ホロノミック制約

古典力学 では、ホロノミック制約は位置変数（および場合によっては時間）間の関係であり^[1]、次の形式で表現できます。

$${\displaystyle f(u_{1},u_{2},u_{3},\ldots ,u_{n},t)=0}$$

ここで、n 個の一般化座標は、システム（制約のない配置空間）を記述する。たとえば、球の表面上に位置するように制約された粒子の運動は、ホロノミック制約に従うが、粒子が重力の影響下で球から落下できる場合、制約は非ホロノミックになる。最初のケースでは、ホロノミック制約は、次の式で与えられる。 ${\displaystyle \{u_{1},u_{2},u_{3},\ldots ,u_{n}\}}$

$${\displaystyle r^{2}-a^{2}=0}$$

ここで、は半径 の球の中心からの距離である。一方、2番目の非ホロノミックなケースは次のように表される。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle a}$

$${\displaystyle r^{2}-a^{2}\geq 0}$$

速度依存制約（セミホロノミック制約とも呼ばれる）[ ^2]

$${\displaystyle f(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n},{\dot {u}}_{1},{\dot {u}}_{2},\ldots ,{\dot {u}}_{n},t)=0}$$

通常はホロノミックではない。^[要出典]

古典力学では、システムのすべての制約がホロノミックである場合、システムはホロノミックであると定義されます。制約がホロノミックであるためには、関数として表現可能でなければなりません。 つまり、ホロノミック制約は座標とおそらく時間のみに依存します。^[1]速度やtに関する高次導関数には依存しません 。上記の形式で表現できない制約は非ホロノミック制約です。 $${\displaystyle f(u_{1},\ u_{2},\ u_{3},\ \ldots ,\ u_{n},\ t)=0,\,}$$${\displaystyle u_{j}}$${\displaystyle t}$

上で説明したように、ホロノミック システムとは (簡単に言えば)システムのコンポーネントの位置の時間的変化のみを知ることでシステムの状態を推測できるシステムであり、速度やコンポーネントが互いに対してどのような順序で動いたかを知る必要はありません。対照的に、非ホロノミック システムとは、システムの状態変化を判定するためにコンポーネントの時間的速度を知る必要があるシステム、または可動部分が実数または虚数の制約面にバインドできないシステムであることが多いです。ホロノミック システムの例としては、ガントリー クレーン、振り子、ロボット アームなどがあります。非ホロノミック システムの例としては、セグウェイ、一輪車、自動車などがあります。

配置空間には、 システムのコンポーネントの変位が、自由度ごとに 1 つずつリストされます。配置空間を使用して記述できるシステムは、強誘電性システムと呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbf {u} }$

$${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&\ldots &u_{n}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

イベント空間は、システムの時間経過に伴う変化を表す変数が追加されていることを除いて、構成空間と同じです(システムを説明するために必要な場合)。構成空間だけでなくイベント空間を使用して説明する必要があるシステムは、レオノミックと呼ばれます。多くのシステムは、スクレロノミックまたはレオノミックのいずれかで説明できます。たとえば、振り子の許容される総運動はスクレロノミック制約で説明できますが、振り子の時間経過に伴う運動はレオノミック制約で説明する必要があります。 ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&\ldots &u_{n}&t\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

状態空間 は、構成空間に、構成空間内の各項の速度を記述する項を加えたものです。 ${\displaystyle \mathbf {q} }$

$${\displaystyle \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}\mathbf {u} \\\mathbf {\dot {u}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}&\ldots &u_{n}&{\dot {u}}_{1}&\ldots &{\dot {u}}_{n}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

状態時間空間は時間を追加します。 ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}\mathbf {u} \\\mathbf {\dot {u}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}&\ldots &u_{n}&t&{\dot {u}}_{1}&\ldots &{\dot {u}}_{n}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

右図に示すように、ガントリー クレーンは、矢印で示すように 3 軸でフックを移動できる天井クレーンです。直感的に、クレーンはホロノミック システムであると推測できます。これは、コンポーネントの特定の動きに対して、コンポーネントが移動する順序や速度は関係ないためです。特定の開始状態からの各コンポーネントの合計変位が同じである限り、すべての部分とシステム全体が同じ状態になります。数学的には、次のように証明できます。

システムの構成空間は次のように定義できます。 $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}$$

クレーンの各コンポーネントの「ゼロ」位置からのたわみは、それぞれ青、緑、オレンジのコンポーネントに対して、、、、であると言えます。座標系の方向と配置は、システムがホロノミックであるかどうかには関係ありませんが、この例では、コンポーネントは軸と平行に移動します。座標系の原点がクレーンの左下後方にある場合、位置制約方程式は次のように記述できます。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle G}$${\displaystyle O}$$${\displaystyle (x-B)+(y-G)+(z-(h-O))=0}$$

クレーンの高さは どこでしょうか。オプションで、すべての定数を変数の後に置く標準形式に簡略化することもできます。${\displaystyle h}$$${\displaystyle x+y+z-(B+G+h-O)=0}$$

我々はホロノミック形式の制約方程式を導出したので（具体的には、制約方程式は という形式を持ち、）、このシステムはホロノミックでなければならないことがわかります。 ${\displaystyle f(x,y,z)=0}$${\displaystyle \{x,y,z\}\in \mathbf {u} }$

右図に示すように、単振り子は重りと弦で構成されたシステムです。弦の上端は支点に、下端は重りに取り付けられています。弦は伸縮しないため、長さは一定です。このシステムはホロノミック制約に従うため、ホロノミックです。

$${\displaystyle {x^{2}+y^{2}}-L^{2}=0,}$$

ここで重りの位置、弦の長さです。 ${\displaystyle (x,\ y)}$${\displaystyle L}$

剛体の粒子はホロノミック制約に従う

$${\displaystyle (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})^{2}-L_{ij}^{2}=0,\,}$$

ここで、 、はそれぞれ粒子との位置であり、 はそれらの間の距離です。与えられたシステムがホロノミックである場合、自由度が減少しないと仮定すると（言い換えると、配置空間が変化しないと仮定すると）、問題のシステムのコンポーネントに追加のパーツを固定して接続しても、非ホロノミックにすることはできません。 ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{j}}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle P_{j}}$${\displaystyle L_{ij}}$

次の制約の微分形式を考えてみましょう。

$${\displaystyle \sum _{j}\ A_{ij}\,du_{j}+A_{i}\,dt=0}$$

ここで、 はi番目の制約方程式の微分係数です。この形式はPfaffian 形式または微分形式と呼ばれます。 ${\displaystyle A_{ij},A_{i}}$${\displaystyle du_{j},dt}$

微分形式が積分可能であれば、すなわち等式を満たす 関数が存在する場合、${\displaystyle f_{i}(u_{1},\ u_{2},\ u_{3},\ \ldots ,\ u_{n},\ t)=0}$

$${\displaystyle df_{i}=\sum _{j}\ A_{ij}\,du_{j}+A_{i}\,dt=0}$$

であれば、この制約はホロノミック制約です。そうでなければ、非ホロノミックです。したがって、すべてのホロノミック制約と一部の非ホロノミック制約は、微分形式を使用して表現できます。この方法で表現できない非ホロノミック制約の例としては、一般化速度に依存する制約があります。^{[説明が必要]}パフィアン形式の制約方程式では、制約がホロノミックか非ホロノミックかは、パフィアン形式が積分可能かどうかによって決まります。パフィアン形式制約の積分可能性 (または積分可能性の欠如) を確認するテストの説明については、以下のホロノミック制約の普遍テストを参照してください。

システムの制約方程式がパフィアン制約形式で記述されている場合、システムがホロノミックであるかどうかを判断するための数学的テストが存在します。

制約方程式、または制約方程式のセットの場合(上記のように、時間を表す変数を次の形式で含めることができることに注意してください)。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle A_{i}\in A_{ij}}$${\displaystyle \,dt\in du_{j}}$$${\displaystyle \sum _{j}^{n}\ A_{ij}\,du_{j}=0;\,}$$

次のテスト方程式を使用できます。 ここで、すべての制約方程式セット に対して、制約方程式ごとにテスト方程式の組み合わせがあります。$${\displaystyle A_{\gamma }\left({\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\alpha }}}-{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\beta }}}\right)+A_{\beta }\left({\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\gamma }}}-{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\alpha }}}\right)+A_{\alpha }\left({\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\beta }}}-{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\gamma }}}\right)=0}$$$${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma =1,2,3\ldots n}$$${\textstyle {\binom {n}{3}}={\frac {n(n-1)(n-2)}{6}}}$${\displaystyle i}$

言い換えれば、3 変数のシステムは、制約方程式の項 (順序は任意) である1 つのテスト方程式で 1 ​​回テストする必要がありますが、4 変数のシステムをテストするには、4 つの異なるテスト方程式 (制約方程式の項、、、、 (それぞれ順序は任意))で最大4回テストを実行する必要があります。5変数のシステムの場合、その事実を確認するにはホロノミック システムで10 回のテストを実行する必要があり、 3 セットの制約方程式を持つ 5 変数のシステムの場合は30 回のテストを実行する必要があります (変数の変更などの簡略化を実行してその数を減らすことができないと仮定)。このため、この方法を 3 変数を超えるシステムで使用する場合は、問題のシステムがホロノミックであるかどうかについて常識を使用し、システムがホロノミックでない可能性がある場合にのみテストを実行することをお勧めします。さらに、数学的な直感を使用して、どのテストが最初に失敗するかを予測し、そのテストから開始して、最初は成功する可能性のあるテストをスキップするのが同様に最善です。 ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$${\displaystyle 1,2,3}$${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$${\displaystyle 1,2,3}$${\displaystyle 1,2,4}$${\displaystyle 1,3,4}$${\displaystyle 2,3,4}$

すべてのテスト方程式がすべての制約方程式の組み合わせ全体に対して真である場合、システムはホロノミックです。1 つのテストの組み合わせに対しても真でない場合、システムは非ホロノミックです。

パフィアン形式の制約方程式によって記述されるこの動的システムを考えてみましょう。 $${\displaystyle \cos(\theta )dx+\sin(\theta )dy+\left[y\cos(\theta )-x\sin(\theta )\right]d\theta =0}$$

調べてみると、配置空間は です。配置空間には 3 つの項しかないため、必要なテスト方程式は 1 つだけです。置換に備えて、制約方程式の項を次のように整理できます。 ${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}x&y&\theta \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$${\displaystyle A_{\alpha }=\cos \theta }$$ $${\displaystyle A_{\beta }=\sin \theta }$$ $${\displaystyle A_{\gamma }=y\cos \theta -x\sin \theta }$$ $${\displaystyle u_{\alpha }=dx}$$ $${\displaystyle u_{\beta }=dy}$$ $${\displaystyle u_{\gamma }=d\theta }$$

項を代入すると、テスト方程式は次のようになります。 $${\displaystyle \left(y\cos \theta -x\sin \theta \right)\left[{\frac {\partial }{\partial x}}\sin \theta -{\frac {\partial }{\partial y}}\cos \theta \right]+\sin \theta \left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}\cos \theta -{\frac {\partial }{\partial x}}(y\cos \theta -x\sin \theta )\right]+\cos \theta \left[{\frac {\partial }{\partial y}}(y\cos \theta -x\sin \theta )-{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta \right]=0}$$

すべての偏導関数を計算すると、次のようになります。 $${\displaystyle (y\cos \theta -x\sin \theta )\left[0-0\right]+\sin \theta \left[-\sin \theta -(-\sin \theta )\right]+\cos \theta \left[\cos \theta -\cos \theta \right]=0}$$

単純化すると、次のことがわかります。 テスト方程式は正しいことがわかり、したがって、システムはホロノミックである必要があります。 $${\displaystyle 0=0}$$

テストは終了しましたが、システムがホロノミックであることがわかったので、ホロノミック制約方程式を見つけたいと思うかもしれません。パフィアン形式の各項を積分し、次のように 1 つの方程式に統合することで、それを見つけようとすることができます。 $${\displaystyle \int \cos \theta \,dx=x\cos \theta +f(y,\theta )}$$ $${\displaystyle \int \sin \theta \,dy=y\sin \theta +f(x,\theta )}$$ $${\displaystyle \int \left(y\cos \theta -x\sin \theta \right)d\theta =y\sin \theta +x\cos \theta +f(x,y)}$$

積分の結果を組み合わせてホロノミック制約方程式を見つけることができることは簡単にわかります。 ここで、C は積分定数です。 $${\displaystyle y\sin \theta +x\cos \theta +C=0}$$

すべての微分のすべての係数が定数であるパフィアン制約、つまり次の形式の制約があるとします。 $${\displaystyle \sum _{j}\ A_{ij}\,du_{j}+A_{i}\,dt=0;\;\{A_{ij},A_{i};\,j=1,2,\ldots ;\,i=1,2,\ldots \}\in \mathbb {R} }$$

制約はホロノミックでなければなりません。

これを次のように証明することができます。上で説明したように、すべての微分係数がすべて定数である Pfaffian 形式の制約システムを考えます。この制約システムがホロノミックかどうかをテストするには、普遍テストを使用します。テスト方程式には、合計がゼロになる必要がある 3 つの項があることがわかります。したがって、すべての可能なテスト方程式でこれらの 3 つの項がそれぞれゼロである場合、すべてのテスト方程式が真であり、このシステムはホロノミックです。各テスト方程式の各項は次の形式になります。 ここで、 $${\displaystyle A_{3}\left({\frac {\partial A_{2}}{\partial u_{1}}}-{\frac {\partial A_{1}}{\partial u_{2}}}\right)}$$

• ${\displaystyle A_{1}}$、、およびは、与えられた制約 に対するとの組み合わせ（合計の組み合わせを含む）です。${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle A_{3}}$${\textstyle {\binom {n}{3}}=n(n-1)(n-2)/6}$${\displaystyle A_{ij};\,j=1,2,\ldots }$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle u_{1}}$、、およびは、およびの対応する組み合わせです。${\displaystyle u_{2}}$${\displaystyle u_{3}}$${\displaystyle u_{j};\,j=1,2,\ldots }$${\displaystyle dt}$

さらに、テスト方程式のセットも あります。${\displaystyle i}$

定義により、すべてが定数であることがわかります。微積分学では、任意の定数の任意の導関数（完全または部分）は であることがよく知られています。したがって、各部分導関数は次のように簡約できます。 ${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle 0}$$${\displaystyle A_{3}{\big (}0-0{\big )}}$$

したがって、各項はゼロであり、左辺の各テスト方程式はゼロであり、各テスト方程式は真であり、システムはホロノミックです。

パフィアン制約によって記述でき、構成空間または状態空間が 2 つの変数のみ、または 1 つの変数のみであるシステムは、ホロノミックです。

これを次のように証明することができます。次のように記述される構成空間または状態空間を持つ動的システムを考えてみましょう。 $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

システムが状態空間で記述される場合、 は時間変数 に等しいと単純に言えます。このシステムは Pfaffian 形式で記述されます。 ${\displaystyle u_{2}}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle A_{i1}\,du_{1}+A_{i2}\,du_{2}=0}$$

制約のセットがあります。システムはユニバーサル テストを使用してテストされます。ただし、ユニバーサル テストでは、構成または状態空間に 3 つの変数が必要です。これに対応するには、構成または状態空間にダミー変数を追加して、次の形式にします。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle \lambda }$$${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&\lambda \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

ダミー変数は定義上、システム内の何の尺度でもないことから、パフィアン形式におけるその係数は でなければなりません。したがって、パフィアン形式を修正します。 ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle 0}$$${\displaystyle A_{i1}\,du_{1}+A_{i2}\,du_{2}+0\,d\lambda =0}$$

ここで、制約のセットがある場合、 特定の制約に対してテストを次のように使用できます。${\displaystyle i}$$${\displaystyle 0\left({\frac {\partial A_{i2}}{\partial u_{1}}}-{\frac {\partial A_{i1}}{\partial u_{2}}}\right)+A_{i2}\left({\frac {\partial A_{i1}}{\partial \lambda }}-{\frac {\partial }{\partial u_{1}}}0\right)+A_{i1}\left({\frac {\partial }{\partial u_{2}}}0-{\frac {\partial A_{i2}}{\partial \lambda }}\right)=0}$$

ダミー変数はシステムを記述するために使用される係数に現れることができないため、テスト方程式はすべての制約方程式セットに対して真でなければならず、したがってシステムはホロノミックでなければならないことがわかります。構成または状態空間の 1 つの実際の変数と 2 つのダミー変数を使用して同様の証明を実行し、パフィアン形式で記述可能な 1 自由度システムも常にホロノミックであることを確認できます。 ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \lambda }}f(u_{1},u_{2})=0}$${\displaystyle \lambda }$

結論として、非ホロノミック システムを Pfaffian 形式でモデル化することは可能ですが、自由度が 2 以下 (自由度の数は配置空間の項の数に等しい) の Pfaffian 形式でモデル化可能なシステムは、ホロノミックでなければならないことがわかります。

重要な注意:ダミー変数、つまりテストに含まれるダミー微分は、実際の構成または状態空間変数の関数であるものを に微分するため、テスト方程式は失敗しました。構成または状態空間が次のシステムの場合: ${\displaystyle 0}$$${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&u_{3}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

1 つ以上の制約が Pfaffian 形式である制約のセット: $${\displaystyle A_{i1}du_{1}+A_{i2}du_{2}+0du_{3}=0}$$

はシステムがホロノミックであることを保証するものではありません。1 つの微分に係数があるとしても、構成または状態空間に記述される自由度が 3 つあるからです。 ${\displaystyle 0}$

ホロノミック制約方程式は、システム内の従属変数のいくつかを簡単に削除するのに役立ちます。たとえば、制約方程式 のパラメータである を削除したい場合、それが可能であると仮定して、方程式を次の形式に並べ替えることができます。 ${\displaystyle x_{d}}$${\displaystyle f_{i}}$

$${\displaystyle x_{d}=g_{i}(x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \dots ,\ x_{d-1},\ x_{d+1},\ \dots ,\ x_{N},\ t),\,}$$

そして、上記の関数を使用して、システムのすべての方程式の を置き換えます。これは、 の導関数が連続している限り、一般的な物理システムに対して常に実行できます。その場合、暗黙の関数定理により、解 は、ある開集合内で保証されます。したがって、従属変数 のすべての出現を削除することができます。 ${\displaystyle x_{d}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle g_{i}}$${\displaystyle x_{d}}$

物理系に自由度があるとします。ここで、ホロノミック制約が系に課せられます。すると、自由度の数は に減ります。独立した一般化座標( )を使用して、系の動きを完全に記述できます。変換方程式は次のように表すことができます。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle h}$${\displaystyle m=N-h}$${\displaystyle m}$${\displaystyle q_{j}}$

$${\displaystyle x_{i}=x_{i}(q_{1},\ q_{2},\ \ldots ,\ q_{m},\ t)\ ,\qquad i=1,\ 2,\ \ldots N.\,}$$

古典物理学を厳密かつ系統的に研究するためには、システムを分類する必要がある。これまでの議論に基づいて、物理システムをホロノミックシステムと非ホロノミックシステムに分類することができる。多くの定理や方程式の適用条件の1つは、システムがホロノミックシステムでなければならないということである。たとえば、物理システムがホロノミックシステムであり、単一システムである場合、ハミルトンの原理はラグランジュ方程式の正しさの必要かつ十分な条件である。^[3]

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