エノン地図

エノン写像は、定数ヤコビ行列式を持つ2次元微分同相写像である。写像のヤコビ行列は次のとおりである。$${\displaystyle J={\begin{bmatrix}-2ax&1\\b&0\end{bmatrix}}}$$この行列の行列式は${\displaystyle det(J)=-b}$写像は散逸的であるため（つまり、反復によって体積が縮小するため）、行列式は -1 から 1 の間になければなりません。Hénon 写像は1 の場合に散逸的です。^{[ 4 ]}古典的なパラメータの場合${\displaystyle a=1.4,b=0.3}$行列式は-0.3なので、マップは一定の割合で領域を縮小します。反復ごとに領域は0.3倍ずつ縮小します。

この収縮は、伸縮と折り畳み動作と組み合わさって、エノンアトラクターの特徴的なフラクタル構造を生み出します。古典的なパラメータの場合、ほとんどの初期条件は、このブーメランのような形状を描き出す軌道につながります。アトラクターには、その構造の根幹となる無数の不安定な周期軌道が含まれています。^{[ 5 ]}

この地図には、写像によって変化しない2つの固定点があります。これらは、 x = 1 - ax² + yとy = bxを解くことによって求められます。2^番目の式を最初の式に代入すると、次の二次方程式が得られます。$${\displaystyle ax^{2}+(1-b)x-1=0}$$解（固定点のx座標）は以下のとおりです。$${\displaystyle x={\frac {-(1-b)\pm {\sqrt {(1-b)^{2}+4a}}}{2a}}}$$古典的なパラメータa = 1.4およびb = 0.3の場合、2 つの固定点は次のようになります。

${\displaystyle x_{1}\approx 0.631,\quad y_{1}\approx 0.189}$

${\displaystyle x_{2}\approx -1.131,\quad y_{2}\approx -0.339}$

これらの点の安定性は、固定点におけるヤコビ行列Jの固有値によって決定されます。古典的な写像では、最初の固定点は鞍点（不安定）であり、2 番目の固定点は反発点（これも不安定）です。^{[ 6 ]}最初の固定点の不安定多様体は、ストレンジ アトラクター自体を生成する重要な構成要素です。^{[ 6 ]}

エノン写像は、そのパラメータが変化すると複雑な挙動を示します。これを視覚化する一般的な方法は、分岐図を使用することです。bを一定 (例えば 0.3) に保ち、aを変化させると、写像は規則的 (周期的) な挙動からカオス的な挙動へと遷移します。この遷移は、ロジスティック写像と同様に、周期倍分岐カスケードによって発生します。^{[ 4 ]}

aの値が小さい場合、システムは単一の安定な固定点に収束します。a が増加すると、この点は不安定になり、安定な 2 サイクルに分裂します。このサイクルは不安定になり、4 サイクル、8 サイクルなどに分裂し、システムが完全カオス状態になるaの臨界値に達するまで続きます。カオス領域内には、特定のaの範囲で安定な軌道が再び現れる周期性の「ウィンドウ」も存在します。^{[ 6 ]}

エノン写像のような力学系を解析する別の方法として、クープマン演算子法があります。このアプローチは、非線形力学に線形的な視点を提供します。位相空間における個々の点の進化を研究する代わりに、システムの作用を「観測可能な」関数g ( x , y )の空間上で考えます。クープマン演算子Uは、観測可能な関数gを次の時間ステップにおける値に写像する線形演算子です。$${\displaystyle (Ug)(\mathbf {x} _{n})=g(\mathbf {x} _{n+1})=g(1-ax_{n}^{2}+y_{n},bx_{n})}$$演算子Uは線形ですが、無限次元の関数空間に作用します。解析の鍵は、 U φ _k = λ _k φ _kを満たすこの演算子の固有関数φ _kと固有値λ _kを見つけることです。これらの固有関数はクープマンモードとも呼ばれ、対応する固有値にはシステムのダイナミクスに関する重要な情報が含まれています。^{[ 7 ]}

エノン写像のようなカオス系の場合、固有関数は一般的に複雑なフラクタル関数です。これらは解析的に求めることはできず、動的モード分解（DMD）などの方法を用いて数値的に計算する必要があります。^{[ 8 ]}クープマンモードのレベルセットは、安定多様体や不安定多様体、吸引領域などのシステムの不変構造を明らかにし、ダイナミクスの全体像を提供します。^{[ 9 ]}

HitzlとZeleは、Hénonマップの3D一般化を提案した。^{[ 13 ]}

${\displaystyle \mathbf {s} (n+1)={\begin{bmatrix}s_{1}(n+1)\\s_{2}(n+1)\\s_{3}(n+1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-\alpha s_{1}^{2}(n)+s_{3}(n)\\-\beta s_{1}(n)\\\beta s_{1}(n)+s_{2}(n)\end{bmatrix}}}$

特定のパラメータ (例:${\displaystyle \alpha =1.07}$そして${\displaystyle \beta =0.3}$)、このマップはカオスアトラクターを生成する。^{[ 13 ]}

エノンマップは、そのパラメータaとbを追加の軸として扱うことで、 4 次元空間にプロットできます。これにより、パラメータ空間全体にわたるマップの挙動を視覚化できます。この 4 次元構造を視覚化する 1 つの方法は、一連の 3 次元スライスをレンダリングすることです。各スライスは、1 つのパラメータ (例えばa ) の固定値を表し、他の 3 つのパラメータ ( x、y、b ) が表示されます。次に、4 番目のパラメータを時間変数として変化させることで、変化する 3 次元構造の動画を作成できます。

その他の一般化としては、デジタルフィルタを用いたフィードバックループを導入して、複雑で帯域制限されたカオス信号を生成することが挙げられる。^{[ 14 ] [ 15 ]}