時間尺度計算

数学において、時間尺度計算は差分方程式の理論と微分方程式の理論を統合し、積分微分計算と有限差分計算を統合することで、ハイブリッドシステムを研究するための形式体系を提供する。離散データと連続データの同時モデリングを必要とするあらゆる分野に応用できる。実数上で定義された関数を微分する場合、その定義は標準的な微分と等価であるが、整数上で定義された関数を使用する場合は、前進差分演算子と等価となるような、導関数の新しい定義を与える。

時間尺度計算は、1988年にドイツの数学者シュテファン・ヒルガーによって導入されました。^{[ 1 ]}しかし、同様のアイデアは以前から使用されており、少なくとも和と積分を統一するリーマン・スティルチェス積分の導入まで遡ります。

微分方程式に関する多くの結果は、差分方程式の対応する結果に非常に容易に適用できますが、他の結果は連続方程式の結果とは全く異なるようです。^{[ 2 ]} 時間尺度上の動的方程式の研究は、このような不一致を明らかにし、微分方程式と差分方程式の両方について結果を二度証明することを回避するのに役立ちます。一般的な考え方は、未知関数の定義域がいわゆる時間尺度（時間集合とも呼ばれる）である動的方程式の結果を証明することです。時間尺度は、実数の任意の閉部分集合である可能性があります。このようにして、結果は実数の集合や整数の集合だけでなく、カントール集合などのより一般的な時間尺度にも適用されます。

時間スケール上の微積分学の最も一般的な例としては、微分積分、差分積分、量子力学の3つが挙げられます。時間スケール上の動的方程式は、個体群動態などの分野への応用が期待されています。例えば、季節中は継続的に進化し、卵が孵化または休眠状態にある冬には死滅し、新しい季節に孵化して重複しない個体群を生み出す昆虫の個体群をモデル化することができます。

時間尺度（または尺度連鎖）は実数直線の閉部分集合である。${\displaystyle \mathbb {R} }$一般的な時間尺度の表記法は次のとおりです。${\displaystyle \mathbb {T} }$。

時間尺度の最もよく見られる2つの例は実数である。${\displaystyle \mathbb {R} }$そして離散時間スケール${\displaystyle h\mathbb {Z} }$。

時間スケール上の単一点は次のように定義される。

${\displaystyle t:t\in \mathbb {T} }$

時間尺度上の操作

前方ジャンプ演算子と後方ジャンプ演算子は、与えられた点の右側と左側にある時間スケール上の最も近い点を表します。${\displaystyle t}$それぞれ。正式には：

${\displaystyle \sigma (t)=\inf\{s\in \mathbb {T} :s>t\}}$（前進シフト／ジャンプオペレーター）

${\displaystyle \rho (t)=\sup\{s\in \mathbb {T} :s<t\}}$（後退シフト／ジャンプ演算子）

粒状感${\displaystyle \mu }$は、ある点から右側の最も近い点までの距離であり、次式で表されます。

${\displaystyle \mu (t)=\sigma (t)-t.}$

右に密集した${\displaystyle t}$、${\displaystyle \sigma (t)=t}$そして${\displaystyle \mu (t)=0}$ 左密な${\displaystyle t}$、${\displaystyle \rho (t)=t.}$

ポイントの分類

いかなる場合でも$\displaystyle t\in \mathbb {T} }$、${\displaystyle t}$は：

• 左側が密集している場合${\displaystyle \rho (t)=t}$
• 右側が密集している場合${\displaystyle \sigma (t)=t}$
• 散らばったまま${\displaystyle \rho (t)<t}$
• 右に散らばっている場合${\displaystyle \sigma (t)>t}$
• 左密かつ右密の両方の場合、密である。
• 左散乱と右散乱の両方が孤立している場合は孤立する

右図に示すように：

• ポイント$t1$密度が高い
• ポイント$t2$左側は密集しており、右側は散在している。
• ポイント$t3$孤立している
• ポイント$t4$左側は散在し、右側は密集している

関数を考えてみましょう。

${\displaystyle f:\mathbb {T} \to \mathbb {R} ,}$

（ここでRは任意のバナッハ空間であるが、簡略化のため実数直線に設定されている。）

定義：デルタ微分（ヒルガー微分とも呼ばれる）${\displaystyle f^{\Delta }(t)}$存在する条件は以下のとおりです。

すべての${\displaystyle \varepsilon >0}$近隣地域が存在する${\displaystyle U}$の${\displaystyle t}$すなわち、

${\displaystyle \left|f(\sigma (t))-f(s)-f^{\Delta }(t)(\sigma (t)-s)\right|\leq \varepsilon \left|\sigma (t)-s\right|}$

すべての人々のために${\displaystyle s}$で${\displaystyle U}$。

取る${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {R} .}$ それから${\displaystyle \sigma (t)=t}$、${\displaystyle \mu (t)=0}$、${\displaystyle f^{\Delta }=f'}$; は標準的な微積分で使用される導関数です。${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {Z} }$（整数）、${\displaystyle \sigma (t)=t+1}$、${\displaystyle \mu (t)=1}$、${\displaystyle f^{\Delta }=\Delta f}$は、差分方程式で使用される前方差分演算子です。

デルタ積分は、デルタ微分に関する原始関数として定義されます。${\displaystyle F(t)}$連続微分が可能${\displaystyle f(t)=F^{\Delta }(t)}$1セット

${\displaystyle \int _{r}^{s}f(t)\Delta (t)=F(s)-F(r).}$

ラプラス変換は、任意の時間スケールに対して同じ変換表を使用する時間スケール上の関数に対して定義できます。この変換は、時間スケール上の動的方程式を解くために使用できます。時間スケールが非負の整数である場合、変換は修正Z変換と等しくなります^{[ 2 ]}。 $${\displaystyle {\mathcal {Z}}'\{x[z]\}={\frac {{\mathcal {Z}}\{x[z+1]\}}{z+1}}}$$

偏微分方程式と偏差分方程式は、時間尺度上の偏動的方程式として統一される。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

時間尺度上の多重積分については、Bohner (2005) で扱われている。^{[ 6 ]}

確率微分方程式と確率差分方程式は、時間スケール上の確率動的方程式に一般化することができる。^{[ 7 ]}

すべての時間スケールには、次の方法で定義される自然な尺度^{[ 8 ] [ 9 ]が関連付けられています。}

${\displaystyle \mu ^{\Delta }(A)=\lambda (\rho ^{-1}(A)),}$

どこ${\displaystyle \lambda }$はルベーグ測度を表し、${\displaystyle \rho }$後方シフト演算子は、${\displaystyle \mathbb {R} }$デルタ積分は、この測度に関する通常のルベーグ・スティルチェス積分となる。

${\displaystyle \int _{r}^{s}f(t)\Delta t=\int _{[r,s)}f(t)d\mu ^{\Delta }(t)}$

そしてデルタ微分は、この尺度に関するラドン・ニコディム微分であることが判明した^{[ 10 ]。}

${\displaystyle f^{\Delta }(t)={\frac {df}{d\mu ^{\Delta }}}(t).}$

ディラックデルタとクロネッカーデルタは、時間スケール上でヒルガーデルタとして統一される。^{[ 11 ] [ 12 ]}

${\displaystyle \delta _{a}^{\mathbb {H} }(t)={\begin{cases}{\dfrac {1}{\mu (a)}},&t=a\\0,&t\neq a\end{cases}}}$

時間尺度上の分数階微積分は、Bastos、Mozyrska、およびTorresによって扱われています。^{[ 13 ]}

• カントール集合上の動的方程式に対するフラクタルの解析。
• 多重スケール解析
• 平均化の方法
• クリロフ・ボゴリューボフ平均法

• Agarwal, Ravi; Bohner, Martin; O'Regan, Donal; Peterson, Allan (2002). "時間スケール上の動的方程式：概説" . Journal of Computational and Applied Mathematics . 141 ( 1– 2): 1– 26. Bibcode : 2002JCoAM.141....1A . doi : 10.1016/S0377-0427(01)00432-0 .
• 時間スケール上の動的方程式 Journal of Computational and Applied Mathematics特集号(2002)
• 動的方程式とその応用に関する特集号（差分方程式の進歩に関する特集号、2006年）
• 時間スケール上の動的方程式：定性的分析と応用 非線形力学とシステム理論特集号（2009年）