進む様子を観察していたとき、ボートが突然止まった。水路の水塊は止まらなかった。水塊は激しくかき回された状態で船首の周りに集まり、その後突然ボートを後に残し、大きな孤立した隆起の形をとった。丸みを帯びた、滑らかで輪郭のはっきりした水塊で、水路に沿って進み続けた。水塊は、形を変えたり速度を落としたりすることなく、水路に沿って進み続けた。私は馬に乗ってそれを追いかけ、時速 8 マイルから 9 マイルの速度でまだ進み続けているボートを追い抜いた。長さ 30 フィート、高さ 1 フィートから 1 フィート半の元の姿を保っていた。ボートの高さは徐々に小さくなり、1 マイルか 2 マイル追跡した後、水路の曲がりくねった部分でボートを見失った。1834 年 8 月、私が「移動の波」と名付けた、あの奇妙で美しい現象に初めて遭遇したのはこのときだった。^[3]

スコット ラッセルは、これらの波の実際的かつ理論的な調査に時間を費やしました。彼は自宅に波の水槽を作り、いくつかの重要な特性に気づきました。

• 波は安定しており、非常に長い距離を移動することができます（通常の波は平らになるか、急峻になって倒れる傾向があります）
• 速度は波の大きさによって決まり、波の幅は水深によって決まります。
• 通常の波とは異なり、それらは決して合体しません。そのため、2 つの波が合体するのではなく、小さな波が大きな波に追い抜かれます。
• 波が水深に対して大きすぎる場合は、波は大きい波と小さい波の 2 つに分かれます。

スコット・ラッセルの実験的研究は、アイザック・ニュートンやダニエル・ベルヌーイの流体力学理論と矛盾しているように思われた。ジョージ・ビデル・エアリーとジョージ・ガブリエル・ストークスは、スコット・ラッセルの実験的観察が既存の水波理論では説明できなかったため、それを受け入れるのに苦労した。 1862年、フランスのブルゴーニュ運河で行われた実験の後、ヘンリー・バザンによって追加の観察が報告された。^[4]彼らの同時代人は理論を拡張しようとしばらく試みたが、ジョセフ・ブシネスク^[5]とレイリー卿が理論的な処理と解を発表したのは1870年代になってからだった。^{[nb 3]} 1895年、ディーデリック・コルテヴェグとグスタフ・ド・フリースは、孤立波と周期的クノイダル波の解を含む、現在コルテヴェグ・ド・フリース方程式として知られる方程式を提示した。^{[6] [nb 4]}

1965年、ベル研究所のノーマン・ザブスキー博士とプリンストン大学のマーティン・クラスカル博士は、有限差分法を用いた計算研究により、コルテヴェク・ド・フリース方程式（KdV方程式）に従う媒質中のソリトンの挙動を初めて実証した。彼らはまた、この挙動がフェルミ、パスタ、ウラム、チンゴウによる初期の不可解な研究をどのように説明するかを示した。^[1]

1967年、ガードナー、グリーン、クラスカル、ミウラはKdV方程式の解析解を可能にする逆散乱変換を発見した。 ^[8]ピーター・ラックスによるラックス対とラックス方程式に関する研究は、それ以来、多くの関連するソリトン生成システムの解にこれを拡張してきた。

ソリトンは、定義上、他のソリトンとの衝突によって形や速度が変化することはありません。^[9]そのため、水面上の孤立波はほぼ- ソリトンですが、厳密には - ソリトンではありません。2 つの孤立波 (衝突または追い越し) の相互作用の後、それらの振幅はわずかに変化し、振動残差が残ります。^[10]

ソリトンは量子力学でも研究されている。これは、ド・ブロイの未完のプログラム「二重解理論」または「非線形波動力学」を通じて量子力学の新たな基礎を提供できるためである。1927年にド・ブロイによって開発され、1950年代に復活したこの理論は、1923年から1926年の間に開発された彼のアイデアの自然な継承であり、アルバート・アインシュタインが光量子に対して導入した波動粒子二重性を物質のすべての粒子に拡張した。2019年には、外部の流体力学的線形ポテンシャルを使用して加速する表面重力水波ソリトンの観測が実証された。この実験では、弾道ソリトンの位相を励起して測定できることも実証された。^[11]

光ファイバーアプリケーションではソリトンを使った実験が数多く行われてきました。光ファイバーシステムにおけるソリトンはマナコフ方程式で記述されます。ソリトンの固有の安定性により、中継器を使用せずに長距離伝送が可能になり、伝送容量を2倍にすることもできます。^[12]

ソリトンはタンパク質^[16]やDNA ^[17]に発生することがある。 ソリトンはタンパク質やDNAの低周波集団運動に関連している。^[18]

神経科学で最近開発されたモデルでは、密度波の形の信号がソリトンの形でニューロン内を伝導すると提案されています。^{[19] [20] [21]}ソリトンは、生体分子鎖または格子内での、結合した構造的および電子的擾乱の波のような伝播として、ほぼ損失のないエネルギー伝達として説明できます。^[22]

ソリトンは、強誘電体などの材料ではドメイン壁の形で発生することがあります。強誘電体材料は、材料構造の構成と結合した自発分極、つまり電気双極子を示します。反対の分極に対応する構造構成は、外力が存在しない場合に等しく好ましいため、反対の分極の分極のドメインが単一の材料内に存在することがあります。これらの局所的な構造構成を分離するドメイン境界、つまり「壁」は、格子転位の領域です。^[23]ドメイン壁は分極として伝播するため、電気的バイアスや機械的応力などの力が加わると、ドメイン内で局所的な構造構成が切り替わります。その結果、ドメイン壁はソリトン、つまり幅と長さの形状を維持して滑ったり伝播したりできる個別の転位領域として説明できます。^{[24] [25] [26]}  

最近の文献では、二硫化モリブデンやグラフェンなどのファンデルワールス材料のねじれた二重層で強誘電性が観察されています。^{[23] [27] [28]}ファンデルワールス単分子層間の相対的なねじれ角から生じるモアレ超格子は、層内の原子の異なる積層順序の領域を生成します。これらの領域は、これらの単分子層の界面で強誘電性を可能にする反転対称性を破る構造構成を示します。これらの領域を分離するドメイン壁は部分的な転位で構成されており、そこではさまざまな種類の応力、したがって歪みが格子によって経験されます。サンプルの中程度の長さ（ナノメートルからマイクロメートルのオーダー）にわたるソリトンまたはドメイン壁の伝播は、固定領域上のAFMチップから適用される応力によって開始できることが観察されています。ソリトンの伝播は、材料全体でエネルギーの損失がほとんどない機械的摂動を運び、ドミノのような方法でドメインスイッチングを可能にします。^[25]

また、壁で見つかった転位の種類が方向などの伝播パラメータに影響を与える可能性があることも観察されています。たとえば、STM測定では、ねじれ二層グラフェンの局所的な積層秩序の種類に応じて、ドメイン壁でさまざまな程度のせん断、圧縮、張力の4種類の歪みが示されました。ドメインで見つかったさまざまなタイプの歪みによって壁の異なる滑り方向が実現され、ソリトンネットワークの伝播の方向に影響を与えます。^[25]

ソリトンネットワークの乱れや表面不純物などの非理想性もソリトンの伝播に影響を与える可能性がある。ドメイン壁はノードで出会い、効果的に固定され、三角形のドメインを形成する。これは、さまざまな強誘電体ツイスト二重層システムで容易に観察されている。^[23]さらに、複数の分極ドメインを囲むドメイン壁の閉ループは、ソリトンの伝播を阻害し、それによって分極の切り替えを阻害する可能性がある。^[25]また、ドメイン壁は、ファンデルワールス層内のしわや表面の不均一性で伝播して出会う可能性があり、これが伝播を妨げる障害物として機能する可能性がある。^[25]

磁石の中には、さまざまな種類のソリトンやその他の非線形波も存在します。^[29]これらの磁気ソリトンは、古典的な非線形微分方程式（磁気方程式、例えばランダウ・リフシッツ方程式、連続ハイゼンベルクモデル、石森方程式、非線形シュレーディンガー方程式など）の正確な解です。

原子核はソリトン的な振る舞いを示すことがある。^[30] ここで、原子核の波動関数全体が、特定の温度とエネルギー条件下ではソリトンとして存在すると予測されている。このような条件は、一部の星の中心部に存在すると示唆されており、その中心部では原子核は反応せず、変化せずに互いを通過し、原子核同士の衝突によってソリトン波が保持される。

スカイムモデルは、各原子核が、重粒子数が保存される場の理論の位相的に安定なソリトン解であると考えられる原子核のモデルです。

2つのソリトンの束縛状態は、バイオン^{[31] [32] [33] [34]}または束縛状態が周期的に振動するシステムでは、ブリーザーとして知られています。ソリトン間の干渉型の力は、バイオンの作成に使用できます。^[35]しかし、これらの力は、それらの相対的な位相に非常に敏感です。あるいは、ソリトンの束縛状態は、高度に励起されたリュードベリ準位で原子をドレッシングすることによって形成されます。^[34]結果として生じる自己生成ポテンシャルプロファイル^[34]は、3D自己トラップソリトンをサポートする内側の吸引性ソフトコア、ソリトンの融合を防ぐ中間の反発シェル（バリア）、および結合状態を完成させて巨大な安定したソリトン分子を生成するために使用される外側の吸引層（ウェル）を特徴としています。このスキームでは、分子内の個々のソリトンの距離とサイズは、レーザー調整によって動的に制御できます。

場の理論では、ビオンは通常、ボルン・インフェルト模型の解を指す。この名前は、GWギボンズが、何らかの物理系を記述する微分方程式の正則で有限エネルギー（通常は安定）な解として理解されている従来のソリトンとこの解を区別するために作ったものと思われる。^[36]正則という言葉は、まったく源を持たない滑らかな解を意味する。しかし、ボルン・インフェルト模型の解は、依然として原点にディラックのデルタ関数の形で源を持っている。その結果、この点で特異点を示す（電場はどこでも正則であるが）。いくつかの物理的文脈（例えば弦理論）では、この特徴が重要になる可能性があり、それがこのクラスのソリトンに特別な名前が導入される動機となった。

一方、重力が加えられた場合（つまり、ボルン・インフェルトモデルと一般相対性理論の結合を考慮する場合）、対応する解はEBIonと呼ばれます。ここで、「E」はアインシュタインを表します。

ゲッティンゲン大学の物理学者エリック・レンツは、ソリトンはエキゾチック物質、つまり負の質量を持つ物質を必要とせずに時空にアルキュビエレワープバブルを生成することができると理論化した。 ^[37]

• コンパクトサポートを持つソリトンであるコンパクトトン
• 散逸ソリトン
• フリーク波は、非線形特性を持つ集中した局所的なエネルギーを示すブリーザー波を伴うペレグリンソリトンに関連した現象である可能性がある。 ^[38]
• インスタントン
• ネマティコン
• 量子場理論における非位相的ソリトン
• 非線形シュレーディンガー方程式
• オシロン
• パターン形成
• 微分不可能なピークを持つソリトン、ピーコン
• Qボール非位相ソリトン
• サイン・ゴードン方程式
• ソリトン（光学）
• ソリトン（位相的）
• ソリトン分布
• 球電のソリトン仮説、デビッド・フィンケルスタイン著
• 神経インパルス伝播のソリトンモデル
• 位相量子数
• ベクトルソリトン

ウィキメディア・コモンズには、ソリトンに関連するメディアがあります。

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Wikiquoteにソリトンに関する引用があります。

ジョン・スコット・ラッセルに関連する

• ジョン・スコット・ラッセルと孤立波
• ジョン・スコット・ラッセルの伝​​記 2005-04-22ウェイバックマシンにアーカイブ
• スコット・ラッセル水路橋のソリトンの写真 2006-07-06 にWayback Machineでアーカイブ

他の

• ヘリオット・ワット大学ソリトンページ
• ヘルムホルツソリトン、サルフォード大学
• 光ソリトンに関する短い教訓的レビュー
• 2つのソリトンの衝突をYouTubeで撮影