バタフライ効果

カオス理論において、バタフライ効果とは、決定論的な非線形システムにおいて、初期条件に対する敏感な依存性を指し、ある状態におけるわずかな変化が、後の状態において大きな違いをもたらす可能性がある。

この用語は、数学者で気象学者のエドワード・ノートン・ローレンツの研究と密接に関連しています。彼は、バタフライ効果は、竜巻の詳細（正確な発生時刻、正確な経路）が、数週間前に遠くの蝶が羽ばたいたなどの小さな摂動によって影響を受ける例から導き出されたものであると指摘しました。ローレンツは当初、嵐を引き起こすカモメを使用していましたが、1972年までに蝶と竜巻を使用してより詩的なものにするよう説得されました。^{[ 1 ] [ 2 ]}彼は、一見些細な方法で丸められた初期条件データを使用して気象モデルを実行したときに、この効果を発見しました。彼は、丸められていない初期条件データを使用した実行の結果を気象モデルが再現できないことに気づきました。初期条件のごくわずかな変化が、著しく異なる結果を生み出したのです。^{[ 3 ]}

小さな原因が天候に大きな影響を与える可能性があるという考えは、フランスの数学者で物理学者のアンリ・ポアンカレによって以前から認められていました。アメリカの数学者で哲学者のノーバート・ウィーナーもこの理論に貢献しました。ローレンツの研究は、地球の大気の不安定性の概念を定量的な基盤の上に置き、不安定性の概念を、非線形ダイナミクスと決定論的カオスを起こしている多くのクラスの動的システムの特性と結びつけました。^{[ 4 ]}

バタフライ効果という概念は、その後、気象科学の分野以外でも、小さな変化がより大きな結果を引き起こすと考えられるあらゆる状況を表す広い意味で用いられるようになった。

ヨハン・ゴットリープ・フィヒテは『人間の使命』（1800年）の中で、 「砂粒を一つでもその場所から取り除けば、計り知れない全体全体にわたって何らかの変化が生じる」と述べている。

カオス理論と初期条件への敏感な依存性は、数多くの文献で説明されてきた。これは、1890年にポアンカレが三体問題を例に挙げたことからも明らかである。 ^{[ 5 ]}彼は後に、このような現象は気象学などでよく見られる可能性があると提唱した。^{[ 6 ]}

1898年、ジャック・アダマールは負の曲率を持つ空間における軌跡の一般的な発散に注目した。ピエール・デュエムは1908年にこのことの一般的な意義について議論した。^{[ 5 ]}

1950年、アラン・チューリングは次のように述べている。「ある瞬間に1つの電子が10億分の1センチメートルだけ変位すれば、1年後に人が雪崩で死亡するか、助かるかの違いになるかもしれない。」^{[ 7 ]}

一匹の蝶の死が、その後の歴史的出来事に広範囲にわたる波及効果をもたらすという考えは、レイ・ブラッドベリの1952年の短編小説「雷鳴」に最も早く登場した。この小説では、タイムトラベラーが過去に蝶をうっかり踏みつけてしまい、未来を変えてしまう。^{[ 8 ]}

しかし、より正確に言えば、小さな昆虫の羽が大気全体の風に影響を与えるという、ほぼ同じ考え方と表現が、ローレンツが出版する前年の1962年に出版され、世界的に大成功を収めた児童書に掲載されていた。

「…私​​たちの行動は、たとえほんのわずかであっても、あらゆるもの、あらゆる人に影響を与える。ほら、ハエが羽ばたくと、そよ風が世界中を巡るのよ。」――『純粋理性の王女』

1961年、ローレンツは数値計算モデルを使って、前回の実行の途中から天気予報をやり直すという近道を試みた。彼は、完全な精度である0.506127という値を入力する代わりに、出力された初期条件0.506を入力した。その結果、全く異なる天気予報が得られた。^{[ 9 ]}

ローレンツは次のように書いた。

ある時点で、何が起こっているのかをより詳しく調べるために、いくつかの計算を繰り返すことにしました。コンピュータを停止し、少し前に出力された数値の行を入力して、再び起動しました。廊下に出てコーヒーを飲み、約1時間後に戻ってきました。その間に、コンピュータは約2か月分の天候をシミュレーションしていました。出力された数値は、以前の数値とは全く異なっていました。真空管の劣化か、あるいは他のコンピュータの不具合をすぐに疑いました。これはよくあることでしたが、修理を依頼する前に、どこで間違いが起きたのかを突き止めることにしました。そうすれば修理が早く終わると思ったからです。突然の故障ではなく、新しい値は最初は以前の値と同じでしたが、すぐに最後の桁で1つ、そして数個違いになり、次に最後から2番目の桁、そしてその前の桁でも違いが出始めました。実際、その差は4日ごとにほぼ確実に2倍になり、2か月目には元の出力との類似点が全くなくなってしまいました。これで何が起こったのかが分かった。私が入力した数値は元の数値そのものではなく、元の印刷物に表示されていた丸められた値だったのだ。最初の丸め誤差が原因だった。その誤差は徐々に大きくなり、最終的には解を支配してしまった。

1963年、ローレンツはこの効果に関する理論的研究を、引用数の多い画期的な論文「決定論的非周期流」^{[ 3 ] [ 11 ]}で発表した（計算はRoyal McBee LGP-30コンピュータで行われた）。^{[ 12 ] [ 13 ]}彼は別のところで次のように述べている。

ある気象学者は、もしその理論が正しければ、カモメの羽ばたき一回で天候の流れが永遠に変わってしまうだろうと指摘した。この論争はまだ決着していないが、最新の証拠はカモメの主張を支持しているようだ。^{[ 13 ]}

同僚の提案を受けて、後の講演や論文では、ローレンツはより詩的な蝶という表現を用いた。ローレンツによれば、 1972年に開催された米国科学振興協会第139回会議で発表する講演のタイトルが思いつかなかったとき、フィリップ・メリリーズが「ブラジルの蝶の羽ばたきがテキサスの竜巻を引き起こすのか？」というタイトルを考案したという。^{[ 1 ]}この概念の表現において、羽ばたく蝶は一貫しているが、蝶の位置、結果、そして結果の場所は大きく異なっている。^{[ 14 ]}

このフレーズは、蝶の羽ばたきが大気に微細な変化をもたらし、それが最終的に竜巻の進路を変えたり、別の場所での竜巻の発生を遅らせたり、早めたり、あるいは防いだりする可能性があるという効果を指しています。蝶が竜巻の動力源になったり、直接竜巻を発生させたりするわけではありませんが、この用語は、蝶の羽ばたきが竜巻を引き起こす可能性があることを示唆しています。つまり、羽ばたきは相互に連結した複雑なネットワークの初期条件の一部であり、ある条件では竜巻が発生し、別の条件では発生しないということです。羽ばたきはシステムの初期条件に小さな変化をもたらし、それが連鎖的に大規模な事象の変化へとつながります（ドミノ効果と比較してください）。蝶が羽ばたかなかったら、システムの軌跡は大きく異なっていたかもしれません。しかし、蝶が羽ばたかない条件こそが竜巻につながる条件である可能性も同様に高いのです。

バタフライ効果は、天気などのシステムの初期条件を完全に正確に知ることができないため、予測にとって明らかな課題となります。この問題が、摂動された初期条件から複数の予測を行うアンサンブル予測の開発を促しました。 ^{[ 15 ]}

その後、一部の科学者は、気象システムは以前考えられていたほど初期条件に敏感ではないと主張した。^{[ 16 ]}デビッド・オレルは、天気予報の誤差の主な原因はモデル誤差であり、初期条件への感度は比較的小さな役割しか果たしていないと主張している。^{[ 17 ] [ 18 ]}スティーブン・ウルフラムも、ローレンツ方程式は非常に単純化されており、粘性効果を表す項が含まれていないことを指摘している。彼は、これらの項は小さな摂動を減衰させる傾向があると考えている。^{[ 19 ]}追加の散逸項と非線形性を含む一般化ローレンツモデルを使用した最近の研究では、カオスの発生にはより大きな加熱パラメータが必要であることが示唆されている。^{[ 20 ]}

「バタフライ効果」は、ローレンツが1963年の論文で述べたような（そして以前にポアンカレが観察したような）初期条件への敏感な依存性と同義であると説明されることが多いが、バタフライの比喩はもともと、彼が1969年に発表した研究[21]に^{適用されたもので、このアイデアをさらに一歩進めたものである。ローレンツは、}大気中の微小な動きがどのようにスケールアップしてより大きなシステムに影響を与えるかを示す数学モデルを提案した。彼は、そのモデルのシステムは将来の特定の時点までしか予測できず、それ以降は、初期条件の誤差を減らしても予測可能性は向上しないことを発見した（誤差がゼロでない限り）。これは、予測可能性の観点から、決定論的なシステムと非決定論的なシステムが「観測上区別できない」可能性があることを示した。この論文の最近の再検討では、量子物理学がもたらす課題に匹敵する、宇宙が決定論的であるという考えに対する重大な挑戦を提示したことが示唆されている。^{[ 22 ] [ 23 ]}

1993 年に出版された『カオスの本質』という本の中で、 ^{[ 24 ]}ローレンツはバタフライ効果を次のように定義しました。「動的システムの状態のわずかな変化が、その後の状態を、変化がなかった場合に続くはずだった状態と大きく異なるものにする現象」。この特徴は、^{[ 3 ]}の解の初期条件への敏感な依存性 (SDIC) と同じです。同じ本の中で、ローレンツはスキーの活動を適用し、時間とともに変化する経路の初期位置への感度を明らかにするための理想化されたスキーモデルを開発しました。SDIC の開始前に予測可能範囲が決定されます。^{[ 25 ]}

再帰性、すなわちシステムが初期状態に近似的に戻る性質と、初期状態に対する敏感な依存性は、カオス運動の2つの主要な要素である。これらの要素は、気象などの複雑なシステムを、ある一定の時間範囲（気象の場合は約1週間）以降予測することを困難にする実際的な結果をもたらす。なぜなら、初期の大気状態を完全に正確に測定することは不可能だからである。

動的システムは、任意のほど近い点が時間とともに指数関数的に離れていく場合、初期条件に対して敏感な依存性を示す。この定義は位相的なものではなく、本質的には計量的なものである。ローレンツ^{[ 24 ]}は敏感な依存性を次のように定義した。

ある時点でその軌道の近くを通過する他のほとんどの軌道が、時間の経過とともにその軌道の近くにとどまらない場合、その軌道（つまり解）を特徴づける性質。

Mがマップの状態空間である場合${\displaystyle f^{t}}$、 それから${\displaystyle f^{t}}$任意の x ∈ Mおよび任意の δ  > 0 に対して、距離d (. , .)を持つ y ∈ M が存在し、${\displaystyle 0<d(x,y)<\delta }$そしてそのような

${\displaystyle d(f^{\tau }(x),f^{\tau }(y))>\mathrm {e} ^{a\tau }\,d(x,y)}$

ある正のパラメータaに対して。定義では、近傍のすべての点が基点xから離れていることは要求されませんが、1 つの正のリアプノフ指数が必要です。正のリアプノフ指数に加えて、有界性はカオスシステムのもう 1 つの主要な特徴です。^{[ 26 ]}

初期条件に敏感に依存する最も単純な数学的枠組みは、ロジスティック写像の特定のパラメータ化によって提供される。

${\displaystyle x_{n+1}=4x_{n}(1-x_{n}),\quad 0\leq x_{0}\leq 1,}$

これは、ほとんどのカオスマップとは異なり、閉形式の解を持つ。

${\displaystyle x_{n}=\sin ^{2}(2^{n}\theta \pi )}$

ここで初期条件パラメータは${\displaystyle \theta }$は${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}(x_{0}^{1/2})}$合理的な${\displaystyle \theta }$有限回の反復後${\displaystyle x_{n}}$周期的な数列に写像される。しかしほとんどすべて${\displaystyle \theta }$は非合理的であり、非合理的な${\displaystyle \theta }$、${\displaystyle x_{n}}$決して繰り返されない、つまり非周期的である。この解方程式は、カオスの2つの重要な特徴、すなわち伸張と折り畳みを明確に示している。係数2nは^伸張の指数関数的増加を示し、初期条件への敏感な依存性（バタフライ効果）をもたらす一方、正弦関数の2乗は${\displaystyle x_{n}}$ [0,  1]の範囲内で折り畳まれる。

バタフライ効果は、文学（例えば『雷鳴の響き』）、映画やテレビ番組（例えば『ザ・シンプソンズ』）、ビデオゲーム（例えば『ライフ・イズ・ストレンジ』）、ウェブコミック（例えば『ホームスタック』）、音楽作品（例えばトラヴィス・スコットの「バタフライ・エフェクト」）、AI駆動の拡張言語モデルなど、さまざまなメディアで登場している。

• ジェームズ・グリーク著『カオス：新しい科学の創造』、ニューヨーク：バイキング、1987年、368ページ。
• デバニー、ロバート・L. (2003).カオス力学系入門. ウェストビュー・プレス. ISBN 0-670-81178-5。
• Hilborn, Robert C. (2004). "カモメ、蝶、バッタ：非線形力学におけるバタフライ効果の簡単な歴史". American Journal of Physics . 72 (4): 425–427 . Bibcode : 2004AmJPh..72..425H . doi : 10.1119/1.1636492 .
• レイ・ブラッドベリ著「雷鳴の音」『コリアーズ』1952年6月28日号

• 天気と混沌：エドワード・N・ローレンツの研究。ローレンツの研究を背景に「バタフライ効果」を解説する短編ドキュメンタリー。
• カオス・ハイパーテキストブック：カオスとフラクタルに関する入門書
• ディジケス、ピーター（2008年6月8日）。「蝶の意味。ポップカルチャーが『バタフライ効果』を愛する理由、そしてそれを完全に誤解している理由」。ボストン・グローブ。マサチューセッツ州ボストン。 2022年6月19日閲覧。
• ニューイングランド複雑系研究所 - 概念：バタフライ効果
• ChaosBook.org。カオスに関する上級大学院生向け教科書（フラクタルは含まない）
• ワイススタイン、エリック・W. 「バタフライ効果」 . MathWorld .