同相写像

数学、より具体的には位相幾何学において、同相写像（ギリシャ語の「相似形」を意味する語源で、アンリ・ポアンカレによって名付けられた）^{[2] [3]は、}位相同型写像、あるいは双連続関数とも呼ばれ、連続逆関数を持つ位相空間間の全単射かつ連続関数である。同相写像は位相空間のカテゴリにおける同型写像であり、つまり、与えられた空間のすべての位相的性質を保存する写像である。間に同相写像を持つ 2 つの空間は同相であると呼ばれ、位相的な観点からはそれらは同じである。

非常に大まかに言えば、位相空間は幾何学的オブジェクトであり、同相はオブジェクトを新しい形状に連続的に変形することによって生じます。したがって、正方形と円は互いに同相ですが、球とトーラスはそうではありません。ただし、この説明は誤解を招く可能性があります。直線から点への変形など、連続的な変形によっては同相にならない場合があります。また、三葉結び目と円の間の同相など、連続的な変形から同相にならない場合もあります。ホモトピーとアイソトピーは、連続的な変形という非公式の概念の正確な定義です。

2 つの位相空間間の関数が 同相写像であるとは、次の性質を持つ場合です。 ${\displaystyle f:X\to Y}$

• ${\displaystyle f}$は全単射（一対一かつ全射）であり、
• ${\displaystyle f}$連続している、
• 逆関数は 連続である（は開写像である）。${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f}$

同相写像は、双連続関数と呼ばれることもあります。そのような関数が存在する場合、およびは同相です。自己同相写像は、位相空間からそれ自身への同相写像です。「同相」であることは、位相空間上の同値関係です。その同値類は同相類と呼ばれます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

3 番目の要件である連続であることは必須です。たとえば、で定義される関数( ⁠ ⁠の単位円) を考えてみましょう。この関数は全単射かつ連続ですが、同相写像ではありません (はコンパクトですが はコンパクトではありません)。関数は点で連続ではありません。なぜなら、はこの点の任意の近傍に写像しますが、関数が近く写像する点も含みますが、その間の数に写像する点は近傍の外側にあるためです。^[4]${\textstyle f^{-1}}$${\textstyle f:[0,2\pi )\to S^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\textstyle f(\varphi )=(\cos \varphi ,\sin \varphi ).}$${\textstyle S^{1}}$${\textstyle [0,2\pi )}$${\textstyle f^{-1}}$${\textstyle (1,0),}$${\textstyle f^{-1}}$${\textstyle (1,0)}$${\textstyle 0,}$${\textstyle 2\pi ,}$

同相写像は位相空間のカテゴリにおける同型写像である。したがって、2 つの同相写像の合成もまた同相写像であり、すべての自己同相写像の集合はXの同相群と呼ばれる群 を形成し、しばしば と表記される。この群にはコンパクト開位相などの位相を与えることができ、特定の仮定の下ではそれが位相群 となる。^[5]${\textstyle X\to X}$${\textstyle {\text{ホメオ}}(X).}$

いくつかの状況では、一方から他方へ連続的に変形することができない同相オブジェクトが存在します。ホモトピーと アイソトピーは、そのような状況に対処するために導入された同値関係です。

同様に、圏論でよくあるように、同相な 2 つの空間が与えられた場合、それらの間の同相空間は同相群とに対するトルサーであり、との間に特定の同相が与えられた場合、3 つの集合すべてが同一視されます。^{[説明が必要]}${\textstyle {\text{ホメオ}}(X,Y),}$${\textstyle {\text{ホメオ}}(X)}$${\textstyle {\text{ホメオ}}(Y),}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$

• 開区間は 、任意の実数⁠ ⁠に同相です(この場合、双連続順方向マッピングは ⁠ ⁠ で与えられ、他のそのようなマッピングはtanまたはarg tanh関数のスケールおよび変換されたバージョンで与えられます)。${\textstyle (a,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\textstyle a<b.}$${\textstyle f(x)={\frac {1}{ax}}+{\frac {1}{bx}}}$
• ⁠ ⁠の単位 2円板 と単位正方形は同相である。単位円板は単位正方形に変形できるからである。正方形から円板への双連続写像の例は、極座標では、${\textstyle D^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$$${\displaystyle (\rho ,\theta )\mapsto \left({\tfrac {\rho }{\max(|\cos \theta |,|\sin \theta |)}},\theta \right).}$$
• 微分可能関数のグラフは、関数の定義域に同相です。
• 曲線の微分可能なパラメータ化は、パラメータ化の定義域と曲線との間の同相写像です。
• 多様体のチャートは、多様体の開集合とユークリッド空間の開集合との間の同相写像です。
• 立体射影は、 ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$内の1 点を除いた単位球面と⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (2 次元平面) 内のすべての点の集合との間の同相写像です。
• が位相群である場合、その反転写像は同相写像である。また、任意の に対して、左平行移動、右平行移動、および内部自己同型は同相写像である。${\displaystyle G}$${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$${\displaystyle x\in G,}$${\displaystyle y\mapsto xy,}$${\displaystyle y\mapsto yx,}$${\displaystyle y\mapsto xyx^{-1}}$

• ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$と⁠ ⁠ は、${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$m ≠ nに対して同相ではありません。
• 実ユークリッド直線は、 ⁠ ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$のサブスペースとしての単位円と同相ではありません。これは、単位円はユークリッド⁠ ⁠のサブスペースとしてコンパクトですが、実数直線はコンパクトではないためです。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• 1 次元区間と は、一方がコンパクトであるのに対し、もう一方はコンパクトではないため、同相ではありません。${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle (0,1)}$

• 2 つの同相空間は同じ位相的性質を共有します。たとえば、一方がコンパクトであれば、もう一方もコンパクトです。一方が連結であれば、もう一方もコンパクトです。一方がハウスドルフであれば、もう一方もハウスドルフです。これらのホモトピー群とホモロジー群は一致します。ただし、これは距離によって定義される性質には拡張されないことに注意してください。一方が完全で他方がそうでなくても同相である距離空間があります。
• 同相写像は、開いた写像であると同時に閉じた写像でもあります。つまり、開いた集合を開いた集合に写し、閉じた集合を閉じた集合に写します。
• におけるすべての自己同相は、円板全体の自己同相に拡張できます(アレクサンダーのトリック)。${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle D^{2}}$

伸ばす、曲げる、切る、接着するという直感的な基準を正しく適用するには、ある程度の練習が必要です。たとえば、線分を点に変形することは許されないことは、上記の説明からは明らかではないかもしれません。したがって、重要なのは上記の正式な定義であることを認識することが重要です。たとえば、この場合、線分には無限の数の点があるため、1 つの点を含む有限の数の点のみを含む集合と一対一にすることはできません。

同相写像のこの特徴付けは、しばしばホモトピーの概念との混同につながります。ホモトピーは実際には連続的な変形として定義されていますが、ある空間から別の空間への変形ではなく、ある関数から別の関数への変形です。同相写像の場合、連続的な変形を思い描くことは、空間X上のどの点がY上のどの点に対応するかを追跡するための精神的なツールです。Xが変形するときにそれらを追うだけです。ホモトピーの場合、1 つのマップから別のマップへの連続的な変形が重要であり、関係するマップが 1 対 1 または全射である必要がないため、制約も少なくなります。ホモトピーは、空間上の関係、つまりホモトピー同値につながります。

同相写像を視覚化する際に関係する変形の種類には名前があります。これは (切断と再接着が必要な場合を除いて) X上の恒等写像とXからYへの同相写像との間の同位体です。

• 局所同相写像 – 各点付近で可逆な数学関数
• 微分同相写像 – 微分可能多様体の同型写像
• 一様同型– 一様連続同相は一様空間 間の同型である
• 等長同型性 – 距離保存数学変換は距離空間リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ間の同型性である
• 同相群
• デーンツイスト
• 同相写像（グラフ理論）  - グラフ理論の概念（グラフの細分化に密接に関連）
• ホモトピー#アイソトピー – 2 つの連続関数間の連続変形
• 写像類群 – 位相自己同型群の同位類群
• ポアンカレ予想 – 幾何学的位相幾何学における定理
• 普遍同相写像

• 「同相写像」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]