確率微分方程式

確率微分方程式( SDE ) は、1 つ以上の項が確率過程である微分方程式であり、^[¹^]解もまた確率過程となります。SDE は純粋数学の多くの分野で応用されており、上場企業の株価^[²^] 、ランダム成長モデル^[³^] 、熱ゆらぎを受ける物理システムなど、確率モデルのさまざまな挙動をモデル化するために使用されます。

SDE にはランダム微分があり、最も基本的なケースでは、ブラウン運動またはより一般的にはセミマルチンゲールの分布微分として計算されるランダム白色ノイズです。ただし、レヴィ過程^[⁴^]のようなジャンプ過程やジャンプのあるセミマルチンゲールなど、他のタイプのランダムな挙動も可能です。

確率微分方程式は一般に微分方程式でもランダム微分方程式でもない。ランダム微分方程式は確率微分方程式と共役である。確率微分方程式は微分多様体にも拡張できる。^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

背景

確率微分方程式は、 1905 年にアルバート・アインシュタインとマリアン・スモルコフスキーが行った研究におけるブラウン運動の理論に端を発するが、ブラウン運動をモデル化した最初の人物はルイ・バシュリエであり、彼は現在バシュリエモデルとして知られる確率微分方程式の非常に初期の例を示した。これらの初期の例の中には、フランスの物理学者ランジュバンにちなんでランジュバン方程式とも呼ばれる線形確率微分方程式があり、ランダムな力を受ける調和振動子の運動を記述する。確率微分方程式の数学理論は、1940 年代に日本の数学者伊藤清志の画期的な研究によって発展し、彼は確率積分の概念を導入し、非線形確率微分方程式の研究を開始した。別のアプローチは後にロシアの物理学者ストラトノビッチによって提案され、通常の微積分に似た計算体系につながった。

用語

文献で最も一般的な SDE の形式は、右辺がホワイトノイズ変数に依存する項によって摂動された常微分方程式です。ほとんどの場合、SDE は対応する確率差分方程式の連続時間極限として理解されます。SDE のこの理解は曖昧であり、対応する積分の適切な数学的定義によって補完する必要があります。^[¹^]^[³^]このような数学的定義は、1940 年代に伊藤清によって初めて提案され、今日では伊藤計算として知られているものにつながりました。別の構成は後にロシアの物理学者ストラトノビッチによって提案され、ストラトノビッチ積分として知られているものにつながりました。伊藤積分とストラトノビッチ積分は関連していますが、異なる対象であり、どちらを選択するかは考慮されるアプリケーションによって異なります。伊藤計算は、非予測性または因果性の概念に基づいています。これは、変数が時間であるアプリケーションでは自然なものです。一方、ストラトノビッチ微積分は、通常の微積分に似た規則を持ち、多様体上のランダム運動などの幾何学的問題を扱う際に自然となる固有の幾何学的性質を持っていますが、例えば部分多様体上の SDE を最適に近似しようとする場合など、多様体上のランダム運動を伊藤 SDE でモデル化することが可能であり、場合によっては好ましいこともあります。^[⁶^]^[⁹^]

確率微分方程式（SDE）に関する別の見方として、微分同相写像の確率的流れがあります。この理解は明確であり、確率差分方程式の連続時間極限のストラトノビッチ版に対応します。SDEに関連付けられているのは、確率分布関数の時間発展を記述する方程式であるスモルコフスキー方程式またはフォッカー・プランク方程式です。フォッカー・プランク発展を微分形式の時間発展に一般化したものには、確率発展演算子の概念があります。

物理科学では、「ランジュバンSDE」という用語の使用に曖昧さがあります。ランジュバンSDEはより一般的な形式をとることもありますが、この用語は通常、勾配フローベクトル場を持つ狭いクラスのSDEを指します。このクラスのSDEは、パリシ・スーラス確率的量子化手順^{[ 10 ]}の出発点であり、超対称量子力学と密接に関連するN=2超対称モデルにつながるため、特に人気があります。しかし、物理的な観点から見ると、このクラスのSDEは、位相的超対称性の自発的崩壊を示さないため、あまり興味深いものではありません。つまり、（過減衰）ランジュバンSDEは決してカオス的ではありません。

確率微分方程式

ブラウン運動またはウィーナー過程は、数学的に非常に複雑であることが発見されました。ウィーナー過程はほぼ確実にどこでも微分不可能であるため、^{[ 1 ]}^{[ 3 ]}独自の計算規則が必要です。確率微分法には、伊藤確率微分法とストラトノビッチ確率微分法の 2 つの主要なバージョンがあります。それぞれに長所と短所があり、初心者は、特定の状況でどちらがもう一方よりも適切であるかを混乱することがよくあります。ガイドラインが存在し (例: Øksendal、2003) ^{[ 3 ]}、便利なことに、伊藤 SDE を同等のストラトノビッチ SDE に簡単に変換し、また元に戻すことができます。^{[ 1 ]}^{[ 3 ]}それでも、SDE を最初に記述するときにどの計算を使用するかに注意する必要があります。

数値解

確率微分方程式を解くための数値解法^{[ 11 ]}には、オイラー・丸山法、ミルスタイン法、ルンゲ・クッタ法（SDE）、ローゼンブロック法^{[ 12 ]}、および反復確率積分の異なる表現に基づく方法^{[ 13 ]}^{[ 14 ]が含まれる。}

物理学における使用

In physics, SDEs have wide applicability ranging from molecular dynamics to neurodynamics and to the dynamics of astrophysical objects. More specifically, SDEs describe all dynamical systems, in which quantum effects are either unimportant or can be taken into account as perturbations. SDEs can be viewed as a generalization of the dynamical systems theory to models with noise. This is an important generalization because real systems cannot be completely isolated from their environments and for this reason always experience external stochastic influence.

There are standard techniques for transforming higher-order equations into several coupled first-order equations by introducing new unknowns. Therefore, the following is the most general class of SDEs:

{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=F(x(t))+\sum _{\alpha =1}^{n}g_{\alpha }(x(t))\xi ^{\alpha }(t),\,

where $x\in X$ is the position in the system in its phase (or state) space, $X$ , assumed to be a differentiable manifold, the $F\in TX$ is a flow vector field representing deterministic law of evolution, and $g_{\alpha }\in TX$ is a set of vector fields that define the coupling of the system to Gaussian white noise, $\xi ^{\alpha }$ . If $X$ is a linear space and $g$ are constants, the system is said to be subject to additive noise, otherwise it is said to be subject to multiplicative noise. For additive noise, the Itô and Stratonovich forms of the SDE generate the same solution, and it is not important which definition is used to solve the SDE. For multiplicative noise SDEs the Itô and Stratonovich forms of the SDE are different, and care should be used in mapping between them.^[15]

For a fixed configuration of noise, SDE has a unique solution differentiable with respect to the initial condition.^[16] Nontriviality of stochastic case shows up when one tries to average various objects of interest over noise configurations. In this sense, an SDE is not a uniquely defined entity when noise is multiplicative and when the SDE is understood as a continuous time limit of a stochastic difference equation. In this case, SDE must be complemented by what is known as "interpretations of SDE" such as Itô or a Stratonovich interpretations of SDEs. Nevertheless, when SDE is viewed as a continuous-time stochastic flow of diffeomorphisms, it is a uniquely defined mathematical object that corresponds to Stratonovich approach to a continuous time limit of a stochastic difference equation.

物理学において、主な解法は、フォッカー・プランク方程式（FPE）を用いて確率分布関数を時間の関数として求めることです。フォッカー・プランク方程式は決定論的な偏微分方程式です。これは、シュレーディンガー方程式が量子波動関数の時間発展を表すのと同様に、あるいは拡散方程式が化学濃度の時間発展を表すのと同様に、確率分布関数が時間とともにどのように変化するかを示します。あるいは、モンテカルロシミュレーションによって数値解を得ることもできます。その他の手法としては、統計物理学と量子力学の類似性を利用した経路積分（例えば、フォッカー・プランク方程式はいくつかの変数を再スケーリングすることでシュレーディンガー方程式に変換できます）や、確率分布関数の統計モーメントに関する常微分方程式を書き下す方法などがあります。

確率論および数理ファイナンスでの使用

確率論（および確率論の多くの応用分野、例えばフィルタリング問題を伴う信号処理や数理ファイナンスなど）で使用される表記法は、若干異なります。これは、確率微分方程式を解くための数値解法に関する出版物でも使用されている表記法です。この表記法は、時間のランダム関数の特異な性質を表しています。 $\xi ^{\alpha }$ 物理学の定式化ではより明確に。厳密な数学的用語では、 $\xi ^{\alpha }$ これは通常の関数として選択することはできず、一般化関数としてのみ選択できる。数学的な定式化は、物理学的な定式化よりもこの複雑さを曖昧さなく処理する。

典型的な方程式は次の形式です。

\mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t},

どこ $B$ これはウィーナー過程（標準ブラウン運動）を表します。この式は、対応する積分方程式を非公式に表現したものと解釈してください。

X_{t+s}-X_{t}=\int _{t}^{t+s}\mu (X_{u},u)\mathrm {d} u+\int _{t}^{t+s}\sigma (X_{u},u)\,\mathrm {d} B_{u}.

上記の式は、連続時間確率過程X _tの挙動を通常のルベーグ積分と伊藤積分の和として特徴づけています。確率微分方程式のヒューリスティック（しかし非常に有用な）解釈は、長さδの小さな時間間隔で、確率過程X _{t は}期待値μ ( X _t , t ) δと分散σ ( X _t , t ) ²δの正規分布に従う量だけ値が変化し、その変化は過程の過去の挙動とは無関係であるということです。これは、ウィーナー過程の増分が独立で正規分布に従うためです。関数μはドリフト係数と呼ばれ、σは拡散係数と呼ばれます。確率過程X _tは拡散過程と呼ばれ、マルコフ性を満たします。^[¹^]

SDE の形式的な解釈は、SDE の解を構成するものによって与えられます。SDE の解には、強解と弱解という 2 つの主要な定義があります^{[ 1 ]}どちらも、SDE の積分方程式バージョンを解くプロセスX _tの存在を必要とします。2 つの違いは、基礎となる確率空間( $\Omega ,\,{\mathcal {F}},\,P$ 弱解は確率空間と積分方程式を満たす過程から構成され、強解は方程式を満たし、与えられた確率空間上で定義される過程である。山田・渡辺の定理は、この2つを結びつけるものである。

重要な例として、幾何ブラウン運動の式が挙げられる。

\mathrm {d} X_{t}=\mu X_{t}\,\mathrm {d} t+\sigma X_{t}\,\mathrm {d} B_{t}.

これは、金融数学のブラック・ショールズオプション価格モデル^{[ 2 ]}における上場企業の株価の変動を表す方程式です。

幾何ブラウン運動を一般化すると、強い解を持ち、分布が異なる幾何ブラウン運動またはブラックショールズモデルからの密度の凸結合であるSDEを定義することも可能であり、解が異なるブラックショールズモデルの対数正規分布の混合ダイナミクスとして分布する単一のSDEが得られます。^{[ 2 ]}^{[ 17 ]}^{[ 18 ]}^{[ 19 ]}これにより、金融数学におけるボラティリティスマイルを扱うことができるモデルにつながります。

算術ブラウン運動と呼ばれるより単純なSDE ^{[ 3 ]}

\mathrm {d} X_{t}=\mu \,\mathrm {d} t+\sigma \,\mathrm {d} B_{t}

これは、1900年にルイ・バシュリエによって株価の最初のモデルとして使用され、今日ではバシュリエモデルとして知られています。

さらに、係数μとσが過程Xtの現在値だけでなく、過程の過去の値、場合によっては他の過程の現在値または過去の値にも依存する、より一般的な確率微分方程式も存在する。この場合、解過程_Xはマルコフ過程ではなく、拡散過程ではなく伊藤過程と呼ばれる。係数がXの現在値と過去の値のみに依存する場合、定義方程式は確率遅延微分方程式と呼ばれる。

Fisk-Stratonovich積分を用いた確率微分方程式をジャンプを伴う半マルチンゲールに一般化したものが、 Marcus型のSDEである。Marcus積分はMcShaneの確率微分法の拡張である。^{[ 20 ]}

確率的金融における応用例は、オルンシュタイン・ウーレンベック過程の式の使用から派生する。

\mathrm {d} R_{t}=\mu R_{t}\,\mathrm {d} t+\sigma _{t}\,\mathrm {d} B_{t}.

これは、リターンが対数正規分布を示すという仮説の下での上場企業の株価のリターンのダイナミクスの式です。この仮説の下で、マルチェロ・ミネンナによって開発された手法は、市場の不正現象を隠蔽する可能性のある異常リターンを特定できる予測区間を決定します。^{[ 21 ]}^{[ 22 ]}

多様体上の確率微分方程式

より一般的には、確率微分理論を微分多様体に拡張することができ、そのためにフィスク・ストラトノビッチ積分を用いる。多様体を考える。 $M$ 、ある有限次元ベクトル空間 $E$ フィルタリングされた確率空間 $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in \mathbb {R} _{+}},P)$ と $({\mathcal {F}}_{t})_{t\in \mathbb {R} _{+}}$ 通常の条件を満たし、 $\displaystyle {\widehat {M}}=M\cup \{\infty \}}$ 一点コンパクト化であり、 $x_{0}$ なれ $\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ -測定可能。確率微分方程式 $M$ 書かれた

\mathrm {d} X=A(X)\circ dZ

ペアです $(A,Z)$ 、したがって

$Z$ 連続的である $E$ -値セミマルチンゲール、
$A:M\times E\to TM,(x,e)\mapsto A(x)e$ は、ベクトル束の準同型写像である。 $M$ 。

各 $x\in M$ 地図 $A(x):E\to T_{x}M$ 線形であり、 $A(\cdot )e\in \Gamma (TM)$ 各 $e\in E$ 。

SDE の解法 $M$ 初期条件付き $X_{0}=x_{0}$ 連続的である $\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}}$ -適応 $M$ -値プロセス $\displaystyle (X_t)_t<\zeta }}$ 生涯まで $\zeta$ 、各テスト関数について $f\in C_{c}^{\infty }(M)$ そのプロセス $f(X)$ は実数値のセミマルチンゲールであり、各停止時間に対して $\displaystyle \tau }$ と $0\leq \tau <\zeta$ 方程式

f(X_{\tau })=f(x_{0})+\int _{0}^{\tau }(\mathrm {d} f)_{X}A(X)\circ \mathrm {d} Z

保持する $P$ ほぼ間違いなく、 $(df)_{X}:T_{x}M\to T_{f(x)}M$ の差分は $X$ 寿命が最大である場合、それは最大解である。

\{\zeta <\infty \}\subset \left\{\lim \limits _{t\nearrow \zeta }X_{t}=\infty {\text{ in }}{\widehat {M}}\right\}

$P$ ほぼ確実に。それは次の事実から導かれる。 $f(X)$ 各テスト関数について $f\in C_{c}^{\infty }(M)$ はセミマルチンゲールであり、 $X$ はセミマルチンゲールです $M$ 最大解が与えられた場合、 $X$ 完全に $\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ そして継続の後 $f$ の上 ${\widehat {M}}$ 私たちは

f(X_{t})=f(X_{0})+\int _{0}^{t}(\mathrm {d} f)_{X}A(X)\circ \mathrm {d} Z,\quad t\geq 0

区別できないプロセスまで。^{[ 23 ]} ストラトノビッチ SDE は連鎖律を満たし、ドリフト係数と拡散係数が座標変換の下でベクトル場として振る舞うことから、多様体上の SDE の自然な選択肢ですが、多様体上の伊藤計算の方が好ましい場合もあります。多様体上の伊藤計算の理論は、シュワルツ射の概念を通じてローラン・シュワルツによって最初に開発されました。 ^{[ 6 ]}ジェット束に基づく多様体上の伊藤 SDE の関連する 2-ジェット解釈も参照してください。^{[ 8 ]}この解釈は、大きな空間で与えられた SDE の解をその空間の部分多様体で与えられた SDE の解で最適に近似しようとする場合に役立ちます。 ^{[ 9 ]}ストラトノビッチに基づく射影が最適にならないためです。これはフィルタリング問題に適用され、最適な射影フィルタにつながっています。^{[ 9 ]}

険しい道として

通常、確率微分方程式（SDE）の解を求めるには確率論的な設定が必要となる。なぜなら、解に含まれる積分は確率積分だからである。もし微分方程式を経路ごとに扱うことができれば、確率積分を定義する必要はなく、確率論とは独立した理論を構築できるだろう。このことから、SDEを考察する必要があることがわかる。

\mathrm {d} X_{t}(\omega )=\mu (X_{t}(\omega ),t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t}(\omega ),t)\,\mathrm {d} B_{t}(\omega )

すべての $\omega \in \Omega$ 、どこ $\Omega$ 与えられた確率空間における標本空間は（ $\Omega ,\,{\mathcal {F}},\,P$ しかし、ブラウン運動の経路は無限変動を持ち、確率1で微分可能ではないため、SDEの経路ごとの直接的な解釈は不可能であり、次のような用語に意味を与える素朴な方法はありません。 $\mathrm {d} B_{t}(\omega )$ また、確率積分を各要素に対する積分として単純に定義することも排除する。 $\mathrm {d} B_{t}(\omega )$ しかし、正則ノイズを持つ確率微分方程式の解の極限に関するWong-Zakaiの結果^{[ 24 ]}に触発され、ラフパス理論を使用し、ブラウン運動の反復積分の特定の定義を追加することで、すべての個々のに対して決定論的なラフ積分を定義することが可能です。 $\omega \in \Omega$ これは、例えば反復ブラウン積分の特定の選択に対して確率1で伊藤積分と一致する。^{[ 24 ]}反復積分の他の定義は、ストラトノビッチ積分のようなさまざまな確率積分の決定論的な経路等価物につながる。これは、例えば金融数学で確率なしでオプションの価格を設定するために使用されている。^{[ 25 ]}

解決策の存在と独自性

決定論的な常微分方程式や偏微分方程式と同様に、与えられた確率微分方程式に解が存在するかどうか、また解が一意であるかどうかを知ることは重要です。以下は、n次元ユークリッド空間R ⁿに値を取り、m次元ブラウン運動Bによって駆動される伊藤確率微分方程式に対する典型的な存在と一意性の定理です。証明は Øksendal (2003, §5.2) に記載されています。^{[ 3 ]}

T > 0 とし、

{\displaystyle \mu

{\displaystyle \sigma

定数CおよびDが存在して、

{\big |}\mu (x,t){\big |}+{\big |}\sigma (x,t){\big |}\leq C{\big (}1+|x|{\big )};

{\big |}\mu (x,t)-\mu (y,t){\big |}+{\big |}\sigma (x,t)-\sigma (y,t){\big |}\leq D|x-y|;

すべてのt ∈ [0, T ] およびすべてのxおよびy ∈ R ⁿに対して、

|\sigma |^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}|\sigma _{ij}|^{2}.

Z を、B s _（ s ≥ 0）によって生成されるσ代数とは独立で、2 次モーメントが有限である確率変数とする。

\mathbb {E} {\big [}|Z|^{2}{\big ]}<+\infty .

次に、確率微分方程式／初期値問題

\mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t}{\mbox{ for }}t\in [0,T];

X_{0}=Z;

Pほぼ確実に一意なt連続解 ( t , ω ) ↦ X _t ( ω ) を持ち、X はZとB _s、s ≤ tによって生成されるフィルタリングF _t^Zに適合し、

\mathbb {E} \left[\int _{0}^{T}|X_{t}|^{2}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty .

一般の場合：局所リプシッツ条件と最大解

上記の確率微分方程式は、より一般的な形式の特殊なケースにすぎません。

\mathrm {d} Y_{t}=\alpha (t,Y_{t})\mathrm {d} X_{t}

どこ

$X$ は連続セミマルチンゲールである $\mathbb {R} ^{n}$ そして $Y$ は連続セミマルチンゲールである $\mathbb {R} ^{d}$
${\displaystyle \alpha$ は、ある空でない開集合からの写像である。 $U\subset \mathbb {R} ^{d}$ 、どこ $\operatorname {Lin} (\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} ^{d})$ は、からのすべての線形写像の空間です。 $\mathbb {R} ^{n}$ に $\mathbb {R} ^{d}$ 。

より一般的には、多様体上の確率微分方程式を考察することもできる。

この方程式の解が爆発するかどうかは、 $\alpha$ 。仮定する $\alpha$ ある局所的なリプシッツ条件を満たす、すなわち、 $t\geq 0$ そしていくつかのコンパクトセット $K\subset U$ そしていくつかの定数 $L(t,K)$ 状態

|\alpha (s,y)-\alpha (s,x)|\leq L(t,K)|y-x|,\quad x,y\in K,\;0\leq s\leq t,

どこ $|\cdot |$ はユークリッドノルムです。この条件は、いわゆる最大解の存在と一意性を保証します。

仮定する $\alpha$ は連続であり、上記の局所リプシッツ条件を満たし、 $F:\Omega \to U$ を何らかの初期条件とする。つまり、初期σ代数に関して測定可能な関数とする。 ${\displaystyle \zeta$ は予測可能な停止時間であり $\zeta >0$ ほぼ間違いなく。 $U$ -値セミマルチンゲール $(Y_{t})_{t<\zeta }$ は、最大解と呼ばれます。

dY_{t}=\alpha (t,Y_{t})dX_{t},\quad Y_{0}=F

生涯保証付き $\zeta$ もし

一人（そして全員）が発表する $\zeta _{n}\nearrow \zeta$ 停止したプロセス $Y^{\zeta _{n}}$ これは停止確率微分方程式の解である。

\mathrm {d} Y=\alpha (t,Y)\mathrm {d} X^{\zeta _{n}}

撮影現場で $\{\zeta <\infty \}$ 我々はほぼ確実に $Y_{t}\to \partial U$ と $t\to \zeta$ [ ²⁶^]

$\zeta$ は、いわゆる爆発時間とも呼ばれます。

明示的に解ける例

明示的に解けるSDEには以下が含まれます: ^{[ 11 ]}

線形確率微分方程式：一般ケース

\mathrm {d} X_{t}=(a(t)X_{t}+c(t))\mathrm {d} t+(b(t)X_{t}+d(t))\mathrm {d} W_{t}

X_{t}=\Phi _{t,t_{0}}\left(X_{t_{0}}+\int _{t_{0}}^{t}\Phi _{s,t_{0}}^{-1}(c(s)-b(s)d(s))\mathrm {d} s+\int _{t_{0}}^{t}\Phi _{s,t_{0}}^{-1}d(s)\mathrm {d} W_{s}\right)

どこ

\Phi _{t,t_{0}}=\exp \left(\int _{t_{0}}^{t}\left(a(s)-{\frac {b^{2}(s)}{2}}\right)\mathrm {d} s+\int _{t_{0}}^{t}b(s)\mathrm {d} W_{s}\right)

還元可能な確率微分方程式：ケース1

\mathrm {d} X_{t}={\frac {1}{2}}f(X_{t})f'(X_{t})\mathrm {d} t+f(X_{t})\mathrm {d} W_{t}

与えられた微分可能な関数に対して $f$ ストラトノビッチSDEと同等

\mathrm {d} X_{t}=f(X_{t})\circ W_{t}

一般的な解が存在する

X_{t}=h^{-1}(W_{t}+h(X_{0}))

どこ

h(x)=\int ^{x}{\frac {\mathrm {d} s}{f(s)}}

還元可能な確率微分方程式：ケース2

\mathrm {d} X_{t}=\left(\alpha f(X_{t})+{\frac {1}{2}}f(X_{t})f'(X_{t})\right)\mathrm {d} t+f(X_{t})\mathrm {d} W_{t}

与えられた微分可能な関数に対して $f$ ストラトノビッチSDEと同等

\mathrm {d} X_{t}=\alpha f(X_{t})\mathrm {d} t+f(X_{t})\circ W_{t}

これは以下のように還元できる

\mathrm {d} Y_{t}=\alpha \mathrm {d} t+\mathrm {d} W_{t}

どこ $Y_{t}=h(X_{t})$ どこ $h$ は前述のように定義される。その一般解は

X_{t}=h^{-1}(\alpha t+W_{t}+h(X_{0}))

SDEと超対称性

確率微分方程式の超対称性理論では、確率的ダイナミクスは、モデルの位相／状態空間上の微分形式に作用する確率的発展演算子によって定義されます。この確率的ダイナミクスの定式化では、すべての確率微分方程式は位相空間の連続性を連続的な時間の流れによって維持する位相的超対称性を持ちます。この超対称性の自発的な破綻は、様々な分野でカオスとして知られる遍在する動的現象の数学的本質です。

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さらに読む

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確率微分方程式

背景

用語

確率微分方程式

数値解

物理学における使用

確率論および数理ファイナンスでの使用

多様体上の確率微分方程式

険しい道として

解決策の存在と独自性

一般の場合：局所リプシッツ条件と最大解

明示的に解ける例

線形確率微分方程式：一般ケース

還元可能な確率微分方程式：ケース1

還元可能な確率微分方程式：ケース2

SDEと超対称性

関連項目

参考文献

さらに読む

関連するトピック

確率過程である

微分方程式

、ランダム成長モデル

、熱ゆらぎ