リャプノフ安定性

動的システムを記述する微分方程式または差分方程式の解については、さまざまな種類の安定性について議論することができます。最も重要なタイプは、平衡点近傍の解の安定性に関するものです。これは、アレクサンドル・リャプノフの理論によって議論することができます。簡単に言うと、平衡点近傍から始まる解が${\displaystyle x_{e}}$近くに滞在する${\displaystyle x_{e}}$永遠に、それから${\displaystyle x_{e}}$はリアプノフ安定です。より強く、${\displaystyle x_{e}}$はリアプノフ安定であり、${\displaystyle x_{e}}$収束する${\displaystyle x_{e}}$、 それから${\displaystyle x_{e}}$は漸近的に安定であると言われます（漸近解析を参照）。指数安定性の概念は、最小減衰率、つまり解が収束する速さの推定値を保証します。リアプノフ安定性の考え方は、無限次元多様体に拡張することができ、そこでは構造安定性として知られており、微分方程式の異なるが「近い」解の挙動に関係します。入力状態安定性（ISS）は、入力のあるシステムにリアプノフの概念を適用します。

リャプノフ安定性は、1892年にハリコフ大学（現在のVNカラジン・ハリコフ国立大学）で「運動の安定性の一般問題」という論文を提出したロシアの数学者アレクサンドル・ミハイロヴィチ・リャプノフにちなんで名付けられました。 ^{[ 1 ]} A.M.リャプノフは、広く普及していた平衡点の周りで線形化する局所的方法と比較して、非線形力学系の安定性の解析に対するグローバルなアプローチを開発することに成功した先駆者でした。彼の研究は、最初はロシア語で発表され、その後フランス語に翻訳されましたが、長年にわたりほとんど注目されませんでした。A.M.リャプノフによって確立された運動の安定性の数学理論は、科学技術へのその応用の時代をかなり先取りしていました。さらに、リャプノフ自身はこの分野に応用せず、彼自身の関心は天文学的応用を伴う回転流体質量の安定性にありました。安定性の分野で研究を続ける博士課程の学生は彼にはおらず、1918年に自殺したため、彼自身の運命はひどく悲劇的だった。 ^{[ 2 ]}数十年間、安定性の理論は完全に忘れ去られていた。1930年代にカザン航空研究所で働いていたロシア・ソビエトの数学者で機械学者のニコライ・グルイェヴィチ・チェタエフは、 AM リャプノフが行った発見の驚くべき大きさを最初に認識した人物だった。NG チェタエフ^{[ 3 ]}による理論への貢献は非常に重要で、多くの数学者、物理学者、エンジニアは彼をリャプノフの直接の後継者であり、安定性の数学理論の創造と発展における次の科学的後継者とみなしている。

冷戦期には、いわゆる「リアプノフの第2の方法」（下記参照）が、他の方法では扱えない強い非線形性を含む航空宇宙誘導システムの安定性に適用できることがわかったため、この分野への関心が急激に高まりました。当時から現在に至るまで、制御およびシステム分野の文献に多数の論文が発表されています。^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}最近では、リアプノフ指数（安定性を議論するリアプノフの第1の方法に関連） の概念が、カオス理論に関連して広く関心を集めています。リアプノフ安定性法は、交通割り当て問題における平衡解を見つけるためにも適用されています。^{[ 9 ]}

自律的な非線形力学系を考える

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x(t)),\;\;\;\;x(0)=x_{0}}$、

どこ${\displaystyle x(t)\in {\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$システム状態ベクトルを表す。${\displaystyle {\mathcal {D}}}$原点を含む開集合、${\displaystyle f:{\mathcal {D}}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$は連続ベクトル場である${\displaystyle {\mathcal {D}}}$。 仮定する${\displaystyle f}$平衡点を持つ${\displaystyle x_{e}}$、 となることによって${\displaystyle f(x_{e})=0}$。 それから：

1. この平衡は、すべてのに対して、リアプノフ安定であると言われる。${\displaystyle \epsilon >0}$存在する${\displaystyle \delta >0}$もし${\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta }$そして、すべての${\displaystyle t\geq 0}$我々は持っています${\displaystyle \|x(t)-x_{e}\|<\epsilon }$。
2. 上記のシステムの平衡点は、リアプノフ安定であり、かつ、${\displaystyle \delta >0}$もし${\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta }$それから${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }\|x(t)-x_{e}\|=0}$。
3. 上記のシステムの平衡点は、漸近的に安定であり、かつ、${\displaystyle \alpha >0,~\beta >0,~\delta >0}$もし${\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta }$それから${\displaystyle \|x(t)-x_{e}\|\leq \alpha \|x(0)-x_{e}\|e^{-\beta t}}$すべての人々のために${\displaystyle t\geq 0}$。

概念的に、上記の用語の意味は以下のとおりです。

1. 平衡点のリアプノフ安定性とは、平衡点に「十分近い」（ある距離以内）から始まる解が${\displaystyle \delta }$そこから）永遠に「十分近い」状態を保つ（距離の範囲内で）${\displaystyle \epsilon }$（そこから）。これは、いかなる場合でも真でなければならないことに注意してください。${\displaystyle \epsilon }$それは、人が選びたいと思うものかもしれない。
2. 漸近安定性とは、十分に近い初期解は、十分に近い状態を維持するだけでなく、最終的には平衡状態に収束することを意味する。
3. 指数安定性とは、解が収束するだけでなく、特定の既知の収束率よりも速く、あるいは少なくとも同程度の速さで収束することを意味する。${\displaystyle \alpha \|x(0)-x_{e}\|e^{-\beta t}}$。

軌跡${\displaystyle \phi (t)}$（地域的に）魅力的である場合

${\displaystyle \|x(t)-\phi (t)\|\rightarrow 0}$ として ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$

すべての軌道について${\displaystyle x(t)}$十分に近いところから始まる${\displaystyle \phi (t)}$そして、この特性がすべての軌道に当てはまるならば、世界的に魅力的なものとなる。

つまり、xがその安定多様体の内部に属する場合、xが吸引的かつ安定であれば、xは漸近的に安定である。（吸引性が漸近的安定性を意味しないことを示す例もある。^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}このような例は、ホモクリニック接続を用いて容易に作成できる。）

平衡状態における力学系のヤコビ行列が安定性行列である場合（すなわち、各固有値の実部が厳密に負である場合）、その平衡状態は漸近的に安定である。

離散時間システムの定義は、連続時間システムの定義とほぼ同じです。以下では、より数学的な文献でよく用いられる別の表現を用いて、この定義を示します。

( X , d )を距離空間とし、f  : X → X を連続関数とする。X内の点x は、以下の条件を満たす場合にリアプノフ安定であると言われる。

${\displaystyle \forall \epsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall y\in X\ \left[d(x,y)<\delta \Rightarrow \forall n\in \mathbf {N} \ d\left(f^{n}(x),f^{n}(y)\right)<\epsilon \right].}$

xが漸近的に安定であるとは、 x がその安定集合の内部に属する場合、すなわち、

${\displaystyle \exists \delta >0\left[d(x,y)<\delta \Rightarrow \lim _{n\to \infty }d\left(f^{n}(x),f^{n}(y)\right)=0\right].}$

線形状態空間モデル

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}=A{\textbf {x}}}$、

どこ${\displaystyle A}$は有限行列であり、の固有値のすべての実部が であれば漸近安定（実際には指数安定）である。${\displaystyle A}$負の値をとる。この条件は、次の条件と同等である。^{[ 13 ]}

${\displaystyle A^{\textsf {T}}M+MA}$

ある正定値行列に対して負定値である。${\displaystyle M=M^{\textsf {T}}}$（関連するリアプノフ関数は${\displaystyle V(x)=x^{\textsf {T}}Mx}$）

それに対応して、時間離散線形状態空間モデル

${\displaystyle {\textbf {x}}_{t+1}=A{\textbf {x}}_{t}}$

は、すべての固有値が${\displaystyle A}$絶対値が1より小さい。

この後者の条件は、スイッチドシステムに一般化されています。線形スイッチド離散時間システム（行列の集合によって支配される）${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$）

${\displaystyle {{\textbf {x}}_{t+1}}=A_{i_{t}}{\textbf {x}}_{t},\quad A_{i_{t}}\in \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$

集合の結合スペクトル半径が漸近的に安定（実際には指数的に安定）である場合${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$1より小さい。

入力（または制御）を持つシステムは次の形式をとる。

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}={\textbf {f}}({\textbf {x}},{\textbf {u}})}$

ここで、（一般的に時間依存の）入力 u(t) は、制御、外部入力、 刺激、外乱、または強制関数と見なすことができます。 ^{[ 14 ]}は、リアプノフ安定な平衡点の近傍では、小さな外乱の下でもシステムが安定していることが示されています。より大きな入力外乱の場合、このようなシステムの研究は制御理論の対象であり、制御工学に応用されています。入力のあるシステムの場合、システムの安定性に対する入力の影響を定量化する必要があります。この分析の主な 2 つのアプローチは、BIBO 安定性（線形システムの場合）と入力状態安定性（ISS）（非線形システムの場合）です。

この例は、リアプノフ関数を用いてリアプノフ安定性を証明できるが、漸近安定性を示すことはできないシステムを示しています。摩擦項を変更したファンデルポール振動子方程式に基づく以下の式を考えてみましょう。

${\displaystyle {\ddot {y}}+y-\varepsilon \left({\frac {{\dot {y}}^{3}}{3}}-{\dot {y}}\right)=0.}$

させて

${\displaystyle x_{1}=y,x_{2}={\dot {y}}}$

対応するシステムは

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {x}}_{1}=x_{2},\\&{\dot {x}}_{2}=-x_{1}+\varepsilon \left({\frac {x_{2}^{3}}{3}}-{x_{2}}\right).\end{aligned}}}$

起源${\displaystyle x_{1}=0,\ x_{2}=0}$は唯一の平衡点です。リアプノフ関数として を選択しましょう。

${\displaystyle V={\frac {1}{2}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)}$

これは明らかに正定値である。その導関数は

${\displaystyle {\dot {V}}=x_{1}{\dot {x}}_{1}+x_{2}{\dot {x}}_{2}=x_{1}x_{2}-x_{1}x_{2}+\varepsilon {\frac {x_{2}^{4}}{3}}-\varepsilon {x_{2}^{2}}=\varepsilon {\frac {x_{2}^{4}}{3}}-\varepsilon {x_{2}^{2}}.}$

パラメータが${\displaystyle \varepsilon }$が正の場合、安定性は漸近的である。${\displaystyle x_{2}^{2}<3.}$しかしこれは間違っている。${\displaystyle {\dot {V}}}$依存しない${\displaystyle x_{1}}$、そして、あらゆる場所で0になります。${\displaystyle x_{1}}$軸。平衡点はリアプノフ安定であるが、漸近安定ではない。

リアプノフ安定性基準で要求される負定値導関数を持つリアプノフ関数を見つけるのは難しいかもしれないが、関数は${\displaystyle V}$と${\displaystyle {\dot {V}}}$つまり、負の半定値のみが利用可能である可能性がある。自律システムでは、不変集合定理を適用して漸近安定性を証明できるが、この定理はダイナミクスが時間の関数である場合は適用できない。^{[ 15 ]}

その代わりに、バルバラットの補題は、これらの非自律システムのリアプノフ型解析を可能にする。この補題は、以下の観察に基づいている。f が時間のみの関数であると仮定する。

• 持つ${\displaystyle {\dot {f}}(t)\to 0}$それは、${\displaystyle f(t)}$制限があります${\displaystyle t\to \infty }$。 例えば、${\displaystyle f(t)=\sin(\ln(t)),\;t>0}$。
• 持つ${\displaystyle f(t)}$限界に近づくにつれて${\displaystyle t\to \infty }$それは、${\displaystyle {\dot {f}}(t)\to 0}$。 例えば、${\displaystyle f(t)=\sin \left(t^{2}\right)/t,\;t>0}$。
• 持つ${\displaystyle f(t)}$下限があり減少している（${\displaystyle {\dot {f}}\leq 0}$) は、それが極限に収束することを意味します。しかし、それが${\displaystyle {\dot {f}}\to 0}$として${\displaystyle t\to \infty }$。

バルバラットの補題によれば、 ${\displaystyle f(t)}$有限の限界を持つ${\displaystyle t\to \infty }$そしてもし${\displaystyle {\dot {f}}}$一様連続である（一様連続の十分条件は${\displaystyle {\ddot {f}}}$（有界である）ならば${\displaystyle {\dot {f}}(t)\to 0}$として${\displaystyle t\to \infty }$[ ^{16 ]​}

別のバージョンは次のとおりです。${\displaystyle p\in [1,\infty )}$そして${\displaystyle q\in (1,\infty ]}$。 もし${\displaystyle f\in L^{p}(0,\infty )}$そして${\displaystyle {\dot {f}}\in L^{q}(0,\infty )}$、 それから${\displaystyle f(t)\to 0}$として${\displaystyle t\to \infty .}$^{[ 17 ]}

以下の形式では、補題はベクトル値の場合にも成り立つ。${\displaystyle f(t)}$バナッハ空間に値をとる一様連続関数である。${\displaystyle E}$そして、${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{t}f(\tau )\mathrm {d} \tau }$有限の限界を持つ${\displaystyle t\to \infty }$。 それから${\displaystyle f(t)\to 0}$として${\displaystyle t\to \infty }$[ ^{18 ]​}

以下の例は、SlotineとLiの著書『応用非線形制御』の125ページから引用したものです。^{[ 15 ]}

非自律システムを考える

${\displaystyle {\dot {e}}=-e+g\cdot w(t)}$

${\displaystyle {\dot {g}}=-e\cdot w(t).}$

これは入力が非自律的であるため${\displaystyle w}$は時間の関数である。入力は${\displaystyle w(t)}$有界である。

取${\displaystyle V=e^{2}+g^{2}}$与える${\displaystyle {\dot {V}}=-2e^{2}\leq 0.}$

これは、${\displaystyle V(t)\leq V(0)}$最初の２つの条件により、したがって${\displaystyle e}$そして${\displaystyle g}$は有界である。しかし、収束については何も述べていない。${\displaystyle e}$ゼロに、${\displaystyle {\dot {V}}}$負の半正定値のみ (注)${\displaystyle g}$ゼロ以外になる可能性がある場合${\displaystyle {\dot {V}}}$=0) であり、ダイナミクスは非自律的です。

バルバラットの補題を用いると：

${\displaystyle {\ddot {V}}=-4e(-e+g\cdot w)}$。

これは有界です。${\displaystyle e}$、${\displaystyle g}$そして${\displaystyle w}$は有界である。これは、${\displaystyle {\dot {V}}\to 0}$として${\displaystyle t\to \infty }$そしてそれゆえに${\displaystyle e\to 0}$これは誤差が収束することを証明している。

補助微分方程式を考える${\displaystyle {\dot {v}}(t)=-q(t)\beta (v(t))+e(t),}$すべての人々のために${\displaystyle t\geq t_{0}}$州と共に${\displaystyle v\in \mathbb {R} }$初期条件${\displaystyle v(t_{0})\geq 0}$. 機能${\displaystyle \beta \in C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$厳密に増加し、${\displaystyle \beta (0)=0}$機能${\displaystyle e}$そして${\displaystyle q}$に属する${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} _{+})}$事前微分方程式の重要性は、比較原理によって幅広いクラスのリアプノフ不等式をそれに結びつけることができる点にある。

すべての${\displaystyle t\geq t_{0}}$、${\displaystyle q(t)>0}$そして${\displaystyle \int _{t_{0}}^{\infty }q(t)\,dt=\infty }$そして${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {e(t)}{q(t)}}=L\in \mathbb {R} _{+}\cup \{\infty \}.}$事前特性は、摂動が有界であることを示しています。${\displaystyle L>0}$有限であり、消滅する摂動である場合${\displaystyle L=0}$。

各初期条件について${\displaystyle v(t_{0})\geq 0}$そして各ソリューション${\displaystyle v(t)}$最大存在間隔${\displaystyle [t_{0},\omega )}$、 どこ${\displaystyle t_{0}<\omega \leq \infty }$、以下の性質が成り立つ：^{[ 19 ]}

1. ${\displaystyle v(t)\geq 0}$すべての人々のために${\displaystyle t\in [t_{0},\omega )}$。
2. もし${\displaystyle L\in [0,\infty )}$そして${\displaystyle L\in \mathrm {Range} \{\beta \}}$、 それから ${\displaystyle \omega =\infty }$、${\displaystyle \|v\|_{\infty }<\infty }$そして${\displaystyle \lim _{t\to \infty }v(t)=\beta ^{-1}(L)}$。
3. もし${\displaystyle L=\infty }$、${\displaystyle v}$は一様にゼロではなく、${\displaystyle \lim _{s\to \infty }\beta (s)=\infty }$、 それから ${\displaystyle \omega =\infty }$そして${\displaystyle \lim _{t\to \infty }v(t)=\infty }$。

先行研究の結果は、さまざまな文脈で文献でも得られています。例えば、 ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]}を参照してください 。

システムについて考えてみましょう 。${\displaystyle {\dot {\zeta }}(t)=g{\big (}t,\zeta (t){\big )};t\geq t_{0},}$${\displaystyle \zeta (t_{0})=\zeta _{0},}$どこ${\displaystyle (t_{0},\zeta _{0})\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{m}}$、 解決${\displaystyle \zeta (t)}$で${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$（${\displaystyle m}$は厳密に正の整数であり、かつ明確に定義された関数である。${\displaystyle g:[t_{0},\infty )\times \mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$と${\displaystyle g(t,0)=0}$、${\displaystyle \forall t\geq t_{0}}$。

システムがカラテオドリ条件を満たすと仮定します。つまり、マッピングは${\displaystyle t\mapsto g(t,\zeta )}$局所的に本質的に有界である${\displaystyle [t_{0},\infty )\times \mathbb {R} ^{m}}$は、すべての${\displaystyle \zeta \in \mathbb {R} ^{m}}$そしてほぼすべての${\displaystyle t\geq t_{0}}$このシステムは、最大区間上で定義される局所的に絶対連続な局所カラテオドリ解を許容する。${\displaystyle [t_{0},\omega )}$。

定数が存在すると仮定する${\displaystyle \alpha >0}$、${\displaystyle \beta >0}$と${\displaystyle \alpha <\beta }$局所的に絶対連続な関数 ${\displaystyle r_{1}\in C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$、${\displaystyle r_{2}\in C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$そしてルベーグ可測関数${\displaystyle h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$以下の条件を満たすこと：

（私） ${\displaystyle (-1)^{\alpha }=-1}$そして${\displaystyle (-1)^{\beta }}$明確に定義されています（${\displaystyle (-1)^{\beta }}$解の正値が保証されている場合は、明確に定義される必要がある。

（ii）${\displaystyle r_{1}(t)>0}$、${\displaystyle r_{2}(t)>0}$、${\displaystyle \forall t>t_{0}}$そして${\displaystyle h(t)>0}$ほぼすべての${\displaystyle t>t_{0}}$。

（iii）${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {r_{2}(t)}{r_{1}(t)}}=\infty }$（これから、摂動は無限大であることが導かれる。これは後述するリアプノフの不等式によって示される。）

（iv） ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }\Lambda (t)=0}$、 どこ ${\displaystyle \Lambda (t):={\frac {r_{1}(t){\dot {r}}_{2}(t)-{\dot {r}}_{1}(t)r_{2}(t)}{h(t)(r_{1}(t))^{\frac {2\beta -\alpha -1}{\beta -\alpha }}(r_{2}(t))^{\frac {\beta -2\alpha +1}{\beta -\alpha }}}},{\mbox{ for almost all }}t>t_{0}.}$

（v）各解について${\displaystyle \zeta (t)}$最大存在間隔を持つシステムの${\displaystyle [t_{0},\omega )}$正の定数が存在する${\displaystyle \delta }$、${\displaystyle \sigma }$、${\displaystyle c_{1}}$、${\displaystyle c_{2}}$、そしてリアプノフ関数 ${\displaystyle V\in C^{1}(\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{m},\mathbb {R} _{+})}$満足（ほぼすべての${\displaystyle t\in (t_{0},\omega )}$満たす${\displaystyle V(t,\zeta (t))<\delta }$):

${\displaystyle c_{1}|\kappa |^{\sigma }\leq V(t,\kappa )\leq c_{2}|\kappa |^{\sigma },\forall t\in \mathbb {R} ,\forall \kappa \in \mathbb {R} ^{m},}$

${\displaystyle \nabla V(t,\zeta (t))\cdot g(t,\zeta (t))\leq {\big (}-r_{1}(t)V^{\alpha }(t,\zeta (t))+r_{2}(t)V^{\beta }(t,\zeta (t)){\big )}h(t).}$

そして、存在する${\displaystyle c_{3}>0}$各${\displaystyle |\zeta _{0}|<c_{3}}$1つ取得${\displaystyle \omega =\infty }$そして${\displaystyle |\zeta (t)|\leq {\sqrt[{\sigma }]{\frac {c_{2}}{c_{1}}}}|\zeta _{0}|,\forall t\geq t_{0},}$となることによって${\displaystyle \zeta =0}$は一様に安定である。さらに、原点は漸近的に安定である。 ^{[ 25 ]}

アリー効果を伴う時間変動人口増加モデルは、 ^{[ 25 ]で表すことができる。}

${\displaystyle {\dot {N}}(t)=R(t)N(t)\left({\frac {N(t)}{A(t)}}-1\right)\left(1-{\frac {N(t)}{K(t)}}\right),}$

どこ${\displaystyle t\geq t_{0}}$、 州${\displaystyle N(t)\in \mathbb {R} }$ルベーグ可測関数 ${\displaystyle R:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$と${\displaystyle R(t)>0}$ほぼすべての${\displaystyle t>t_{0}}$、局所的に絶対連続な関数 ${\displaystyle A\in C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$そして ${\displaystyle K\in C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$となることによって ${\displaystyle A(t)>0}$そして${\displaystyle K(t)>0}$すべての人々のために${\displaystyle t>t_{0}}$。

等式の右辺は局所的にリプシッツ連続である。${\displaystyle N}$したがって、最大存在区間を持つ一意の解が存在する。${\displaystyle [t_{0},\omega )}$起源${\displaystyle N=0}$は平衡点です。私たちは、${\displaystyle N=0}$一様安定かつ漸近安定な絶滅平衡。この目的のために、以下を仮定する。

${\displaystyle \int _{t_{0}}^{\infty }R(t)dt=\infty ,}$${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }\left({\frac {1}{A(t)}}+{\frac {1}{K(t)}}\right)=\infty ,}$ そして ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }\left({\frac {{\dot {A}}(t)(K(t))^{2}+{\dot {K}}(t)(A(t))^{2}}{R(t)A(t)K(t)(A(t)+K(t))}}\right)=0.}$

させて${\displaystyle V=N^{2}}$不等式は満たされる${\displaystyle c_{1}=1}$、${\displaystyle c_{2}=1}$そして${\displaystyle \sigma =2}$簡単な計算で

${\displaystyle {\dot {V}}(t)\leq 2R(t)\left(-V(t)+\left({\frac {1}{A(t)}}+{\frac {1}{K(t)}}\right)V^{\frac {3}{2}}(t)\right){\mbox{ for almost all }}t>t_{0},}$

これは、不等式の形をとる。${\displaystyle \alpha =1}$、${\displaystyle \beta ={\frac {3}{2}}}$、${\displaystyle h(t)=2R(t)}$、${\displaystyle r_{1}(t)=1}$、${\displaystyle r_{2}(t)={\frac {1}{A(t)}}+{\frac {1}{K(t)}}}$ そして${\displaystyle \delta }$は任意です${\displaystyle (t_{0},\infty )}$さらに、関数を簡単に示すことができる。${\displaystyle \Lambda (t)}$ゼロになる${\displaystyle t}$無限大になる。したがって、すべての条件が満たされ、したがって存在する。${\displaystyle c_{3}>0}$各${\displaystyle |N_{0}|<c_{3}}$1つ取得${\displaystyle \omega =\infty }$そして

${\displaystyle |N(t)|\leq {\sqrt[{\sigma }]{\frac {c_{2}}{c_{1}}}}|N_{0}|,\forall t\geq t_{0},}$

そしてそれゆえに${\displaystyle N=0}$は均一に安定している。実際、${\displaystyle N=0}$一様安定であり、漸近安定である。

• リアプノフ関数
• ラサールの不変性原理
• リアプノフ・マルキン定理
• マルクス・ヤマベ予想
• ラブラ点軌道
• ハートマン・グロブマンの定理
• 摂動論
• 安定性理論

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