積分可能なシステム

数学において、積分可能性は特定の力学系の特性です。正式な定義はいくつかありますが、非公式に言えば、積分可能系とは、十分な数の保存量、つまり第一積分を持ち、その運動がその位相空間の次元よりもはるかに小さい次元の部分多様体に限定される力学系です。

積分可能なシステムを特徴付けるものとして、3つの特徴がよく挙げられます。^[1]

• 保存量の最大集合の存在（完全積分可能性の通常の定義特性）
• 代数幾何学に基礎を置く代数的不変量の存在（代数的積分可能性とも呼ばれる性質）
• 明示的な関数形式での解の明示的な決定（固有の特性ではなく、しばしば可解性と呼ばれるもの）

可積分系は、より一般的な動的系（より典型的にはカオス系）とは質的に大きく異なるとみなされる。後者は一般に保存量を持たず、初期条件における任意の小さな摂動が、十分に長い時間にわたる軌道の任意の大きな偏差につながる可能性があるため、漸近的に扱いにくい。

物理学で研究される多くのシステムは、特にハミルトンの意味で完全に積分可能であり、その重要な例として多次元調和振動子が挙げられます。もう 1 つの標準的な例は、1 つの固定中心 (太陽など) または 2 つの固定中心の周りの惑星の運動です。その他の基本的な例としては、剛体の質量中心の周りの運動 (オイラー トップ) や軸対称の剛体の対称軸上の点の周りの運動 (ラグランジュ トップ) などがあります。

1960年代後半には、浅水波のいくつかのモデル（コルテヴェク・ド・フリース方程式）、非線形シュレーディンガー方程式で記述される光ファイバーのカー効果、戸田格子などの特定の積分可能な多体系など、物理学には無限の自由度を持つ完全に積分可能な系があることが認識されました。現代の積分可能系理論は、 1965年にマーティン・クラスカルとノーマン・ザブスキーがソリトンを数値的に発見したことで復活し、1967年に逆散乱変換法につながりました。

ハミルトン系の特殊なケースでは、フローパラメータが不変レベルセット（ラグランジアン葉状構造の葉）上の座標系として機能できるだけの十分な数の独立したポアソン可換第1積分があり、フローが完全でエネルギーレベルセットがコンパクトであれば、これはリウヴィル・アーノルドの定理、すなわち作用角変数の存在を意味します。一般的な動的システムにはこのような保存量はありません。自律ハミルトン系の場合、エネルギーが一般に唯一の保存量であり、エネルギーレベルセット上では、フローは典型的にはカオス的です。

可積分系を特徴付ける重要な要素はフロベニウスの定理であり、これは、系が局所的に最大積分多様体による葉脈構造を持つ場合、その系はフロベニウス積分可能（つまり、可積分分布によって生成される）であると述べている。しかし、動的系という意味での可積分性は、葉脈構造が規則的で、葉が部分多様体に埋め込まれていることを必要とするため、局所的ではなく大域的な特性である。

積分可能性は、必ずしも一般的な解が何らかの既知の特殊関数の集合によって明示的に表現できることを意味するわけではありません。それは、システムの幾何学と位相、およびダイナミクスの性質の固有の特性です。

微分可能な力学系の文脈では、積分可能性の概念は、不変で正規の葉脈の存在を指します。つまり、葉がフローに対して不変である、可能な限り最小の次元の 埋め込み部分多様体である葉脈です。したがって、不変葉脈の葉の次元に応じて、積分可能性の次数の概念が異なります。この概念は、ハミルトン系の場合に洗練されており、リウヴィルの意味での完全積分可能性として知られています(以下を参照)。これは、この文脈で最も頻繁に言及されるものです。

積分可能性の概念の拡張は、格子などの離散システムにも適用できます。この定義は、微分方程式系または有限差分方程式のいずれかである発展方程式を記述するために適応できます。

積分可能な動的システムと積分不可能な動的システムの区別は、規則的な動きとカオス的な動きという質的な意味合いを持ち、したがって、システムが正確な形で明示的に積分できるかどうかという問題だけではなく、本質的な特性です。

ハミルトン系の特別な設定では 、リウヴィルの意味での積分可能性の概念があります。（リウヴィル-アーノルドの定理を参照してください。）リウヴィルの積分可能性は、不変多様体による位相空間の正規の葉理が存在し、葉理の不変量に​​関連付けられたハミルトンベクトル場が接線分布に張られることを意味します。これを別の方法で述べると、機能的に独立したポアソン可換不変量（つまり、系のハミルトンとのポアソン括弧が消え、互いとのポアソン括弧が消える位相空間上の独立した関数）の最大集合が存在するということです。

有限次元では、位相空間がシンプレクティック（つまり、ポアソン代数の中心が定数のみで構成される）である場合、それは偶数次元を持つ必要があり、独立したポアソン可換不変量（ハミルトニアン自体を含む）の最大数は です。葉脈の葉はシンプレクティック形式に関して完全に等方性であり、そのような最大等方性葉脈はラグランジアンと呼ばれます。すべての自律ハミルトニアン システム（つまり、ハミルトニアンとポアソンの括弧が明示的に時間に依存しないシステム）には、少なくとも 1 つの不変量、つまりハミルトニアン自体があり、フローに沿ったその値はエネルギーです。エネルギー レベル セットがコンパクトな場合、ラグランジアン葉脈の葉はトーラスであり、これらの自然な線形座標は「角度」変数と呼ばれます。標準 -形式のサイクルはアクション変数と呼ばれ、結果として得られる標準座標はアクション角度変数と呼ばれます（以下を参照）。 ${\displaystyle 2n,}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1}$

リウヴィルの意味での完全可積分性と部分可積分性の間にも区別があり、また超可積分性と最大超可積分性という概念もあります。本質的に、これらの区別は葉脈の葉の次元に対応します。独立したポアソン可換不変量の数が最大数より少ない場合（ただし、自律システムの場合は複数）、システムは部分可積分であるといいます。ポアソン可換となり得る最大数を超えてさらに機能的に独立した不変量が存在し、したがって不変葉脈の葉の次元が n 未満である場合、システムは超可積分であるといいます。1 次元の葉（曲線）を持つ正規の葉脈がある場合、これは最大超可積分と呼ばれます。

有限次元ハミルトン系がリウヴィルの意味で完全に積分可能であり、エネルギー準位集合がコンパクトな場合、フローは完全であり、不変葉層の葉はトーラスです。その場合、前述のように、作用角変数 と呼ばれる位相空間上の特別な標準座標集合が存在し、不変トーラスは作用変数の結合準位集合です 。したがって、これらはハミルトンフローの不変量の完全な集合 (運動定数) を提供し、角度変数はトーラス上の自然な周期座標です。これらの標準座標で表される不変トーラス上の運動は、角度変数に対して線形です。

正準変換理論には、ハミルトン・ヤコビ法があり、この方法では、ハミルトン方程式の解は、まず関連するハミルトン・ヤコビ方程式の完全な解を見つけることによって求められます。古典的な用語では、これは、完全に無視できる変数からなる座標の正準セットへの変換を決定することとして説明されます。つまり、ハミルトニアンが完全な正準「位置」座標セットに依存しない座標、したがって対応する正準共役運動量がすべて保存される量です。コンパクトなエネルギーレベルセットの場合、これは作用角変数を決定するための最初のステップです。ハミルトン・ヤコビ型の偏微分方程式の一般理論では、完全な解（つまり、 n 個の独立した積分定数に依存する解。nは配置空間の次元）は、非常に一般的な場合に存在しますが、局所的な意味でのみ存在します。したがって、ハミルトン・ヤコビ方程式の完全な解の存在は、決してリウヴィルの意味で完全な積分可能性を特徴付けるものではありません。「明示的に積分」できるほとんどのケースでは、変数が完全に分離されており、分離定数によって必要な積分定数の完全なセットが提供されます。これらの定数が、完全な位相空間設定内で、ラグランジュ葉理の葉に制限されたポアソン可換関数の完全なセットの値として再解釈できる場合にのみ、システムはリウヴィルの意味で完全に積分可能であると見なすことができます。

古典的な可積分系への関心が再び高まったのは、1960 年代後半に、コルテヴェク・ド・フリース方程式(浅い盆地における 1 次元の非散逸流体力学を記述する)のような偏微分方程式の強く安定した局所解であるソリトンが、これらの方程式を無限次元の可積分ハミルトン系と見なすことで理解できるという発見があったからである。彼らの研究は、そのような系を「積分」するための非常に実りあるアプローチ、 すなわち逆散乱変換と、より一般的な逆スペクトル法 (多くの場合、リーマン・ヒルベルト問題に還元可能) につながっており、これらは関連する積分方程式の解を通じて、フーリエ解析などの局所線形法を非局所線形化に一般化している。

この方法の基本的な考え方は、位相空間の位置によって決定され、問題のシステムのダイナミクスの下で進化する線形演算子を導入することです。その「スペクトル」（適切に一般化された意味で）は、進化に対して不変です（Lax 対を参照）。これにより、場合によっては、システムを完全に積分可能にするのに十分な不変量、つまり「運動の積分」が提供されます。KdV 方程式などの無限数の自由度を持つシステムの場合、これはリウヴィルの積分可能性の特性を正確にするには不十分です。ただし、適切に定義された境界条件の場合、スペクトル変換は、実際には完全に無視できる座標への変換として解釈でき、保存量は二重無限の標準座標セットの半分を形成し、フローはこれらの座標で線形化されます。場合によっては、これはアクション角度変数への変換と見なされることもありますが、通常は「位置」変数の有限数だけが実際に角度座標であり、残りは非コンパクトです。

現代の可積分系理論に生じたもう一つの観点は、広田亮吾^[2]が開拓した計算手法に端を発しており、これは元々の非線形力学系を補助量に対する定数係数方程式の双線形系に置き換えたもので、後に τ関数として知られるようになった。これらは現在、広田方程式と呼ばれている。これは元々は逆散乱アプローチやハミルトン構造とは明確な関係のない単なる計算装置として登場したが、それでもソリトンなどの重要な解のクラスを導く非常に直接的な方法を与えた。

その後、これは佐藤幹夫^[3]と彼の学生^{[4] [5]}によって、最初はカドムツェフ-ペトビアシビリ階層のようなPDEの可積分階層の場合について、その後は可積分階層のより一般的なクラスについて、一種の普遍的な位相空間アプローチとして解釈されました。このアプローチでは、典型的には、可換ダイナミクスは、（有限または無限）グラスマン多様体への固定された（有限または無限）アーベル群作用によって決定されると単純に考えられました。τ-関数は、群軌道の要素からグラスマン多様体内のある原点への射影演算子 の行列式と見なされ、広田方程式は、適切に定義された（無限）外部空間（フェルミオンフォック空間として見られる）の射影化におけるグラスマン多様体のプルッカー埋め込みを特徴付けるプルッカー関係式を表現するものとして見られました。

量子可積分系という概念もあります。

量子設定では、位相空間上の関数はヒルベルト空間上の自己随伴演算子に置き換えられ、ポアソン可換関数の概念は可換演算子に置き換えられる必要がある。保存則の概念は局所保存則に特化する必要がある。^[6]すべてのハミルトニアンには、そのエネルギー固有状態への射影子によって与えられた保存量の無限集合がある。しかし、これは特別な動的構造を意味するものではない。

量子積分可能性を説明するには、自由粒子の設定を考慮するとわかりやすい。ここでは、すべてのダイナミクスは 1 体可約である。量子システムは、ダイナミクスが 2 体可約である場合に可積分であると言われる。ヤン・バクスター方程式はこの可約性の帰結であり、無限の保存量セットを提供するトレース恒等式につながる。これらのアイデアはすべて、代数ベーテ仮説を使用して明示的な解を得ることができる量子逆散乱法に組み込まれている。量子可積分モデルの例としては、リープ・リニガーモデル、ハバードモデル、およびハイゼンベルグモデルのいくつかのバリエーションがある。 [7]駆動タヴィス・カミングスモデルなど、明示的に時間依存の量子問題では、他のタイプの量子可積分性が知られている。 [ ^{8 ]}

物理学では、特に無限次元の設定における完全に積分可能なシステムは、正確に解けるモデルと呼ばれることがよくあります。これにより、ハミルトンの意味での積分可能性と、より一般的な動的システムの意味での積分可能性との区別があいまいになります。

統計力学には、古典的なものよりも量子可積分系に近い、正確に解けるモデルもあります。密接に関連する 2 つの方法、ヤン・バクスター方程式に基づく現代的な意味でのベーテ仮説アプローチと量子逆散乱法は、逆スペクトル法の量子類似物を提供します。これらは、統計力学における可解モデルの研究において同様に重要です。

「正確な可解性」という不正確な概念は、「解は既知の関数で明示的に表現できる」という意味で使われることもあります。これは、解を表現できる「既知の」関数がたまたまいくつかあるという計算上の特徴ではなく、システム自体の固有の特性であるかのように使われます。この概念には固有の意味はありません。なぜなら、「既知の」関数が意味するものは、特定の方程式を満たすという事実によって正確に定義されることが多く、そのような「既知の関数」のリストは絶えず増え続けているからです。このような「積分可能性」の特徴付けには固有の妥当性はありませんが、積分可能なシステムに期待されるような規則性を意味することがよくあります。^{[引用が必要]}

古典的な機械システム

• カロジェロ・モーザー・サザーランドモデル^[9]
• 中心力運動（古典的な中心力問題の正確な解）
• 楕円体上の測地線運動
• 調和振動子
• 流体における積分可能なクレプシュ系とステクロフ系
• ラグランジュ、オイラー、コワレフスカヤトップ
• ノイマン発振器
• 2中心ニュートン重力運動

積分可能な格子モデル

• アブロウィッツ・ラディク格子
• 戸田格子
• ボルテラ格子

1 + 1 次元の積分可能なシステム

• AKNSシステム
• ベンジャミン・オノ方程式
• ブシネスク方程式 (水の波)
• カマッサ・ホルム方程式
• 古典的なハイゼンベルク強磁性体モデル（スピン鎖）
• デガスペリス・プロセシ方程式
• Dym方程式
• ガルニエ可積分系
• カウプ・クーパーシュミット方程式
• クリチェバー・ノビコフ方程式
• コルテヴェク・ド・フリース方程式
• ランダウ・リフシッツ方程式（連続スピン場）
• 非線形シュレーディンガー方程式
• 非線形シグマモデル
• サイン・ゴードン方程式
• サーリングモデル
• 三波方程式

2 + 1 次元の積分可能な偏微分方程式

• デイビー・スチュワートソン方程式
• 石森方程式
• カドムツェフ・ペトビアシビリ方程式
• ノビコフ・ヴェセロフ方程式

3 + 1 次元の積分可能な偏微分方程式

• ベリンスキー・ザハロフ変換は、アインシュタイン場の方程式の Lax 対を生成します。一般解は重力ソリトンと呼ばれ、シュワルツシルト計量、カー計量、およびいくつかの重力波解がその例です。

正確に解ける統計格子モデル

• 8頂点モデル
• ゴーダンモデル
• 1次元と2次元のイジングモデル
• リーブの氷型モデル
• 量子ハイゼンベルクモデル

• ヒッチンシステム

• 数理物理学
• ソリトン
• パンルヴェの超越者
• 統計力学
• 積分可能アルゴリズム

• アーノルド、VI（1997）。古典力学の数学的手法（第2版）。シュプリンガー。ISBN 978-0-387-96890-2。
• Audin, M. (1996)。 『スピニング・トップ：積分可能システムのコース』。ケンブリッジ高等数学研究第51巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0521779197。
• Babelon, O.; Bernard, D.; Talon, M. (2003).古典的可積分系入門. Cambridge University Press . doi :10.1017/CBO9780511535024. ISBN 0-521-82267-X。
• Baxter, RJ (1982)。統計力学における正確に解かれたモデル。Academic Press。ISBN 978-0-12-083180-7。
• Dunajski, M. (2009).ソリトン、インスタントン、ツイスター.オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-857063-9。
• Faddeev, LD ; Takhtajan, LA (1987).ソリトン理論におけるハミルトン法. Addison-Wesley. ISBN 978-0-387-15579-1。
• Fomenko, AT (1995)。シンプレクティック幾何学。方法と応用（第 2 版）。Gordon およびBreach。ISBN 978-2-88124-901-3。
• Fomenko, AT ; Bolsinov, AV (2003)。積分可能なハミルトン系: 幾何学、位相、分類。Taylor and Francis。ISBN 978-0-415-29805-6。
• ゴールドスタイン、H. (1980)。古典力学（第2版）。アディソン・ウェスレー。ISBN 0-201-02918-9。
• Harnad, J. ; Winternitz, P. ; Sabidussi , G.編 (2000)。『積分可能システム：古典から量子へ』アメリカ数学会。ISBN 0-8218-2093-1。
• Harnad, J. ; Balogh, F. (2021).タウ関数とその応用. ケンブリッジ数理物理学モノグラフ.ケンブリッジ大学出版局. doi :10.1017/9781108610902. ISBN 9781108492683. S2CID  222379146。
• Hietarinta, J.; Joshi, N .; Nijhoff, F. (2016).離散システムと積分可能性. Cambridge University Press . Bibcode :2016dsi..book.....H. doi :10.1017/CBO9781107337411. ISBN 978-1-107-04272-8。
• Korepin, VE ; Bogoliubov, NM; Izergin, AG (1997).量子逆散乱法と相関関数. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-58646-7。
• アフラジモビッチ, VS ;アーノルド, VI ;イリヤシェンコ、ユウ。 S. ;シルニコフ、LPダイナミック システムV。スプリンガー。ISBN 3-540-18173-3。
• ムッサルド、ジュゼッペ（2010）。統計場理論。統計物理学の厳密に解かれたモデルの紹介。オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-954758-6。
• Sardanashvily, G. (2015).可積分ハミルトン系ハンドブック. URSS. ISBN 978-5-396-00687-4。

• Beilinson, A. ; Drinfeld, V.「Hitchin の積分可能システムと Hecke 固有層の量子化」(PDF)。
• Donagi, R. ; Markman, E. (1996). 「スペクトル被覆、代数的に完全に積分可能なハミルトン系、および束のモジュライ」。積分可能な系と量子群。 数学講義ノート。 Vol. 1620。 Springer。 pp. 1–119。doi :10.1007/BFb0094792。ISBN 978-3-540-60542-3。
• Sonnad, Kiran G.; Cary, John R. (2004). 「リー変換摂動論を用いた、積分可能性を向上させた非線形格子の発見」. Physical Review E. 69 ( 5): 056501. Bibcode :2004PhRvE..69e6501S. doi :10.1103/PhysRevE.69.056501. PMID  15244955.

ウィキメディア・コモンズには、可積分系に関連するメディアがあります。

• 「積分可能システム」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 「SIDE - 差分方程式の対称性と積分可能性」は、積分可能な差分方程式と関連トピックの研究に特化した会議です。^[10]