三体問題

物理学、特に古典力学において、三体問題とは、空間内で互いに周回する3つの質点の初期位置と速度（または運動量）を決定し、ニュートンの運動法則とニュートンの万有引力の法則を用いてその後の軌道を計算することである。^{[ 1 ]}

2体問題とは異なり、3体問題には一般的な閉形式の解析解はありません。^{[ 1 ]} 3つの重力体の運動を支配する微分方程式は積分可能ではなく、時間の関数として物体の位置の明示的な式を与えるように解くことはできません。ほとんどの初期条件では、3つの軌道体の力学系はカオス的であり、それらの運動を予測する唯一の方法は、数値的方法を使用してそれらを推定することです。

三体問題はn体問題の特殊なケースである。歴史的に、最初に詳細な研究を受けた特定の三体問題は、地球、月、太陽に関する問題であった。^{[ 2 ] [ 3 ]}現代の拡張された意味では、三体問題とは、古典力学または量子力学において3つの粒子の運動をモデル化するあらゆる問題である。

三体問題の数学的表現は、ベクトル位置に関するニュートン運動方程式を用いて表すことができる。${\displaystyle \ \mathbf {r} _{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})\ }$質量を持つ3つの重力相互作用する物体${\displaystyle m_{i}}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\mathbf {r} }}_{1}&=-Gm_{2}{\frac {\left(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\right)}{\ \left|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\right|^{3}}}-Gm_{3}{\frac {\left(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{3}\right)}{\ \left|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{3}\right|^{3}}}\ ,\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{2}&=-Gm_{3}{\frac {\left(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{3}\right)}{\ \left|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{3}\right|^{3}}}-Gm_{1}{\frac {\left(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\right)}{\ \left|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\right|^{3}}}\ ,\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{3}&=-Gm_{1}{\frac {\left(\mathbf {r} _{3}-\mathbf {r} _{1}\right)}{\ \left|\mathbf {r} _{3}-\mathbf {r} _{1}\right|^{3}}}-Gm_{2}{\frac {\left(\mathbf {r} _{3}-\mathbf {r} _{2}\right)}{\ \left|\mathbf {r} _{3}-\mathbf {r} _{2}\right|^{3}}}~.\end{aligned}}}$$どこ${\displaystyle \ G\ }$は重力定数です。

天文学者のユハン・フランクが述べているように、「これら3つの2階ベクトル微分方程式 は、18個の1階スカラー微分方程式に相当する。」 ^{[ 4 ]}ジューン・バロー＝グリーンが別の表現について指摘しているように、もし${\displaystyle P_{i}}$質量を持つ3つの粒子を表す${\displaystyle m_{i}}$距離${\displaystyle \ P_{i}P_{j}=r_{ij}\ ,}$座標${\displaystyle \ q_{ij}\ }$${\displaystyle \ (i,j=1,2,3)\ }$慣性座標系では、この問題は9つの2階微分方程式で記述される。^{[ 5 ]： 8}

この問題はハミルトン形式でも同様に表現でき、その場合は 位置の各成分に対応する18個の1階微分方程式で記述される。${\displaystyle \ \mathbf {r} _{i}\ }$そして勢い${\displaystyle \ \mathbf {p} _{i}\ }$: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \ \mathbf {r} _{i}}{\mathrm {d} \ t}}={\frac {\partial \ {\mathcal {H}}}{\partial \ \mathbf {p} _{i}}}\ ,\qquad {\frac {\mathrm {d} \ \mathbf {p} _{i}}{\mathrm {d} \ t}}=-{\frac {\partial \ {\mathcal {H}}}{\partial \ \mathbf {r} _{i}}}\ ,}$$ どこ$\displaystyle {\mathcal {H}}}$ハミルトニアンは次のとおりです。$${\displaystyle {\mathcal {H}}\ =\ -{\frac {Gm_{1}m_{2}}{\left|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\right|}}\ -\ {\frac {Gm_{2}m_{3}}{\left|\mathbf {r} _{3}-\mathbf {r} _{2}\right|}}\ -\ {\frac {Gm_{3}m_{1}}{\left|\mathbf {r} _{3}-\mathbf {r} _{1}\right|}}\ +\ {\frac {\left|\mathbf {p} _{1}\right|^{2}}{2m_{1}}}\ +\ {\frac {\left|\mathbf {p} _{2}\right|^{2}}{2m_{2}}}\ +\ {\frac {\left|\mathbf {p} _{3}\right|^{2}}{2m_{3}}}~.}$$

この場合、$\displaystyle {\mathcal {H}}}$これは、重力エネルギーと運動エネルギーを合わせた、システムの全エネルギーのことです。

制限三体問題

制限三体問題の定式化 では、バロー・グリーン^{[ 5 ]}の説明では^{、 11-14}

2つの物体は、互いの重力の影響を受けて、それぞれの重心の周りを円軌道で公転し、運動が既知である2体システムを形成する。3番目の物体（一般に小惑星と呼ばれる）は、他の2つの物体に対して質量がないと仮定され、2つの公転する物体によって定義される平面内を運動し、それらの重力の影響を受けるものの、それ自体は影響を与えない。^{[ 5 ]： 11}

バロー＝グリーンによれば、「問題は、第三の物体の運動を確定することである」^{[ 5 ]： 11}

制限三体問題は、完全な三体問題よりも理論的に解析しやすい。また、地球・月・太陽系をはじめとする多くの現実世界の問題を正確に記述できるため、実用的な関心も高い。これらの理由から、制限三体問題は三体問題の歴史的発展において重要な役割を果たしてきた。^{[ 7 ]}

制限付き3体問題は4次元の位相空間を持ちますが、保存量はヤコビ積分のみです。^{[ 8 ]}ハインリッヒ・ブルンスはこれ以上代数的な保存量はないことを示し、アンリ・ポアンカレは1889年にこれ以上解析的な保存量はないことを示しました。 ^{[ 8 ]}したがって、位相空間の次元が運動の保存量の数よりも大きいため、このシステムは厳密には解けません 。実際には、カオス的です。^{[ 8 ]}

ヤコビ積分の値によっては、より大きな質量の周りを最初に軌道運動していた物体が、二次的な質量に捕らえられたり、ラグランジュ点 L ₂または L ₃を介して放出されたりする可能性がある。^{[ 9 ]}

この問題の変形として、2 つの大きな物体が両方とも放射圧を及ぼす場合、古典的な 5 つのラグランジュ点に加えて、 4 つの追加の平衡点が生じます。^{[ 10 ]}

伝統的な意味での三体問題の重力問題は、実質的には1687年にアイザック・ニュートンが『自然哲学の数学的原理』を出版した時に遡ります。ニュートンは二体問題を解決した後、地球、月、太陽のような系に長期的な安定性があるかどうかを解明しようとしました。^{[ 29 ]}ルネサンス期の主要な天文学者であるニコラウス・コペルニクス、ティコ・ブラーエ、ヨハネス・ケプラーに導かれ、ニュートンは後の世代に三体問題の重力問題の始まりを紹介しました。^{[ 30 ]} 『プリンキピア』第1巻命題66とその22の系において、ニュートンは互いに摂動する重力の引力を受ける3つの質量のある物体の運動の問題の定義と研究に最初の一歩を踏み出しました。ニュートンは、第3巻の命題25から35において、命題66の結果を月理論、すなわち地球と太陽の重力の影響下での月の運動に適用する最初のステップを踏み出した。 ^{[ 31 ]}後に、この問題は他の惑星と地球および太陽との相互作用にも適用された。^{[ 30 ]}

物理的な問題は、最初にアメリゴ・ヴェスプッチによって、そして後にガリレオ・ガリレイやシモン・ステヴィンによって取り組まれましたが、彼らは自分たちの貢献を認識していませんでした。ガリレオはすべての物体の落下速度が均一かつ同じように変化することを確認しましたが、それを惑星の運動には適用しませんでした。^{[ 30 ]}一方、1499年にヴェスプッチは月の位置に関する知識を使用してブラジルでの自分の位置を特定しました。^{[ 32 ]}正確な解決策が航海、特に海上での経度の決定に適用されるため、1720年代には技術的に重要になりました。これは、ジョン・ハリソンの発明した航海用クロノメーターによって実際に解決されました。しかし、太陽や惑星が地球の周りの月の運動に摂動効果を与えるため、月理論の精度は低いものでした。

長年にわたりライバル関係にあったジャン・ル・ロン・ダランベールとアレクシス・クレローは、いずれもこの問題をある程度一般化して分析しようと試み、1747年にそれぞれ独自の分析を王立科学アカデミーに提出した。 ^{[ 33 ]} 1740年代のパリにおける彼らの研究に関連して、「三体問題」（フランス語：Problème des trois Corps ）という名称が一般的に使われるようになった。1761年にジャン・ル・ロン・ダランベールが発表した記述によると、この名称は1747年に初めて使用されたという。^{[ 34 ]}

19 世紀末から 20 世紀初頭にかけて、短距離の引力的な 2 体力を用いて三体問題を解決するアプローチが科学者によって開発され、PF ベダケ、H.-W. ハマー、U. ファン コルクに短距離三体問題を正規化するアイデアを提供し、21 世紀初頭に科学者に珍しい正規化群の極限サイクルの例を提供しました。 ^{[ 35 ]}ジョージ ウィリアム ヒルは、 19 世紀後半に金星と水星の運動を応用して制限問題に取り組みました。^{[ 36 ]}

20世紀初頭、 カール・サンドマンは、あらゆる時間値に対して有効な機能的な理論的証明を提供することで、この問題に数学的かつ体系的にアプローチしました。科学者が理論的に三体問題を解決したのはこれが初めてでした。しかし、このシステムの質的に十分な解決策がなく、科学者が実際に適用するには遅すぎたため、この解決策にはいくつかの未解決の問題が残されました。^{[ 37 ]} 1970年代には、 V. エフィモフによって、二体力から三体力への含意が発見され、これはエフィモフ効果と名付けられました。^{[ 38 ]}

2017年、 Shijun LiaoとXiaoming Liは、国家スーパーコンピュータを使用して、クリーン数値シミュレーション（CNS）と呼ばれるカオス系のための新しい数値シミュレーション戦略を適用し、質量が等しい3体システムの周期解の695のファミリーを得ることに成功した。^{[ 39 ]}

2019年、Breenらは数値積分器を用いて学習させた、三体問題のための高速ニューラルネットワークソルバーを発表した。 ^{[ 40 ]}

2023年9月には、この問題に対するいくつかの解決策が見つかったと報告されている。^{[ 25 ] [ 41 ]}

「三体問題」という用語は、より一般的な意味で、3つの物体の相互作用を含むあらゆる物理問題を指す場合にも用いられることがある。

古典力学における重力三体問題の量子力学的類似物はヘリウム原子であり、ヘリウム原子核と2つの電子が逆二乗クーロン相互作用に従って相互作用する。重力三体問題と同様に、ヘリウム原子も厳密には解くことができない。^{[ 42 ]}

しかし、古典力学と量子力学の両方において、逆二乗力以外にも、厳密な解析的三体解をもたらす非自明な相互作用法則が存在する。そのようなモデルの1つは、調和引力と斥力である逆三乗力の組み合わせから成り立っている。 ^{[ 43 ]}このモデルは、特異点を含む一連の非線形微分方程式に関連付けられているため、非自明であると考えられている（例えば、線形微分方程式の容易に解けるシステムにつながる調和相互作用のみの場合と比較して）。この2つの点で、クーロン相互作用を持つ（解けない）モデルに類似しており、その結果、ヘリウム原子のような物理システムを直感的に理解するためのツールとして提案されている。^{[ 43 ] [ 44 ]}

点渦モデルでは、 2 次元理想流体中の渦の運動は、 1 階の時間微分のみを含む運動方程式によって記述されます。つまり、ニュートン力学とは対照的に、相対位置によって決定されるのは加速度ではなく速度です。結果として、3 つの渦の問題は依然として積分可能ですが、^{[ 45 ]}カオス的挙動を得るには少なくとも 4 つの渦が必要です。^{[ 46 ]} 3 つの渦の速度場における受動トレーサー粒子の運動とニュートン力学の制限三体問題との間に類似点を見出すことができます。^{[ 47 ]}

重力三体問題も一般相対性理論を用いて研究されてきた。物理的には、ブラックホールの事象の地平線付近のような非常に強い重力場を持つ系では、相対論的扱いが必要となる。しかし、相対論的問題はニュートン力学の場合よりもかなり難しく、高度な数値計算手法が必要となる。完全な二体問題（つまり、質量の比が任意の場合）でさえ、一般相対性理論では厳密な解析解を持たない。^{[ 48 ]}

三体問題は、 n個の物体が重力などの物理力の下でどのように運動するかを記述するn体問題の特殊なケースです。これらの問題には、収束するべき級数の形で大域的な解析解があり、n = 3の場合はKarl F. Sundmanによって、 n > 3の場合はQiudong Wangによって証明されています(詳細はn体問題を参照)。しかし、Sundman 級数と Wang 級数は非常にゆっくりと収束するため、実用上役に立ちません。^{[ 49 ]}そのため、現在では数値積分または場合によっては古典的な三角級数近似の形で数値解析によって解を近似する必要があります( n体シミュレーションを参照)。原子、イオン、分子などの原子系は、量子n体問題の観点から扱うことができます。古典的な物理系の中で、n体問題は通常、銀河または銀河団を指します。恒星、惑星、衛星などの惑星系も、 n体システムとして扱うことができます。いくつかの応用例では、摂動論を用いることで都合よく処理できます。摂動論では、システムを2体問題に加えて、仮想的な摂動のない2体軌道からのずれを引き起こす追加の力として考えます。

• Chenciner, Alain (2007). "三体問題" . Scholarpedia . 2 (10): 2111. Bibcode : 2007SchpJ...2.2111C . doi : 10.4249/scholarpedia.2111 .
• 「三体問題」は、実はそれほど混沌としたものではないかもしれない、と新たな研究が示唆している（Live Science、 2024年10月22日）
• 物理学者たちが三体問題に対する驚くべき13もの新たな解を発見（サイエンス誌、 2013年3月8日）