二項変換

ダイアディック変換（ダイアディックマップ、ビットシフトマップ、2 x  mod  1 マップ、ベルヌーイマップ、倍増マップ、または鋸歯状マップ^{[ 1 ] [ 2 ]}とも呼ばれる）は、マッピング（つまり、漸化式）である。

${\displaystyle T:[0,1)\to [0,1)^{\infty }}$

${\displaystyle x\mapsto (x_{0},x_{1},x_{2},\ldots )}$

（どこ${\displaystyle [0,1)^{\infty }}$は、からのシーケンスの集合です。${\displaystyle [0,1)}$）ルールによって生成された

${\displaystyle x_{0}=x}$

${\displaystyle {\text{すべてに対応 }}n\geq 0,\ x_{n+1}=(2x_{n}){\bmod {1}}}$[ ^{3 ]​}

同様に、二進変換は区分的線形関数の反復関数マップとしても定義できる。

${\displaystyle T(x)={\begin{cases}2x&0\leq x<{\frac {1}{2}}\\2x-1&{\frac {1}{2}}\leq x<1.\end{cases}}}$

ビットシフトマップという名前は、反復値の値がバイナリ表記で表されている場合、次の反復値はバイナリ小数点を1ビット右にシフトすることによって得られ、新しいバイナリ小数点の左にあるビットが「1」であれば、それを0に置き換えることから来ています。

二進変換は、単純な一次元写像がいかにしてカオスを生み出すかを示す一例である。この写像は容易に他のいくつかの写像に一般化できる。重要な写像の一つはベータ変換であり、次のように定義される。${\displaystyle T_{\beta }(x)=\beta x{\bmod {1}}}$この写像は多くの著者によって広く研究されてきた。1957年にアルフレッド・レーニによって導入され、1959年にアレクサンダー・ゲルフォンドによって不変測度が与えられ、 1960年にはビル・パリーによって独立に再び与えられた。 ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

この写像はベルヌーイ過程上の準同型写像として得られる。${\displaystyle \Omega =\{H,T\}^{\mathbb {N} }}$文字の半無限文字列の集合とする${\displaystyle H}$そして${\displaystyle T}$これらはコイン投げ、つまり表か裏が出るようなものだと理解できる。言い換えれば、${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$バイナリビットのすべての（半）無限列の空間。「無限」という言葉は「半」で修飾されており、別の空間を定義することもできる。${\displaystyle \{0,1\}^{\mathbb {Z} }}$全ての二重無限（両端が無限）な文字列から構成される。これはベイカーのマップにつながる。以下では「半」という修飾語は省略する。

この空間には、次の自然シフト操作があります。

${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots )}$

どこ${\displaystyle (b_{0},b_{1},\dots )}$は無限に続く二進数列です。このような列が与えられたら、次のように書きます。

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{2^{n+1}}}.}$

結果として${\displaystyle x}$は単位区間内の実数である${\displaystyle 0\leq x\leq 1.}$シフト${\displaystyle T}$準同型を誘導する、${\displaystyle T}$単位区間において。${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots ),}$容易にわかるように${\displaystyle T(x)=2x{\bmod {1}}.}$ 二重無限ビット列の場合${\displaystyle \Omega =2^{\mathbb {Z} },}$誘導される準同型写像はベイカーの写像である。

二項シーケンスは、次のシーケンスになります。

${\displaystyle (x,T(x),T^{2}(x),T^{3}(x),\dots )}$

つまり、${\displaystyle x_{n}=T^{n}(x).}$

カオス力学の特徴の一つは、シミュレーションの進行に伴って情報が失われることです。初期反復の最初のsビットの情報から始めると、 m回（ m  < s）のシミュレーション反復後には、 s − mビットの情報しか残っていません。つまり、反復ごとに 1 ビットずつ指数関数的に情報が失われます。s 回反復すると、真の反復値に関係なく、シミュレーションは固定点ゼロに到達します。したがって、情報は完全に失われます。これは、初期条件に対する敏感な依存性を示しています。切り捨てられた初期条件からのマッピングは、真の初期条件からのマッピングから指数関数的に乖離しています。また、シミュレーションは固定点に到達しているため、ほとんどすべての初期条件において、ダイナミクスをカオス的と定性的に正しく記述することはできません。   

情報損失の概念と同等の概念として、情報利得の概念があります。実際には、現実世界のプロセスが時間とともに一連の値 ( x _n ) を生成することがありますが、これらの値は切り捨てられた形でしか観測できない場合があります。たとえば、x _{0 = 0.1001101 であると仮定しますが、観測できるのは切り捨てられた値 0.1001 だけです。x 1}の予測値は 0.001です。現実世界のプロセスが真のx ₁値 0.001101を生成するまで待つと、切り捨てられた値 0.0011 を観測できます。これは、予測値0.001 よりも正確です。したがって、1 ビットの情報利得を得たことになります。  

二進変換は、単位高さのテント写像と位相的に半共役である。単位高さのテント写像は次のように与えられることを思い出そう。

${\displaystyle x_{n+1}=f_{1}(x_{n})={\begin{cases}x_{n}&\mathrm {for} ~~x_{n}\leq 1/2\\1-x_{n}&\mathrm {for} ~~x_{n}\geq 1/2\end{cases}}}$

共役は明示的に次のように与えられる

${\displaystyle S(x)=\sin \pi x}$

となることによって

${\displaystyle f_{1}=S^{-1}\circ T\circ S}$

つまり、${\displaystyle f_{1}(x)=S^{-1}(T(S(x))).}$これは反復処理において安定しており、

${\displaystyle f_{1}^{n}=f_{1}\circ \cdots \circ f_{1}=S^{-1}\circ T\circ S\circ S^{-1}\circ \cdots \circ T\circ S=S^{-1}\circ T^{n}\circ S}$

また、ロジスティック写像のカオス的なr  =  4 の場合にも共役である。ロジスティック写像のr = 4 の場合とは  ${\displaystyle z_{n+1}=4z_{n}(1-z_{n})}$これは、変数xのビットシフトマップに関連しています。

${\displaystyle z_{n}=\sin ^{2}(2\pi x_{n}).}$

また、二進変換（ここでは角度倍増写像と呼ぶ）と二次多項式の間には半共役関係が存在する。ここで、写像は回転で測定される角度を倍増させる。すなわち、写像は次のように与えられる。

${\displaystyle \theta \mapsto 2\theta {\bmod {2}}\pi .}$

反復を二進数表記で見た場合、動態は単純な性質を持つため、初期条件に基づいて動態を分類するのは容易である。

初期条件が無理数である場合（単位区間内のほとんどすべての点がそうであるように）、ダイナミクスは非周期的となる。これは、無理数が非循環的な二進展開を持つ数であるという定義から直接導かれる。これがカオス的なケースである。

x _0が有理数である場合、x ₀の像は[0, 1) の範囲内で有限個の異なる値を含み、 x ₀の順方向軌道は最終的に周期的になり、その周期はx _0の二進展開の周期に等しくなります。具体的には、初期条件がkビットの有限二進展開を持つ有理数である場合、k回反復すると反復は固定点 0 に到達します。初期条件がkビットの過渡状態 ( k ≥ 0 ) に続いてqビットのシーケンス ( q > 1 ) が無限に繰り返される有理数である場合、k回反復すると反復は長さqのサイクルに到達します。したがって、あらゆる長さのサイクルが可能です。     

例えば、11/24の順方向軌道は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {11}{24}}\mapsto {\frac {11}{12}}\mapsto {\frac {5}{6}}\mapsto {\frac {2}{3}}\mapsto {\frac {1}{3}}\mapsto {\frac {2}{3}}\mapsto {\frac {1}{3}}\mapsto \cdots ,}$

これは周期2のサイクルに達しています。したがって、[0, 1)の任意の小区間内では、どんなに小さくても、最終的に周期的になる点が無限に存在し、周期的にならない点も無限に存在します。この初期条件に対する敏感な依存性は、カオス写像の特徴です。

写像の作用下における個々の点の軌道を調べる代わりに、写像が単位区間上の密度にどのような影響を与えるかを調べることも同様に有益です。つまり、単位区間に塵を撒くことを想像してみてください。塵は場所によって密度が異なります。反復計算を行うと、この密度はどのように変化するでしょうか？

書く${\displaystyle \rho$ :[0,1]\to \mathbb {R} } をこの密度として、${\displaystyle x\mapsto \rho (x)}$. アクションを取得するために${\displaystyle T}$この密度上で、すべての点を見つける必要がある${\displaystyle y=T^{-1}(x)}$そして^{[ 7 ]と書く}

${\displaystyle \rho (x)\mapsto \sum _{y=T^{-1}(x)}{\frac {\rho (y)}{|T^{\prime }(y)|}}}$

上記の分母は変換のヤコビ行列式であり、ここでは単に次の微分である。${\displaystyle T}$など${\displaystyle T^{\prime }(y)=2}$また、明らかに逆像には 2 つの点しかありません。${\displaystyle T^{-1}(x)}$、 これらは${\displaystyle y=x/2}$そして${\displaystyle y=(x+1)/2.}$全てをまとめると、

${\displaystyle \rho (x)\mapsto {\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x+1}{2}}\right)}$

慣例として、このような地図は次のように表される。${\displaystyle {\mathcal {L}}}$この場合は、

${\displaystyle \left[{\mathcal {L}}_{T}\rho \right](x)={\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x+1}{2}}\right)}$

地図${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$は線形演算子であり、容易にわかるように、${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}(f+g)={\mathcal {L}}_{T}(f)+{\mathcal {L}}_{T}(g)}$そして${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}(af)=a{\mathcal {L}}_{T}(f)}$すべての機能について${\displaystyle f,g}$単位区間上、およびすべての定数${\displaystyle a}$。

線形演算子として見た場合、最も明白で差し迫った疑問は、そのスペクトルは何かということである。1つの固有値は明らかである。${\displaystyle \rho (x)=1}$すべての人々のために${\displaystyle x}$すると明らかに${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}\rho =\rho }$したがって、一様密度は変換の下で不変である。これは実際には演算子の最大固有値である。${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$これはフロベニウス・ペロン固有値である。一様密度は、実際には二進変換の不変測度に他ならない。

スペクトルを探索するために${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$より詳細に言うと、まず、扱う関数の適切な空間（単位区間上）に限定する必要がある。これは、ルベーグ可測関数の空間かもしれないし、二乗可積分関数の空間かもしれないし、あるいは単に多項式の空間かもしれない。これらの空間のいずれを扱う場合でも、スペクトルは得られるものの、驚くほど難しい。^{[ 7 ]}

ゼロ磁場一次元イジングモデルのハミルトニアン${\displaystyle 2N}$周期境界条件を持つスピンは次のように記述できます。

${\displaystyle H(\sigma )=g\sum _{i\in \mathbb {Z} _{2N}}\sigma _{i}\sigma _{i+1}.}$

賃貸${\displaystyle C}$は適切に選択された正規化定数であり、${\displaystyle \beta }$をシステムの逆温度とすると、このモデルの分配関数は次のように与えられる。

${\displaystyle Z=\sum _{\{\sigma _{i}=\pm 1,\,i\in \mathbb {Z} _{2N}\}}\prod _{i\in \mathbb {Z} _{2N}}Ce^{-\beta g\sigma _{i}\sigma _{i+1}}.}$

繰り込み群は、スピンを一つおきに積分消去することで実現できます。そうすることで、次のことがわかります。${\displaystyle Z}$また、より小さなシステムの分配関数と等価にすることもできますが、${\displaystyle N}$スピン、

${\displaystyle Z=\sum _{\{\sigma _{i}=\pm 1,\,i\in \mathbb {Z} _{N}\}}\prod _{i\in \mathbb {Z} _{N}}{\mathcal {R}}[C]e^{-{\mathcal {R}}[\beta g]\sigma _{i}\sigma _{i+1}},}$

交換する場合${\displaystyle C}$そして${\displaystyle \beta g}$再正規化された値${\displaystyle {\mathcal {R}}[C]}$そして${\displaystyle {\mathcal {R}}[\beta g]}$方程式を満たす

${\displaystyle {\mathcal {R}}[C]^{2}=4\cosh(2\beta g)C^{4},}$

${\displaystyle e^{-2{\mathcal {R}}[\beta g]}=\cosh(2\beta g).}$

ここで、${\displaystyle \beta g}$複雑で、${\displaystyle \operatorname {Im} [2\beta g]={\frac {\pi }{2}}+\pi n}$一部の人にとって${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$その場合、パラメータを導入することができます。${\displaystyle t\in [0,1)}$関連する${\displaystyle \beta g}$方程式を通して

${\displaystyle e^{-2\beta g}=i\tan {\big (}\pi (t-{\frac {1}{2}}){\big )},}$

そして結果として得られる繰り込み群変換は${\displaystyle t}$正確には、二項写像になります。^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\mathcal {R}}[t]=2t{\bmod {1}}.}$

• ベルヌーイ過程
• ベルヌーイスキーム
• ギルバート・シャノン・リードモデルは、単位区間上のn個の一様ランダム点の集合に倍加写像を適用することによって得られる順列上のランダム分布である。