区間（数学）

数学において、 実区間とは、2 つの固定された端点の間にある、隙間のない実数すべての集合です。各端点は実数、または正または負の無限大のいずれかであり、区間が無制限に拡張されることを示します。実区間には、どちらの端点も含まれないことも、一方の端点のみが含まれることも、両方の端点が含まれることもありますが、無限大の端点は含まれません。

たとえば、0、1、およびその間のすべての数からなる実数の集合は区間であり、[0, 1]と表記され、単位区間と呼ばれます。すべての正の実数の集合は区間であり、(0, ∞)と表記されます。すべての実数の集合は区間であり、(−∞, ∞)と表記されます。任意の単一の実数a は区間であり、[ a , a ]と表記されます。

区間は数学的解析のいたるところに存在します。たとえば、区間は連続性のイプシロン-デルタ定義に暗黙的に現れます。中間値定理は、連続関数による区間の像は区間であると主張します。実関数の積分は区間上で定義されます。などです。

区間演算は、入力データの不確実性 や丸め誤差が存在する場合でも、数値計算の結果の囲みを保証するために、実数ではなく区間を使用して計算を行います。

区間は、整数や有理数などの任意の全順序集合上でも同様に定義されます。整数区間の表記については、以下の特別なセクションで説明します。

区間とは、サブセット内の任意の 2 つの数値の間にあるすべての実数を含む 実数のサブセットです。

区間の端点は、実数として存在する場合、その上限と下限 である。 ^[1]下限が存在しない場合は、対応する端点は であると言われることが多い。同様に、上限が存在しない場合は、対応する端点は であると言われることが多い。${\displaystyle -\infty .}$${\displaystyle +\infty .}$

区間は、その端点と、各端点が区間に属しているかどうかによって完全に決定されます。これは、実数の最小上限特性の結果です。この特徴は、区間を次のように指定するために使用されます。以下に説明する 間隔表記法。

アン開区間は端点を含まず、括弧で囲まれて示される。^[2]例えば、01より小さいすべての実数の区間である]0, 1[と表記されることもある。下記参照）。開区間(0, +∞)0より大きい実数、つまり正の実数で構成される。したがって、開区間は次のいずれかの形式となる。 ${\displaystyle (0,1)=\{x\mid 0<x<1\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(a,b)&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},\\(-\infty ,b)&=\{x\in \mathbb {R} \mid x<b\},\\(a,+\infty )&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\},\\(-\infty ,+\infty )&=\mathbb {R} ,\end{aligned}}}$

ここで、 および は、 となる実数です。最初のケースの場合、結果として得られる区間は空集合であり、これは退化した区間です (以下を参照)。開区間は、実数上の 通常の位相に対して開集合となる区間です。${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a\leq b.}$${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle (a,a)=\varnothing ,}$

あ閉区間は、その端点をすべて含む区間であり、角括弧で示されます。^[2]たとえば、[0, 1]は0以上1以下をaとbが実数である次の形式のいずれかになります${\displaystyle a\leq b\colon }$

${\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}}$

閉区間とは、実数上の通常の位相に対して閉じた集合となる区間です。空集合とだけが、開いていて閉じている唯一の区間です。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

あ半開区間には2つの端点があり、そのうちの1つだけが含まれます。かにあるかによって、左開区間右開区間^[3]たとえば、(0, 1]は0より1以下を、[0, 1)は0以上1未満を。半開区間は次の形式になります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(a,b\right]&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\},\\\left[a,b\right)&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\},\\\left[a,+\infty \right)&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\},\\\left(-\infty ,b\right]&=\{x\in \mathbb {R} \mid x\leq b\}.\end{aligned}}}$

すべての閉区間は実数直線の閉集合ですが、閉集合である区間は必ずしも閉区間である必要はありません。たとえば、区間と は実数直線上の閉集合でもあります。区間と は開集合でも閉集合でもありません。閉辺の端点を無限大 ( (0,+∞]など) とすると、実数のサブセットですらないため、結果は区間にはなりません。代わりに、結果は拡張された実数直線上の区間と見なすことができ、これはたとえば 測度論で発生します。${\displaystyle (-\infty ,b]}$${\displaystyle [a,+\infty )}$${\displaystyle (a,b]}$${\displaystyle [a,b)}$

要約すると、実数の集合は、開区間、閉区間、半開区間の場合にのみ区間となる。^{[4] [5]}

あ退化区間は、単一の実数からなる集合[ a , a ]という形式の区間）である^[6]一部の著者は、この定義に空集合を含めている。空でも退化でもない実区間は、適切な区間、無限個の要素を持つ。

区間のすべての要素よりも小さい、または大きい実数が存在する場合、その区間は左有界、または右有界であると言われます。区間が左有界と右有界の両方である場合、その区間は有界であると言われ、それ以外の場合は無界であると言われます。片方の端だけで有界である区間は、半有界であると言われます。空集合は有界であり、すべての実数の集合は、両端で無界である唯一の区間です。有界区間は、一般に有限区間とも呼ばれます。

有界区間は、その直径（端点間の絶対差に等しい）が有限であるという意味で、有界集合です。直径は、区間の長さ、幅、尺度、範囲、またはサイズと呼ばれることがあります。無界区間のサイズは通常+∞と定義され、空区間のサイズは0と定義される（または未定義のままになる）ことがあります。

端点aとbを持つ有界区間の中心（中点）は( a + b ) /  2 であり、その半径は長さの半分| a  −  b |/2です。これらの概念は、空または有界でない区間では定義されません。

区間は、最小値（他のすべての要素よりも小さい要素）を含まない場合にのみ左開区間と言われ、最大値を含まない場合は右開区間と言われ、どちらも含まない場合は開区間と言われます。たとえば、区間[0, 1) = { x | 0 ≤ x < 1}は左閉区間かつ右開区間です。空集合およびすべての実数集合は開区間かつ閉区間ですが、非負の実数集合は右開区間だが左開区間ではない閉区間です。開区間は、実数直線の標準位相における開集合であり、開集合の 基底を形成します。

区間は、最小要素を持つか左無制限である場合は左閉じていると言われ、最大値を持つか右無制限である場合は右閉じていると言われます。左閉じかつ右閉じである場合は、単に閉じていると言われます。したがって、閉区間はその位相の閉集合と一致します。

区間Iの内部は、 Iに含まれる最大の開区間です。また、 Iの端点ではないI内の点の集合でもあります。Iの閉包は、 I を含む最小の閉区間です。これは、 Iに有限の端点を追加した 集合でもあります。

実数の任意の集合Xについて、 Xの区間囲みまたは区間スパンは、 X を含む唯一の区間であり、 X を含む他のどの区間も適切に含みません。

区間I が区間Jの部分区間であるとは、I が区間Jのサブセットである場合です。区間IがJの真部分区間であるとは、 I がJの真サブセットである場合です。

しかし、セグメントと間隔という用語には矛盾した用語があり、文献では本質的に正反対の2つの意味で使用されており、これらの用語が使用されるときに曖昧さが生じています。数学百科事典^[7]では、間隔（修飾子なし）は両方の端点を除外するもの（つまり開区間）であり、セグメントは両方の端点を含むもの（つまり閉区間）であると定義されていますが、ルーディンの解析原理^[8]では、 [ a、b ]形式の集合を間隔と呼び、( a、b )形式の集合をセグメントと呼んでいます。これらの用語は古い著作によく登場しますが、現代のテキストでは、端点が含まれるかどうかに関係なく、間隔（開、閉、または半開で修飾）という用語がますます好まれています。

aとb の間の数値の区間（aとbを含む）は、多くの場合[ a ,  b ]と表記されます。2 つの数値は区間の終点と呼ばれます。数値が小数点コンマで表記される国では、あいまいさを避けるために セミコロンが区切り文字として使用されることがあります。

端点の1つを集合から除外することを示すには、対応する角括弧を丸括弧に置き換えるか、逆にします。どちらの表記も国際標準 ISO 31-11で説明されています。したがって、集合構築表記では、

${\displaystyle {\begin{aligned}(a,b)={\mathopen {]}}a,b{\mathclose {[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},\\[5mu][a,b)={\mathopen {[}}a,b{\mathclose {[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\},\\[5mu](a,b]={\mathopen {]}}a,b{\mathclose {]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\},\\[5mu][a,b]={\mathopen {[}}a,b{\mathclose {]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}.\end{aligned}}}$

各区間( a ,  a )、[ a ,  a )、および( a ,  a ]は空集合を表し、[ a ,  a ]は単集合 { a }を表します。a > b の場合、通常、4 つの表記法すべてが空集合を表すために用いられます。

どちらの表記も、数学における括弧や角括弧の他の用法と重複することがあります。たとえば、表記( a , b )は、集合論における順序付きペア、解析幾何学や線型代数における点やベクトルの座標、または代数学における（場合によっては）複素数を表すためによく使用されます。そのため、ブルバキは開区間を表すために] a , b [という表記を導入しました。 ^[9]表記[ a , b ]も、特にコンピューターサイエンスにおいて、順序付きペアを表すために時々使用されます。

Yves Tilléなどの著者は、区間 ( a、  b )の補集合、つまりa以下かb以上のすべての実数の集合を表すために] a、b [を使用します。

いくつかの文脈では、区間は拡張実数、つまりすべての実数に−∞と+∞を加えた集合のサブセットとして定義されることがあります。

この解釈では、 [−∞,  b ]  、(−∞,  b ]  、[ a、+∞]  、[ a、+∞)の表記はすべて意味を持ち、区別されます。特に、(−∞, +∞) はすべての通常の実数の集合を表し、[−∞, +∞]は拡張された実数を表します。

通常の実数のコンテキストでも、その方向に境界がないことを示すために無限の端点を使用できます。たとえば、 (0, +∞) は正の実数の集合であり、 とも表記されます。コンテキストによって、上記の定義と用語の一部が影響を受けます。たとえば、区間(−∞, +∞)  = は 通常の実数の領域では閉じていますが、拡張実数の領域では閉じていません。 ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}.}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

aとbが整数の場合、表記法 ⟦ a, b ⟧、[ a .. b ]、{ a .. b }、または単にa .. bは、 aとbの間のすべての整数の区間を示すために使用されることがあります。表記法[ a .. b ]は、一部のプログラミング言語で使用されます。たとえば、 Pascalでは、サブ範囲型を正式に定義するために使用され、配列の有効なインデックスの下限と上限を指定するために最も頻繁に使用されます。

整数区間を解釈する別の方法は、省略記法を使用して列挙によって定義されたセットとして解釈することです。

有限の下限または上限を持つ整数区間には、常にその上限が含まれます。したがって、下限または上限の除外は、a .. b  − 1  、 a  + 1 .. b  、または a  + 1 .. b  − 1と書くことで明示的に表すことができます。 [ a .. b )や[ a .. b [などの代替括弧表記は、整数区間ではほとんど使用されません。^{[引用が必要]}

区間は、の連結された部分集合とまったく同じである。したがって、からまでの任意の連続関数による区間の像も区間となる。これは、中間値定理の 1 つの定式化である。 ${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

区間はの凸部分集合でもある。区間閉包はの凸包でもある。${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle X.}$

区間の閉包は区間とその有限端点の集合の和集合であり、したがって区間でもある。（後者は位相空間の連結部分集合の閉包は連結部分集合であるという事実からも導かれる。）言い換えれば、^[10]

${\displaystyle \operatorname {cl} (a,b)=\operatorname {cl} (a,b]=\operatorname {cl} [a,b)=\operatorname {cl} [a,b]=[a,b],}$

${\displaystyle \operatorname {cl} (a,+\infty )=\operatorname {cl} [a,+\infty )=[a,+\infty ),}$

${\displaystyle \operatorname {cl} (-\infty ,a)=\operatorname {cl} (-\infty ,a]=(-\infty ,a],}$

${\displaystyle \operatorname {cl} (-\infty ,+\infty )=(-\infty ,\infty ).}$

区間の集合の交差は常に区間である。2つの区間の和集合が区間となるのは、それらの交差が空でない場合、または一方の区間の開いた端点がもう一方の区間の閉じた端点である場合のみである。例えば、${\displaystyle (a,b)\cup [b,c]=(a,c].}$

を距離空間と見なすと、その開球は開有界区間 ( c  +  r ,  c  −  r )であり、その閉球は閉有界区間 [ c  +  r ,  c  −  r ]である。特に、実数直線上の距離位相と順序位相は一致しており、これは実数直線の標準位相である。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

区間 Iの任意の要素 x は、 Iを3 つの互いに交わらない区間I ₁、  I ₂、  I ₃に分割します 。それぞれ、 Iのx未満の 要素 、単一要素 、 xより大きい要素です 。 x がIの内部にある 場合のみ、部分I ₁とI _{3 は}両方とも空ではありません (内部も空ではありません) 。これは、三分法原理の区間バージョンです。 ${\displaystyle [x,x]=\{x\},}$

2項区間は、端点がと で、が整数である有界実区間です。コンテキストに応じて、いずれかの端点が区間に含まれる場合と含まれない場合があります。 ${\displaystyle {\tfrac {j}{2^{n}}}}$${\displaystyle {\tfrac {j+1}{2^{n}}},}$${\displaystyle j}$${\displaystyle n}$

二項間隔には次の特性があります。

• 2 項区間の長さは常に 2 の整数乗です。
• 各二項区間は、長さが 2 倍の 1 つの二項区間に正確に含まれます。
• 各二項間隔は、半分の長さの 2 つの二項間隔によって張られます。
• 2 つの開いた二項区間が重なり合う場合、そのうちの 1 つは他の区間のサブセットになります。

その結果、二項間隔は無限二分木の構造を反映した構造を持ちます。

二項間隔は、適応メッシュ改良、マルチグリッド法、ウェーブレット解析など、数値解析のいくつかの分野に関連しています。このような構造を表現する別の方法は、p進解析（ p = 2の場合）です。^[11]

開いた有限区間は、中心がで半径がである1 次元の開いた球体です。閉じた有限区間は対応する閉じた球体であり、区間の 2 つの端点は0 次元の球体を形成します。次元ユークリッド空間に一般化されると、球体は中心からの距離が半径よりも小さい点の集合になります。2 次元の場合、球体はディスクと呼ばれます。 ${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(b-a).}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle \{a,b\}}$${\displaystyle n}$

半空間を（明確に定義された中心や半径を持たない）一種の退化した球体としてとらえると、半空間は、その境界面が有限の終点に対応する（退化した）球体である、半分境界のある区間に類似したものとしてとらえることができます。

有限区間は、1 次元の超長方形(の内部) です。実座標空間 に一般化された軸に沿った超長方形 (またはボックス) は、有限区間の直積です。これは長方形です。これは直方体(「ボックス」とも呼ばれます) です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle n=3}$

開いた端点、閉じた端点、無限の端点の混在を許容する任意の区間の直積は、次元区間と呼ばれることもあります。^[要出典]${\displaystyle n}$${\displaystyle I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}}$${\displaystyle n}$

このような区間の面は、任意の非退化区間因子を有限の端点からなる退化区間に置き換えた結果である。の面は、それ自体とその面のすべての面から構成される。の角は、の単一の点からなる面である^[要出典]${\displaystyle I}$${\displaystyle I_{k}}$${\displaystyle I_{k}.}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

任意の有限区間は、半有界区間の交差として構成することができ（交差が空の場合は実数直線全体を意味する）、任意の数の半有界区間の交差は（空の場合もある）区間である。次元アフィン空間に一般化すると、（任意の方向の）半空間の交差は凸多面体（の内部）であり、2 次元の場合は凸多角形である。 ${\displaystyle n}$

開区間は、実数の連結した開集合です。一般に位相空間に一般化して、空でない連結した開集合はドメインと呼ばれます。

複素数の区間は、複素平面上の長方形または円形の領域として定義することができます。^[12]

区間の概念は、任意の部分順序集合、またはより一般的には任意の順序集合で定義することができる。順序集合 と2つの要素に対しても同様に区間を定義する^{[13] ：11、定義11}${\displaystyle (X,\lesssim )}$${\displaystyle a,b\in X,}$

${\displaystyle (a,b)=\{x\in X\mid a<x<b\},}$

${\displaystyle [a,b]=\{x\in X\mid a\lesssim x\lesssim b\},}$

${\displaystyle (a,b]=\{x\in X\mid a<x\lesssim b\},}$

${\displaystyle [a,b)=\{x\in X\mid a\lesssim x<b\},}$

${\displaystyle (a,\infty )=\{x\in X\mid a<x\},}$

${\displaystyle [a,\infty )=\{x\in X\mid a\lesssim x\},}$

${\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\in X\mid x<b\},}$

${\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\in X\mid x\lesssim b\},}$

${\displaystyle (-\infty ,\infty )=X,}$

ここで、実際には、単一のエンドポイントまたはエンドポイントのない区間は、より大きな順序付きセット内の2つのエンドポイントを持つ区間と同じである。 ${\displaystyle x<y}$${\displaystyle x\lesssim y\not \lesssim x.}$

${\displaystyle {\bar {X}}=X\sqcup \{-\infty ,\infty \}}$

${\displaystyle -\infty <x<\infty \qquad (\forall x\in X)}$

は、新しい最小要素と最大要素（存在する場合も含む）を追加することによって定義されます。これらの要素は のサブセットです。の場合、は拡張された実数直線として考えることができます。 ${\displaystyle X.}$${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}}$

順序付き集合の部分集合が（順序）凸集合であるとは、任意の および任意のに対して が成り立つことを意味する。実数直線の場合とは異なり、順序付き集合の凸集合は区間である必要はない。例えば、有理数の全順序付き集合では、集合 ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle (X,\lesssim )}$${\displaystyle x,y\in A}$${\displaystyle x\lesssim z\lesssim y}$${\displaystyle z\in A.}$ ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,\leq )}$

${\displaystyle \mathbb {Q} =\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\}}$

は凸ではあるが、区間ではない。なぜなら、2の平方根は存在しないからである。${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

を順序付き集合とし、をとする。に含まれるの凸集合は包含に関してposet を形成する。この poset の最大元はの凸成分と呼ばれる^{[14] ： 定義 5.1  [15] ： 727}ツォルンの補題により、に含まれるの任意の凸集合はの何らかの凸成分に含まれるが、そのような成分は一意である必要はない。全順序集合では、そのような成分は常に一意である。つまり、全順序集合 の部分集合の凸成分は分割 を形成する。 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$${\displaystyle Y\subseteq X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y,}$

実区間の特徴付けの一般化は以下の通りである。線型連続体の空でない部分集合に対して、以下の条件は同値である。^{[16] : 153、定理24.1}${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (L,\leq ),}$

• セットは間隔です。${\displaystyle I}$
• この集合は順序凸です。${\displaystyle I}$
• 集合 は、順序位相が備わっているとき連結部分集合です。${\displaystyle I}$${\displaystyle L}$

格子のサブセット の場合、次の条件は同等です。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L,}$

• この集合は部分格子であり、(順序)凸集合である。${\displaystyle S}$
• 理想 とフィルターがあり、${\displaystyle I\subseteq L}$ ${\displaystyle F\subseteq L}$${\displaystyle S=I\cap F.}$

全てのティコノフ空間は、閉区間の積空間に埋め込むことができる。実際、濃度を基底とする全てのティコノフ空間は、区間のコピーの積に埋め込むことができる。 ^{[17] : p. 83、定理 2.3.23}${\displaystyle [0,1].}$ ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle [0,1]^{\kappa }}$${\displaystyle \kappa }$

凸集合と凸成分の概念は、順序位相を備えたすべての全順序集合が完全に正規集合であること^[15]、さらには単調正規集合であること^[14]の証明に使用されます。

区間は平面の点に関連付けることができるため、区間の領域は平面の領域に関連付けることができます。一般に、数学における区間は、実数とそれ自身の直積から取られた順序付きペア( x、y )に対応し、多くの場合、 y > xと想定されます。数学的構造の目的上、この制限は破棄され、^[18] y − x < 0の「逆区間」が許可されます。次に、すべての区間[ x、y ]の集合は、とそれ自身の直和によって形成される位相リングと同一視できます。ここで、加算と乗算は成分ごとに定義されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

直和代数には、{[ x ,0]: x∈R }と{[0, y ]: y∈R }という2つのイデアルがあります。この代数の単位元は、凝縮された区間[1,1]です。区間[ x , y ]がイデアルのいずれにも含まれない場合、逆元[1/ x ,1/ y ]を持ちます。通常の位相が備わっているため、区間代数は位相環を形成します。この環の単位群は、軸、この場合はイデアルによって決定される4つの象限で構成されます。この群の 単位元成分は象限Iです。${\displaystyle (\mathbb {R} \oplus \mathbb {R} ,+,\times )}$

あらゆる区間は、その中点を中心とする対称区間とみなすことができる。1956年にM・ウォーマスが発表した再構成では、「バランスの取れた区間」の軸[ x , − x ]が、点に縮約される区間の軸[ x , x ]とともに使用されている。直和 の代わりに、区間環はM・ウォーマスとDH・レーマーによって双曲数と同一視されている^[19]。${\displaystyle R\oplus R,}$

${\displaystyle z={\tfrac {1}{2}}(x+y)+{\tfrac {1}{2}}(x-y)j,}$

どこ${\displaystyle j^{2}=1.}$

この平面の線型写像は環同型に相当し、極分解などの通常の複素演算と類似した乗法構造を平面に提供します。

• 円弧（幾何学）
• 不平等
• 区間グラフ
• 区間有限要素
• 間隔（統計）
• 線分
• 区間の分割
• 単位間隔

• T. Sunaga、「区間代数の理論と数値解析への応用」、Wayback Machineに 2012-03-09にアーカイブ、応用幾何学研究会 (RAAG) 紀要、幾何学文献福井会。東京、日本、1958 年、第 2 巻、pp. 29–46 (547-564)。2009 年、日本応用数学会誌、第 26 巻、第 2-3 号、pp. 126–143 に再掲載。

• Brian Hayes 著「A Lucid Interval : American Scientist の記事で紹介されています。」
• 区間計算ウェブサイト 2006-03-02 にWayback Machineでアーカイブ
• 区間計算研究センター 2007-02-03 にWayback Machineでアーカイブ
• 間隔表記法 (George Beck、Wolfram Demonstrations Project)。
• Weisstein、Eric W.「間隔」。MathWorld。