ポテンシャルフロー

流体力学において、ポテンシャル流れまたは非回転流れとは、理想化された摩擦のない流体の流れを指します。流れは、次の2種類に分類されます。

非粘性流体の流れ
境界層が存在しない領域における、低粘度流体の流れ。プラントル仮説を参照。

ポテンシャル流は、速度場をスカラー関数の勾配、すなわち速度ポテンシャルとして記述します。その結果、ポテンシャル流は非回転速度場によって特徴づけられ、これはいくつかの応用において有効な近似となります。ポテンシャル流の非回転性は、スカラーの勾配の回転が常にゼロであることに起因します。

非圧縮性流れの場合、速度ポテンシャルはラプラス方程式を満たし、ポテンシャル理論が適用可能です。しかし、ポテンシャル流れは圧縮性流れやヘレ・ショー流れの記述にも用いられてきました。ポテンシャル流れのアプローチは、定常流と非定常流の両方のモデリングに用いられます。ポテンシャル流れの応用例としては、翼型の外側流れ場、水波、電気浸透流、地下水流などが挙げられます。

摩擦力（せん断力と粘性力として記述される）を含む領域は、渦度を含む領域として記述できます。強い渦度効果のある流れ（またはその一部）の場合、ポテンシャル流れ近似は適用できません。渦度が重要であることが知られている流れの領域（後流や境界層など）では、ポテンシャル流れ理論は流れの妥当な予測を提供することができません。^{[ 1 ]}しかし、流れには非回転性の仮定が有効である大きな領域がしばしばあり、ポテンシャル流れをさまざまな用途に使用できます。これには、航空機の周囲の流れ、地下水の流れ、音響、水波、電気浸透流などが含まれます。^{[ 2 ]}

説明と特徴

ポテンシャル流または非回転流では、渦度ベクトル場はゼロ、つまり、

${\boldsymbol {\omega }}\equiv \nabla \times \mathbf {v} =0,$

どこ $\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)$ 速度場であり、 ${\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} ,t)$ は渦度場です。回転がゼロのベクトル場と同様に、速度場はあるスカラーの勾配として表すことができます。 $\varphi (\mathbf {x} ,t)$ これは速度ポテンシャルと呼ばれ、勾配の回転は常にゼロです。したがって、^{[ 3 ]}

$\mathbf {v} =\nabla \varphi .$

速度ポテンシャルは一意に定義されず、例えば時間の任意の関数を加えることができる。 $f(t)$ 関連する物理量に影響を与えることなく、 $\mathbf {v}$ 非一意性は通常、適切な初期条件または境界条件を適切に選択することによって解消されます。 $\varphi$ そのため、手順は問題ごとに異なる場合があります。

ポテンシャルフローでは、循環 $\Gamma$ 任意の単純連結輪郭の周り $C$ はゼロです。これはストークスの定理を用いて示すことができます。

$\Gamma \equiv \oint _{C}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {l} =\int {\boldsymbol {\omega }}\cdot d\mathbf {f} =0$

どこ $d\mathbf {l}$ 輪郭上の線要素であり、 $d\mathbf {f}$ は、輪郭によって囲まれた任意の表面の面積要素です。多重連結空間（例えば、2次元で固体を囲む輪郭の周囲、または3次元でトーラスを囲む輪郭の周囲）または集中渦の存在下（例えば、いわゆる非回転渦または点渦、または煙の輪）では、循環 $\Gamma$ ゼロである必要はない。前者の場合、ストークスの定理は適用できず、後者の場合、 ${\boldsymbol {\オメガ }}$ 輪郭によって囲まれた領域内ではゼロではない。輪郭がループする無限に長い固体円筒を囲む輪郭の周囲では $N$ 時には、

$\Gamma =N\kappa$

どこ $\kappa$ は巡回定数です。この例は二重連結空間に属します。 $n$ - タプル連結空間には、 $n-1$ このような周期定数、すなわち、 $\kappa _{1},\kappa _{2},\dots ,\kappa _{n-1}.$

非圧縮性流体

非圧縮性の流れ（例えば、低マッハ数の液体や気体など。ただし音波は除く）の場合、速度 $vの$ 発散はゼロになります。^[³^]

$\nabla \cdot \mathbf {v} =0\,,$

ここで代入すると $\mathbf {v} =\nabla \varphi$ 示しているのは $\varphi$ ラプラス方程式^[³^]を満たす

$\nabla ^{2}\varphi =0\,,$

ここで $、\nabla 2 = \nabla \cdot \nablaは$ ラプラス演算子( $Δ$ とも表記される)です。ラプラス方程式の解は調和関数であるため、すべての調和関数はポテンシャル流れの解を表します。明らかなように、非圧縮性の場合、速度場は運動学から完全に決定されます。つまり、流れの非回転性と発散ゼロの仮定です。運動量方程式に関連する力学は、圧力場を計算することに関心がある場合にのみ、後で適用する必要があります。たとえば、ベルヌーイの原理を使用して翼型周りの流れを計算する場合などです。

非圧縮性流れでは、よくある誤解とは異なり、ポテンシャル流れは粘性項があるため、オイラー方程式だけでなく、ナビエ・ストークス方程式全体を満たします。

$\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} =\mu \nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )-\mu \nabla \times {\boldsymbol {\omega }}=0$

は恒等的にゼロである。ポテンシャル流が、特に固体境界付近において、必要な境界条件を満たせないことが、必要な流れ場を表現する上で無効となる原因である。ポテンシャル流が必要な条件を満たす場合、それは非圧縮性ナビエ・ストークス方程式の必要な解となる。

2次元では、調和関数の助けを借りて $\varphi$ および共役調和関数 $\psi$ （流れ関数）非圧縮性ポテンシャル流れは、複素解析を用いて解析される非常に単純なシステムに簡略化される（下記参照）。

圧縮性流体

定常流

ポテンシャル流れ理論は、非回転圧縮性流れのモデル化にも使用できます。 $\varphi$ オイラー方程式からは非常に簡単です。定常流の連続方程式と（ポテンシャル流）運動量方程式は次のように与えられます。

$\rho \nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla \rho =0,\quad (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p=-{\frac {c^{2}}{\rho }}\nabla \rho$

ここで最後の式は、流体粒子のエントロピーが一定であり、音速の二乗が $c^{2}=(\partial p/\partial \rho )_{s}$ 排除する $\nabla \rho$ 2つの支配方程式から得られる結果は

$c^{2}\nabla \cdot \mathbf {v} -\mathbf {v} \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =0.$

非圧縮性バージョンは極限で現れる $c\to \infty$ .ここに代入する $\mathbf {v} =\nabla \varphi$ 結果は^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

$(c^{2}-\varphi _{x}^{2})\varphi _{xx}+(c^{2}-\varphi _{y}^{2})\varphi _{yy}+(c^{2}-\varphi _{z}^{2})\varphi _{zz}-2(\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}+\varphi _{y}\varphi _{z}\varphi _{yz}+\varphi _{z}\varphi _{x}\phi _{zx})=0$

どこ $c=c(v)$ 速度の大きさの関数として表される $v^{2}=(\nabla \phi )^{2}$ ポリトロピックガスの場合、 $c^{2}=(\gamma -1)(h_{0}-v^{2}/2)$ 、どこ $\gamma$ 比熱比と $h_{0}$ は停滞エンタルピーである。2次元の場合、この式は次のように簡略化される。

$(c^{2}-\varphi _{x}^{2})\varphi _{xx}+(c^{2}-\varphi _{y}^{2})\varphi _{yy}-2\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}=0.$

妥当性：現状では、この方程式は、流れが亜音速か超音速かに関わらず（例えばプラントル・マイヤー流れ）、あらゆる非粘性ポテンシャル流れに対して有効です。しかし、超音速流れや遷音速流れでは、衝撃波が発生し、流れにエントロピーと渦度を導入して流れを回転させる可能性があります。それでも、衝撃波が存在する場合でもポテンシャル流れが優勢となるケースが2つあり、これらは（必ずしもポテンシャルではない）運動量方程式（以下の形式で記述）から説明されます。

$\nabla (h+v^{2}/2)-\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}=T\nabla s$

どこ $h$ は比エンタルピーです。 ${\boldsymbol {\omega }}$ は渦度場です。 $T$ 温度と $s$ は比エントロピーです。先頭衝撃波の前にはポテンシャル流があるため、ベルヌーイの式は、 $h+v^{2}/2$ は一定であり、衝撃波全体にわたって一定である（ランキン・ユゴニオ条件）ので、次のように書くことができる^{[ 4 ]}

$\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}=-T\nabla s$

1) 衝撃波の強度が一定の場合、衝撃波を横切るエントロピーの不連続性も一定である。 $\nabla s=0$ したがって、渦度生成はゼロです。 2次元くさび形または3次元円錐形の尖った先端部における衝撃波（テイラー・マッコール流れ）は一定の強度を持ちます。 2) 弱い衝撃波の場合、衝撃波を横切るエントロピージャンプは衝撃波の強度に関して3次量であり、したがって $\nabla s$ 無視できる。細長い物体における衝撃波は、物体とほぼ平行に発生し、弱い。

ほぼ平行な流れ:細長い物体を通過する流れのように、流れが主に一方向でわずかなずれがある場合、完全な方程式はさらに簡略化できます。 $U\mathbf {e} _{x}$ 主流をこの速度場とし、この速度場からの小さなずれを考慮する。対応する速度ポテンシャルは次のように表される。 $\varphi =xU+\phi$ どこ $\phi$ これは、一様流からのわずかなずれを特徴づけ、完全な方程式の線形化バージョンを満たします。これは次のように与えられます。

$(1-M^{2}){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}=0$

どこ $M=U/c_{\infty }$ は、一様流に対応する定数マッハ数です。この式は、以下の条件を満たす場合に有効です。 $M$ 1に近い値ではない。 $|M-1|$ が小さい場合（遷音速流）、次の非線形方程式が得られます^{[ 4 ]}

$2\alpha _{*}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}$

どこ $\alpha _{*}$ はランダウ微分の臨界値である $\alpha =(c^{4}/2\upsilon ^{3})(\partial ^{2}\upsilon /\partial p^{2})_{s}$ ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}および $\upsilon =1/\rho$ は比容積である。遷音速流は単一のパラメータによって完全に特徴付けられる。 $\alpha _{*}$ 多方性ガスの場合、その値は $\alpha _{*}=\alpha =(\gamma +1)/2$ ホドグラフ変換の下では、2次元の遷音速方程式はオイラー・トリコミ方程式になります。

不安定な流れ

非定常流に対する連続の式と（ポテンシャル流）運動量方程式は次のように与えられる。

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho \nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla \rho =0,\quad {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p=-{\frac {c^{2}}{\rho }}\nabla \rho =-\nabla h.$

（ポテンシャル流）運動量方程式の第一積分は次のように与えられる。

${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {v^{2}}{2}}+h=f(t),\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial h}{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial v^{2}}{\partial t}}+{\frac {df}{dt}}$

どこ $f(t)$ は任意の関数です。一般性を失うことなく、次のように設定できます。 $f(t)=0$ 以来 $\varphi$ は一意に定義されない。これらの式を組み合わせると、次の式が得られる。

${\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial v^{2}}{\partial t}}=c^{2}\nabla \cdot \mathbf {v} -\mathbf {v} \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} .$

ここで代入すると $\mathbf {v} =\nabla \varphi$ 結果として

$\varphi _{tt}+(\varphi _{x}^{2}+\varphi _{y}^{2}+\varphi _{z}^{2})_{t}=(c^{2}-\varphi _{x}^{2})\varphi _{xx}+(c^{2}-\varphi _{y}^{2})\varphi _{yy}+(c^{2}-\varphi _{z}^{2})\varphi _{zz}-2(\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}+\varphi _{y}\varphi _{z}\varphi _{yz}+\varphi _{z}\varphi _{x}\phi _{zx}).$

ほぼ平行な流れ:前述のように、ほぼ平行な流れについては、(再計算された時間を導入した後)次のように書くことができます。 $\tau =c_{\infty }t$ ）

${\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \tau ^{2}}}+2M{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial \tau }}=(1-M^{2}){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}$

一定のマッハ数の場合 $M$ 1に近い値ではない。 $|M-1|$ が小さい場合（遷音速流）、次の非線形方程式が得られます^{[ 4 ]}

${\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \tau ^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial \tau }}=-2\alpha _{*}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}.$

音波：音波では、速度の大きさが $v$ （またはマッハ数）は非常に小さいが、非定常項は方程式の他の主要項と同程度である。したがって、すべての二次項とそれ以上の項を無視し、同じ近似では、 $c$ は定数である（例えば、ポリトロープ気体の場合） $c^{2}=(\gamma -1)h_{0}$ ) ^{[ 8 ]}^{[ 4 ]}

${\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\varphi ,$

これは速度ポテンシャル $φ$ に関する線形波動方程式です。ここでも、速度ベクトル $v$ の振動部分は速度ポテンシャルと $v$ $= \nabla$ $φ$ の関係にあり、以前と同様に $Δ$ はラプラス演算子、 $c は$ 均質媒体における平均音速です。この近似では、圧力 $p$ と密度 $ρ$ の振動部分もそれぞれ個別に波動方程式を満たすことに注意してください。

適用範囲と制限

ポテンシャル流は、現実世界で遭遇する流れのすべての特性を網羅しているわけではありません。ポテンシャル流理論は、密接したプレート間の流れを除いて、粘性内部流には適用できません。^{[ 1 ]}リチャード・ファインマンは、ポテンシャル流はあまりにも非物理的であるため、その仮定に従う唯一の流体は「乾いた水」（ジョン・フォン・ノイマンの言葉を引用）であると考えました。^[⁹^]非圧縮性ポテンシャル流は、ダランベールのパラドックスなど、多くの誤った予測も行います。ダランベールのパラドックスとは、静止している無限流体中を移動する物体にかかる抗力はゼロであるというものです。^[¹⁰^]より正確には、ポテンシャル流は境界層を含む流れの挙動を説明できません。^[¹^]それにもかかわらず、ポテンシャル流を理解することは、流体力学の多くの分野で重要です。特に、自由渦や点源などの単純なポテンシャル流（基本流と呼ばれる）は、容易に解析解を得ることができます。これらの解を重ね合わせることで、さまざまな境界条件を満たすより複雑な流れを作成できます。これらの流れは、流体力学全体にわたる実際の流れと密接に対応しています。さらに、観測された流れと対応するポテンシャル流れとの間の（多くの場合わずかな）ずれを考慮すると、多くの貴重な洞察が得られます。ポテンシャル流れは、航空機設計などの分野で多くの応用が見られます。たとえば、計算流体力学では、境界層の外側のポテンシャル流れの解を境界層の内側の境界層方程式の解と結合する手法があります。境界層の影響がないということは、流れ場に変化を与えることなく任意の流線を固体境界に置き換えることができることを意味し、これは多くの空力設計アプローチで使用される手法です。別の手法としては、リアブチンスキー固体の使用が挙げられます。

二次元非圧縮性流れの解析

2次元のポテンシャル流れは、複素平面の変換を用いることで、等角写像を使って簡単に解析できます。ただし、例えば円柱周りの流体流れの古典的な解析のように、複素数を使う必要はありません。3次元のポテンシャル流れを複素数を使って解くことはできません。 ^[¹¹^]

基本的な考え方は、物理領域 $($ $x$ $,$ $y$ $)$ を変換領域 $($ $φ$ $,$ $ψ$ $)に写像する$ 正則関数(解析関数とも呼ばれる) または有理関数 $f を使用することです。x$ $、$ $y$ 、 $φ$ 、 $ψ$ はすべて実数値ですが、複素数を定義すると便利です。

${\begin{aligned}z&=x+iy\,,{\text{ and }}&w&=\varphi +i\psi \,.\end{aligned}}$

さて、マッピング $f$ を次のように書くと^{[ 11 ]}

${\begin{aligned}f(x+iy)&=\varphi +i\psi \,,{\text{ or }}&f(z)&=w\,.\end{aligned}}$

そして、 $fは正則関数または有理型関数であるため、$ コーシー・リーマン方程式^[¹¹^]を満たさなければならない。

${\begin{aligned}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}&={\frac {\partial \psi }{\partial y}}\,,&{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}&=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,.\end{aligned}}$

速度成分 $(u, v)は、それぞれ$ $(x, y)$ 方向において、 $f を$ $z$ に関して微分することにより直接得られる。すなわち^{[ 11 ]}

${\frac {df}{dz}}=u-iv$

したがって、速度場 $v = (u, v)は$ ^[¹¹^]によって指定されます。

${\begin{aligned}u&={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}},&v&={\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,.\end{aligned}}$

$φ$ と $ψは$ 両方ともラプラス方程式を満たす：^{[ 11 ]}

${\begin{aligned}\Delta \varphi &={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}=0\,,{\text{ and }}&\Delta \psi &={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}=0\,.\end{aligned}}$

したがって、 $φは$ 速度ポテンシャルとして識別でき、 $ψは$ 流れ関数と呼ばれます。^{[ 11 ]} $ψ$ が一定の線は流線として知られ、 $φ$ が一定の線は等ポテンシャル線として知られています（等ポテンシャル面を参照）。

流線と等電位線は互いに直交している。なぜなら^{[ 11 ]}

$\nabla \varphi \cdot \nabla \psi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}=0\,.$

$したがって、流れは一定のψ$ の線に沿って、一定の $φ$ の線に対して直角に発生する。^{[ 11 ]}

$Δ ψ = 0$ も満たされ、この関係は $\nabla \times v = 0$ と同等です。したがって、流れは非回転です。自動条件 $⁠ \partial 2 ψ / \partial x \partial y ⁠ = ⁠ \partial 2 ψ / \partial y \partial x ⁠$ から、非圧縮性制約 $\nabla \cdot v = 0$ が得られます。

二次元非圧縮性流れの例

$f$ には任意の微分可能な関数を使用できます。以下の例ではさまざまな初等関数を使用していますが、特殊関数も使用できます。自然対数などの多価関数も使用できますが、注意すべきは単一のリーマン面に限定することです。

べき乗則

w = Az nの等角写像の例

べき乗則

w = Az n

の等角写像の例を、べき乗

n

の異なる値について示す。図は

z

平面を示しており、一定のポテンシャル

φ

と流れ関数

ψ

の線が示されている。ただし、

w = φ + iψ

である。

以下のべき乗則共形写像が $z = x + iyから$ $w = φ + iψ$ に適用される場合：^{[ 12 ]}

$w=Az^{n}\,,$

次に、 $z を$ 極座標で $z = x + iy = re iθ$ と書くと、^{[ 12 ]}

$\varphi =Ar^{n}\cos n\theta \qquad {\text{and}}\qquad \psi =Ar^{n}\sin n\theta \,.$

右側の図には、 $n$ のいくつかの値の例が示されています。黒線は流れの境界であり、濃い青の線は流線、薄い青の線は等電位線です。興味深い $n$ のべき乗は次のとおりです。^{[ 12 ]}

$n = 1 / 2 :これは$ 半無限平板周りの流れに対応します。
$n = ⁠ 2 / 3 ⁠$ : 右角を流れる、
$n = 1$ : 一様流の自明なケース、
$n = 2$ : コーナーを通過する流れ、または停滞点の近くの流れ、
$n = -1$ : ソース二重線による流れ

定数 $A$ はスケーリングパラメータです。その絶対値 $| A |$ はスケールを決定し、引数 $arg(A)$ は回転を導入します (ゼロでない場合)。

$n = 1 の$ べき乗則：均一な流れ

$w = Az 1$ 、つまり $n = 1$ のべき乗則の場合、流線（すなわち $ψが一定の線）は$ $x$ 軸に平行な直線の系になります。これは、実数部と虚数部を用いて次のように表すと最も分かりやすくなります。

$f(x+iy)=A\,(x+iy)=Ax+iAy$

したがって、 $φ = Ax$ および $ψ = Ay$ $となる。この流れは、 x$ 軸に平行な一様流として解釈できる。

$n$ $= 2 の$ べき乗則

$n = 2$ の場合、 $w = Az 2$ $となり、特定のψ$ の値に対応する流線は、次の条件を満たす点です。

$\psi =Ar^{2}\sin 2\theta \,,$

これは直角双曲線の系である。これは、実数部と虚数部を用いて再び書き直すことで確認できる。sin $2 θ = 2 sin θ cos θ$ $であることに注意し、 sin θ = ⁠ y / r ⁠$ および $cos θ = ⁠ x / r ⁠$ と書き直すと、（簡略化すると）流線は次のように与えられることがわかる。

$\psi =2Axy\,.$

速度場は $\nablaφ$ で与えられ $、$

${\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\\[2px]{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+{\partial \psi \over \partial y}\\[2px]-{\partial \psi \over \partial x}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+2Ax\\[2px]-2Ay\end{pmatrix}}\,.$

流体力学において、原点付近の流場はよどみ点に対応します。原点の流体は静止していることに注意してください（これは、 $z$ $= 0$ で $f (z) = z 2$ を微分することによって得られます）。ψ $=$ $0 の$ 流線は特に興味深いものです。座標軸、つまり $x$ $= 0$ と $y$ $= 0に沿って 2 つ（または 4 つ）の分岐があります。x$ $軸$ を横切って流体が流れないため、 $x軸は固体境界として扱うことができます。したがって、$ $y < 0 の下半平面の流れを無視して、上半平面の流れに注目することができます。この解釈では、流れは水平な平板に衝突する垂直方向のジェットの流れです。また、(たとえば) x 、 y$ $< 0$ で $指定$ $さ$ $れる$ $領域$ を無視すれば、流れは 90 度の角への流れとして解釈することもできます。

$n$ $= 3 の$ べき乗則

$n = 3$ の場合、結果として生じる流れは、上記で検討した $n = 2の場合の六角形バージョンのようなものになります。流線は$ $ψ = 3 x 2 y - y 3$ で与えられ、この場合の流れは 60° の角への流れとして解釈できます。

$n = -1$ のべき乗則：二重項

$n = -1$ の場合、流線は次のように与えられる。

$\psi =-{\frac {A}{r}}\sin \theta .$

これは、実数部と虚数部という観点から解釈するとより簡単に理解できる。 ${\begin{aligned}\psi ={\frac {-Ay}{r^{2}}}&={\frac {-Ay}{x^{2}+y^{2}}}\,,\\x^{2}+y^{2}+{\frac {Ay}{\psi }}&=0\,,\\x^{2}+\left(y+{\frac {A}{2\psi }}\right)^{2}&=\left({\frac {A}{2\psi }}\right)^{2}\,.\end{aligned}}$

したがって、流線は原点で x 軸に接する円になります。上半平面の円は時計回りに流れ、下半平面の円は反時計回りに流れます。速度成分は $r -2$ に比例し、原点での値は無限大であることに注意してください。この流れのパターンは通常、ダブレットまたはダイポールと呼ばれ、無限大の強さを持つソースとシンクのペアが無限小の距離で離れている組み合わせとして解釈できます。速度場は次のように与えられます。

$(u,v)=\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}},-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)=\left(A{\frac {y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}},-A{\frac {2xy}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\right)\,.$

または極座標では：

$(u_{r},u_{\theta })=\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }},-{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)=\left(-{\frac {A}{r^{2}}}\cos \theta ,-{\frac {A}{r^{2}}}\sin \theta \right)\,.$

$n = -2$ のべき乗則：四重極

$n = -2$ の場合、流線は次のように与えられる。

$\psi =-{\frac {A}{r^{2}}}\sin 2\theta \,.$

これは四重極に関連する流れ場です。^{[ 13 ]}

ラインソースとシンク

線状の力源または力の吸収源 $Q$ （ $Q>0$ ソースと $Q<0$ シンクの場合）はポテンシャルによって与えられる

$w={\frac {Q}{2\pi }}\ln z$

どこ $Q$ 実際、これはソースまたはシンクを囲む表面を単位長さあたりに横切る体積流量です。極座標での速度場は次のようになります。

$u_{r}={\frac {Q}{2\pi r}},\quad u_{\theta }=0$

すなわち、純粋な放射状の流れ。

線状渦

強さの線状渦 $\Gamma$ は

$w={\frac {\Gamma }{2\pi i}}\ln z$

どこ $\Gamma$ は、渦を囲む任意の単純な閉じた輪郭の周りの循環です。極座標での速度場は次のようになります。

$u_{r}=0,\quad u_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}$

すなわち、純粋に方位角方向の流れである。

三次元非圧縮性流れの解析

三次元流れの場合、複素ポテンシャルは得られない。

点源と点吸収源

点源または点吸収源の速度ポテンシャル $Q$ （ $Q>0$ ソースと $Q<0$ 球面極座標におけるシンク(シンク)は次のように表される。

$\phi =-{\frac {Q}{4\pi r}}$

どこ $Q$ 実際には、これはソースまたはシンクを囲む閉曲面を横切る体積流量です。球面極座標における速度場は次のようになります。

$u_{r}={\frac {Q}{4\pi r^{2}}},\quad u_{\theta }=0,\quad u_{\phi }=0.$

注記

1 2 3 Batchelor (1973) pp. 378–380.
↑カービー、BJ (2010)、マイクロ・ナノスケール流体力学：マイクロ流体デバイスにおける輸送。ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-11903-0
1 2 3 Batchelor (1973) pp. 99–101.
1 2 3 4 5 Landau, LD; Lifshitz, EM (2013). "114".流体力学. Landau And Lifshitz: Course of Theoretical Physics. Vol. 6. Elsevier. p. 436.
↑ Anderson, JD (2002).現代の圧縮性流体. McGraw-Hill. pp. 358–359 . ISBN 0-07-242443-5。
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↑ファインマン、RP ;レイトン、RB ;サンズ、M. (1964)、『ファインマン物理学講義』第 2 巻、アディソン・ウェスリー、p. 40-3。第40章のタイトルは「乾いた水の流れ」です。
↑バチェラー（1973）404-405頁。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Batchelor (1973) pp. 106–108.
1 2 3 Batchelor (1973) pp. 409–413.
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参考文献

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ミルン＝トムソン、LM（1996）[1968]、『理論流体力学（第5 版）』、ドーバー、ISBN 0-486-68970-0

さらに読む

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外部リンク

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「等角写像ギャラリー」 . 3D-XplorMath . 2009年3月29日取得.— 等角写像を探索するためのJavaアプレット
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