離散時間と連続時間

数理力学では、離散時間と連続時間という 2 つの代替フレームワークがあり、その中で時間の経過に伴って変化する変数がモデル化されます。

離散時間では、変数の値は、別個の「時点」で発生するか、または、ゼロ以外の各時間領域 (「期間」) を通じて変化しないものとみなされます。つまり、時間は離散変数と見なされます。したがって、時間変数以外の変数は、時間がある期間から次の期間に移るにつれて、ある値から別の値にジャンプします。この時間の見方は、しばらくの間 10:37 という固定値を示し、その後 10:38 という新しい固定値にジャンプするデジタル時計に対応します。このフレームワークでは、対象となる各変数は、各期間で 1 回測定されます。任意の 2 つの期間間の測定回数は有限です。測定は通常、変数「時間」の 連続した整数値で行われます。

離散信号または離散時間信号は、一連の量で構成される時系列です。

連続時間信号とは異なり、離散時間信号は連続引数の関数ではありません。ただし、連続時間信号からサンプリングすることによって取得されている可能性があります。離散時間信号が等間隔の時間でシーケンスをサンプリングすることによって取得される場合、それに関連付けられたサンプリング レートがあります。

離散時間信号にはいくつかの起源があるが、通常は2つのグループに分類できる。^[1]

• 一定または可変レートでアナログ信号の値を取得する。このプロセスはサンプリングと呼ばれます。^[2]
• 特定の経済指標の週次ピーク値など、本質的に離散的な時間プロセスを観察することによって。

対照的に、連続時間では、変数は極めて短い時間だけ特定の値を持つものとみなされます。任意の 2 つの時点の間には、他の時点が無限に存在します。変数「時間」は、実数直線全体にわたって変動しますが、状況によっては、非負の実数などの実数直線の一部に変動することもあります。したがって、時間は連続変数としてみなされます。

連続信号または連続時間信号は、変化する量（信号）であり、その定義域は多くの場合時間であり、連続体（たとえば、実数の連結された区間）です。つまり、関数の定義域は非可算集合です。関数自体は連続している必要はありません。対照的に、離散時間信号は自然数のような可算な定義域を持ちます。

連続した振幅と時間の信号は、連続時間信号またはアナログ信号として知られています。この信号は、あらゆる瞬間に何らかの値を持ちます。温度、圧力、音などの物理量に比例して得られる電気信号は、通常、連続信号です。連続信号の他の例としては、正弦波、余弦波、三角波などがあります。

信号は、有限である場合もそうでない場合もあるドメイン上で定義され、ドメインから信号の値への関数マッピングが存在します。実数の密度の法則と関連した時間変数の連続性は、信号値が任意の時点で見つかることを意味します。

無限持続信号の典型的な例は次のとおりです。

${\displaystyle f(t)=\sin(t),\quad t\in \mathbb {R} }$

上記の信号の有限期間対応物は次のようになります。

${\displaystyle f(t)=\sin(t),\quad t\in [-\pi ,\pi ]}$その他。${\displaystyle f(t)=0}$

有限（または無限）持続信号の値は有限である場合もそうでない場合もあります。たとえば、

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{t}},\quad t\in [0,1]}$そうでなければ、${\displaystyle f(t)=0}$

は有限持続時間信号ですが、 に対しては無限大の値を取ります。 ${\displaystyle t=0\,}$

多くの分野では、連続信号は常に有限の値を持たなければならないというのが慣例であり、これは物理信号の場合にはより理にかなっています。

いくつかの目的においては、信号が任意の有限区間にわたって積分可能である限り、無限の特異点は許容されます (たとえば、信号は無限大では積分可能ではないが、無限大では積分可能であるなど)。 ${\displaystyle t^{-1}}$${\displaystyle t^{-2}}$

アナログ信号は本質的に連続的です。デジタル信号処理で使用される離散時間信号は、連続信号の サンプリングと量子化によって得られます。

連続信号は、時間以外の独立変数に対して定義することもできます。もう 1 つの非常に一般的な独立変数は空間であり、 2 つの空間次元が使用される画像処理で特に役立ちます。

離散時間は、経験的 測定が関係する場合によく使用されます。通常、変数を連続的に測定することしかできないためです。たとえば、経済活動は実際には継続的に発生していますが、経済が完全に停止する瞬間はないため、経済活動を離散的にしか測定できません。このため、たとえば国内総生産に関する公開データは、四半期ごとの値のシーケンスを示します。

このような変数を他の変数や自身の過去の値に基づいて経験的に説明しようとする場合、変数に観測が行われた期間を示す添え字を添えたインデックスを付ける時系列法または回帰法を使用します。たとえば、y _{t は}指定されていない期間tに観測された所得の値を指し、y _{3 は}3 番目の期間に観測された所得の値を指すなどです。

さらに、研究者が離散時間で観察されたものを説明する理論を開発しようとする場合、時系列または回帰モデルの開発を容易にするために、理論自体が離散時間で表現されることがよくあります。

一方、連続時間で理論モデルを構築する方が数学的に扱いやすい場合が多く、物理学などの分野では正確な記述に連続時間の使用が必要になることがよくあります。連続時間のコンテキストでは、不特定の時点における変数yの値はy ( t ) と表記されますが、意味が明らかな場合は単にyと表記されます。

離散時間では差分方程式（再帰関係とも呼ばれる）が利用される。ロジスティック写像またはロジスティック方程式 として知られる例は、

${\displaystyle x_{t+1}=rx_{t}(1-x_{t}),}$

ここで、r は2 から 4 までの範囲のパラメータであり、x は0 から 1 までの範囲の変数であり、期間t の値が次の期間t +1 の値に非線形に影響します。たとえば、およびの場合、t =1 のときは となり、t =2 のときは となります。 ${\displaystyle r=4}$${\displaystyle x_{1}=1/3}$${\displaystyle x_{2}=4(1/3)(2/3)=8/9}$${\displaystyle x_{3}=4(8/9)(1/9)=32/81}$

別の例では、製品に対する ゼロでない過剰需要に応じて価格 Pを調整することを次のようにモデル化します。

${\displaystyle P_{t+1}=P_{t}+\delta \cdot f(P_{t},...)}$

ここで、は 1 以下の正の調整速度パラメータであり、 は超過需要関数です。 ${\displaystyle \delta}$${\displaystyle f}$

連続時間では微分方程式が用いられる。例えば、製品に対するゼロでない過剰需要に応じて 価格Pを調整することは、連続時間では次のようにモデル化できる。

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=\lambda \cdot f(P,...)}$

ここで、左辺は時間に関する価格の一次導関数（つまり、価格の変化率）であり、は任意の正の有限数を取ることができる調整速度パラメータであり、再び過剰需要関数です。 ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle f}$

離散時間で測定された変数は、ステップ関数としてプロットできます。ステップ関数では、各期間に他のすべての期間と同じ長さの水平軸上の領域が与えられ、測定された変数は、その期間の領域全体で一定の高さとしてプロットされます。このグラフィカル手法では、グラフは一連の水平ステップとして表示されます。または、各期間を通常は水平軸上の整数値にある独立した時点と見なし、測定された変数をその時間軸ポイントより上の高さとしてプロットすることもできます。この手法では、グラフはドットの集合として表示されます。

連続時間で測定された変数の値は、時間領域が実軸全体、または少なくとも実軸の一部の接続部分であると考えられるため、 連続関数としてプロットされます。

• ガーシェンフェルド、ニール A. (1999)。数学的モデリングの性質。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-57095-6。

• Wagner, Thomas Charles Gordon (1959)。解析的過渡現象。Wiley。