多次元システム

数理システム理論において、多次元システム（mDシステム）とは、時間などの1つの独立変数だけでなく、複数の独立変数が存在するシステムのことである。

m次元システム ( m > 1)の因数分解や安定性といった重要な問題は、近年、多くの研究者や実務家の関心を集めている。その理由は、因数分解と安定性は 1 次元システムの因数分解と安定性の単純な拡張ではないからである。例えば、m次元 ( m > 1)多項式の環には代数学の基本定理が存在しない。    

多次元システムまたはm -Dシステムは、生物医学、X線技術、衛星通信など多くの用途を持つ現代のデジタル画像処理に必要な数学的背景です。^{[ 1 ] [ 2 ]}また、 m -Dシステムと偏微分方程式（PDE） を組み合わせた研究もあります。

状態空間モデルとは、すべての「事前」入力値の影響を状態ベクトルに反映させたシステムの表現方法である。m次元システムの場合、各次元には、その次元に関連する事前入力の影響を表す状態ベクトルが存在する。ある点におけるこれらの次元の状態ベクトルの集合が、その点における全体の状態ベクトルとなる。

空間不変かつ因果的な一様な離散空間線形二次元（2d）システムを考えます。これは、次のように行列ベクトル形式で表すことができます。^{[ 3 ] [ 4 ]}

各点における入力ベクトルを表す${\displaystyle (i,j)}$による${\displaystyle u(i,j)}$出力ベクトルは${\displaystyle y(i,j)}$水平状態ベクトル${\displaystyle R(i,j)}$そして垂直状態ベクトルは${\displaystyle S(i,j)}$すると、各点における演算は次のように定義される。

${\displaystyle {\begin{aligned}R(i+1,j)&=A_{1}R(i,j)+A_{2}S(i,j)+B_{1}u(i,j)\\S(i,j+1)&=A_{3}R(i,j)+A_{4}S(i,j)+B_{2}u(i,j)\\y(i,j)&=C_{1}R(i,j)+C_{2}S(i,j)+Du(i,j)\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},B_{1},B_{2},C_{1},C_{2}}$そして${\displaystyle D}$これらは適切な次元の行列である。

これらの式は、行列を組み合わせることでより簡潔に記述できます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}R(i+1,j)\\S(i,j+1)\\y(i,j)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&B_{1}\\A_{3}&A_{4}&B_{2}\\C_{1}&C_{2}&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}R(i,j)\\S(i,j)\\u(i,j)\end{bmatrix}}}$

入力ベクトルが与えられた場合${\displaystyle u(i,j)}$各点および初期状態値において、各出力ベクトルの値は、上記の操作を再帰的に実行することによって計算できる。

離散線形二次元システムは、多くの場合、次のような偏差分方程式で表されます。 ${\displaystyle \sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}y(i-p,j-q)=\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}x(i-p,j-q)}$

どこ${\displaystyle x(i,j)}$入力と${\displaystyle y(i,j)}$出力はポイントで${\displaystyle (i,j)}$そして${\displaystyle a_{p,q}}$そして${\displaystyle b_{p,q}}$定数係数です。

システムの伝達関数を導出するために、上記の式の両辺に2次元Z変換を適用する。

${\displaystyle \sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}Y(z_{1},z_{2})=\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}X(z_{1},z_{2})}$

転置すると伝達関数が得られる${\displaystyle T(z_{1},z_{2})}$:

${\displaystyle T(z_{1},z_{2})={Y(z_{1},z_{2}) \over X(z_{1},z_{2})}={\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q} \over \sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}}}$

したがって、任意の入力値のパターンが与えられた場合、そのパターンの2次元Z変換が計算され、伝達関数と乗算されます。${\displaystyle T(z_{1},z_{2})}$システム出力のZ変換を生成する。

画像処理やその他の分子動力学計算タスクは、特定のフィルタリング特性を持つ伝達関数で記述されることが多いが、より直接的な計算のために状態空間形式に変換することが望ましい。このような変換は、伝達関数の実現と呼ばれる。

入出力関係が以下のように記述される、2次元線形空間不変因果システムを考える。

${\displaystyle Y(z_{1},z_{2})={\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q} \over \sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}}X(z_{1},z_{2})}$

2つのケースを個別に検討する。1) 下の総和が定数1である 場合 2) 上の総和が定数である場合${\displaystyle k}$ケース1は「全ゼロ」または「有限インパルス応答」ケースと呼ばれることが多く、ケース2は「全極」または「無限インパルス応答」ケースと呼ばれます。一般的な状況は、これら2つのケースをカスケード接続することで実現できます。ケース1の解法はケース2よりもかなり単純で、以下に示します。