アーノルド舌

数学、特に力学系において、アーノルド舌（ウラジミール・アーノルドにちなんで名付けられた）^{[1] [2]}は、力学系の回転数、またはその他の関連する不変特性が2つ以上のパラメータに応じてどのように変化するかを視覚化するときに発生する図的現象である。一部の力学系では、回転数が一定の領域が舌に似た幾何学的形状を形成することが観察されており、その場合、アーノルド舌と呼ばれる。^[3]

^{アーノルド・タングは、生物学的プロセスにおける酵素や基質の濃度[4]}や心臓の電波など、振動量を伴うさまざまな自然現象で観察されています。振動の周波数は、ある量に依存したり、ある量に基づいて制約されたり（つまり、状況によっては位相同期またはモード同期）することがあり、この関係を研究することはしばしば興味深いことです。たとえば、腫瘍の発生は、その領域で相互作用する一連の物質（主にタンパク質）振動を引き起こします。シミュレーションでは、これらの相互作用によってアーノルド・タングが出現することが示されています。つまり、一部の振動の周波数が他の振動を制約し、これを使用して腫瘍の成長を制御できます。^[3]

アーノルド・タングが見られる他の例としては、楽器の不協和音、軌道を周回する衛星の軌道共鳴と潮汐ロック、光ファイバーや位相同期回路やその他の電子発振器のモードロック、心臓のリズム、不整脈、細胞周期などがあります。^[5]

モード ロックを示す最も単純な物理モデルの 1 つは、弱いバネで接続された 2 つの回転ディスクで構成されます。1 つのディスクは自由に回転し、もう 1 つのディスクはモーターで駆動されます。モード ロックは、自由に回転するディスクが、駆動される回転子の周波数の 有理数倍の周波数で回転するときに発生します。

モードロックを示す最も単純な数学モデルは、離散的な時間間隔で回転するディスクの動きを捉えようとする円マップです。

アーノルド・タングは、振動子間の相互作用、特にある振動子が別の振動子を駆動する場合を研究するときに最も頻繁に出現する。つまり、ある振動子が他の振動子に依存しているが、その逆はあり得ず、そのため、例えば倉本モデルで起こるように、振動子同士が相互に影響し合うことはない。これは、駆動力が周期的な動作をする駆動振動子の特殊なケースである。実際の例としては、心臓細胞（外部振動子）が周期的な電気信号を生成して心臓の収縮（駆動振動子）を刺激する。ここでは、振動子の周波数の関係を決定することが有用であり、おそらくより優れた人工ペースメーカーを設計するのに役立つ可能性がある。円写像の族は、この生物学的現象だけでなく、他の多くの現象の有用な数学モデルとして役立つ。^[6]

円写像の族は円のそれ自身への関数（または自己準同型）である。円内の点を、円内の点が位置する角度を表すを法として解釈すべき実数直線上の点とみなす方が数学的には簡単である。 を 以外の値で法とした場合、結果は角度を表すが、範囲全体を表せるように正規化する必要がある。これを念頭に置くと、円写像の族は次のように与えられる：^[7]${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle [0,2\pi ]}$

${\displaystyle \theta _{i+1}=g(\theta _{i})+\Omega }$

ここで、 は振動子の「自然」周波数であり、は外部振動子によって引き起こされる影響を生成する周期関数です。に対して の場合、粒子は一度に 単位で円の周りを単純に歩き回ることに注意してください。特に、 が無理数の場合、マップは無理数回転に縮小されます。 ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle g}$${\displaystyle g(\theta )=\theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$

^{アーノルド[8]}が最初に研究し、現在でも有用であることが証明されている 特定の円地図は次のとおりです。

${\displaystyle \theta _{i+1}=\theta _{i}+\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{i})}$

ここで、 は結合強度と呼ばれ、 を法として解釈する必要があります。 このマップは、パラメータとに応じて非常に多様な動作を示します。 を固定し、 を変化させると、この段落の周囲に分岐図が得られ、周期軌道、周期倍分岐、および可能性のあるカオス動作を観察できます。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega =1/3}$${\displaystyle K}$

円マップを表示する別の方法は次のとおりです。傾き で直線的に減少する関数を考えます。ゼロに達すると、その値は関数 によって記述される特定の振動値にリセットされます。ここで、 y(t) がゼロに達する 時間のシーケンスに注目します。${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle z(t)=c+b\sin(2\pi t)}$${\displaystyle \{t_{n}\}}$

このモデルは、 の時点でが成立することを示しています。この時点から、は まで線形に減少し、関数がゼロになるので、次のようになります。 ${\displaystyle t_{n-1}}$${\displaystyle y(t_{n-1})=c+b\sin(2\pi t_{n-1})}$${\displaystyle y}$${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=y(t_{n-1})-a\cdot (t_{n}-t_{n-1})\\[0.5em]0&=\left[c+b\sin(2\pi t_{n-1})\right]-at_{n}+at_{n-1}\\[0.5em]t_{n}&={\frac {1}{a}}\left[c+b\sin(2\pi t_{n-1})\right]+t_{n-1}\\[0.5em]t_{n}&=t_{n-1}+{\frac {c}{a}}+{\frac {b}{a}}\sin(2\pi t_{n-1})\end{aligned}}}$

と を選択すると、前述の円マップが得られます。 ${\displaystyle \Omega =c/a}$${\displaystyle K=2\pi b/a}$

${\displaystyle t_{n}=t_{n-1}+\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi t_{n-1}).}$

Glass, L. (2001) は、この単純なモデルは、細胞や血液中の物質濃度の調節など、いくつかの生物学的システムに適用可能であり、上記は特定の物質の濃度を表していると主張しています。 ${\displaystyle y(t)}$

このモデルでは、位相ロックは正弦波の周期ごとに正確に倍にリセットされることを意味します。回転数は の商になります。^[7]${\displaystyle N:M}$${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle z(t)}$${\displaystyle N/M}$

円自己準同型の一般的な族を考えてみましょう。

${\displaystyle \theta _{i+1}=g(\theta _{i})+\Omega }$

ここで、標準的な円写像については、 となります。円写像を写像 で表すと便利な場合もあります。 ${\displaystyle g(\theta )=\theta +(K/2\pi )\sin(2\pi \theta )}$${\displaystyle f(\theta )}$

${\displaystyle \theta _{i+1}=f(\theta _{i})=\theta _{i}+\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{i}).}$

ここで、これらの円自己準同型の興味深い特性をいくつか挙げてみましょう。

P1. は に対して単調に増加するため、 のこれらの値に対しては、反復は円内を前方にのみ移動し、後方には移動しません。これを確認するには、 の導関数が次の式であることに注意してください。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle K<1}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f'(\theta )=1+K\cos(2\pi \theta )}$

これは である限り正です。 ${\displaystyle K<1}$

P2.再帰関係を展開すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle \theta _{n}}$

${\displaystyle \theta _{n}=\theta _{0}+n\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sum _{i=0}^{n-1}\sin(2\pi \theta _{i}).}$

P3.と仮定すると、これらは周期 の周期的な固定点です。正弦波は周波数 1 Hz で振動するため、 の周期あたりの正弦波の振動数はとなり、の位相同期を特徴付けます。^[7]${\displaystyle \theta _{n}=\theta _{0}{\bmod {1}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle M=(\theta _{n}-\theta _{0})\cdot 1}$${\displaystyle n:M}$

P4.任意の に対して、 は真であり、つまり であることを意味します。このため、多くの目的において、反復が係数として取られるかどうかは問題ではありません。 ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$${\displaystyle f(\theta +p)=f(\theta )+p}$${\displaystyle f(\theta +p)=f(\theta ){\bmod {1}}}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle 1}$

P5（並進対称性）。^{[9] [7]}与えられた に対して、システム内に位相ロックがあると仮定します。すると、整数 に対して、位相ロックが存在することになります。これはまた、 がパラメータ に対して周期軌道である場合、任意の に対しても周期軌道であることを意味します。 ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle n:M}$${\displaystyle \Omega '=\Omega +p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n:(M+np)}$${\displaystyle \theta _{0},\dots ,\theta _{n}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega '=\Omega +p,p\in \mathbb {N} }$

これを理解するには、特性 2 の再帰関係が次のようになることに注意してください。

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{n}'&=\theta _{0}+n\Omega '+{\frac {K}{2\pi }}\sum _{i=0}^{n}\sin(2\pi \theta _{i})\\&=\theta _{0}+n(\Omega +p)+{\frac {K}{2\pi }}\sum _{i=0}^{n}\sin(2\pi \theta _{i})\\&=\theta _{n}+np,\end{aligned}}}$

したがって、元の位相ロックにより、次のようになります。${\displaystyle \theta _{n}-\theta _{0}=M}$${\displaystyle \theta _{n}'-\theta _{0}=\theta _{n}+np-\theta _{0}=M+np}$

P6.が有理数であるときはいつでも位相同期が起こります。さらに、 とすると、位相同期は です。 ${\displaystyle K=0}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega =p/q\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle q:p}$

性質2の再帰関係を考慮すると、有理数は次を意味します。 ${\displaystyle \Omega =p/q}$

${\displaystyle \theta _{n}=\theta _{0}+n{\frac {p}{q}}}$

そして、等式係数は が整数の場合にのみ成り立ち、これを満たす最初のものは です。したがって、 ${\displaystyle 1}$${\displaystyle n(p/q)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=q}$

${\displaystyle \theta _{q}=\theta _{0}+p}$

${\displaystyle (\theta _{q}-\theta _{0})=p}$

位相ロックを意味します。 ${\displaystyle q:p}$

無理数（無理数回転につながる）の場合、整数およびに対してとなる必要がありますが、その場合 およびは有理数となり、最初の仮説と矛盾します。${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle n\Omega =k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \Omega =k/n}$${\displaystyle \Omega }$

Kの値が小さい場合から中程度の値の場合(つまり、K  = 0からK  = 1 程度まで)、および Ω の値が特定の場合、マップはモード ロックまたは位相ロックと呼ばれる現象を示します。位相ロック領域では、θ _{n の}値は基本的にnの有理数倍として進みますが、小規模では無秩序に進む場合があります。

モード同期領域における限界動作は回転数によって与えられます。

${\displaystyle \omega =\lim _{n\to \infty }{\frac {\theta _{n}}{n}}.}$^[10]

これは地図巻き数とも呼ばれることがあります。

位相同期領域、またはアーノルド・タングは、右の図で黄色で示されています。このようなV字型の領域はそれぞれ、有理値Ω =  ⁠p/q⁠ K → 0の極限で。これらの領域のいずれかにおける ( K ,Ω) の値はすべて、回転数ω  =  ⁠となるような運動をもたらす。p/q例えば、図の中央下部の大きなV字型の領域内の（ K 、Ω）のすべての値は、回転数ω  =  ⁠に対応します。1/2⁠。「ロック」という用語が使用される理由の 1 つは、個々の値θ _{n が、}限界回転数を乱すことなく、かなり大きなランダムな外乱 (特定のK値に対して、舌の幅まで) によって乱される可能性があることです。つまり、 θ _n系列にかなりのノイズが追加されても、シーケンスは信号に「ロックオン」されたままです。ノイズの存在下で「ロックオン」するこの能力は、位相同期ループ電子回路の有用性の中心です。^{[引用が必要]}

あらゆる有理数にはモード同期領域が存在する⁠p/q⁠。円写像は、K = 0での測度ゼロの集合である有理数を、 K ≠ 0 での非ゼロの測度集合に写すと言われることがあります。 大きさ順に並べた最大の舌は、ファレー分数で発生します。Kを固定し、このイメージの断面をとって、ω がΩ の関数としてプロットされるようにすると、「悪魔の階段」が得られます。これは、カントール関数に一般的に似た形状です。K <1の場合、円写像は微分同相写像であり、安定解は 1 つしか存在しないことがわかります。しかし、 K>1の場合、これは当てはまらなくなり、2 つの重なり合うロック領域の領域が見つかります。円写像の場合、この領域では、安定モードロック領域が 2 つ以上重なり合うことはできないことがわかりますが、一般的な同期システムで重なり合うアーノルド舌の数に制限があるかどうかは不明です。^{[引用が必要]}

円マップは、カオスへのサブハーモニックルート、つまり 3、6、12、24、... の形式の周期倍増 も示します。

チリコフ標準写像は円写像と関連しており、同様の再帰関係を持ち、次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{n+1}&=\theta _{n}+p_{n}+{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{n})\\p_{n+1}&=\theta _{n+1}-\theta _{n}\end{aligned}}}$

両方の反復は 1 を法として行われます。本質的に、標準マップは、円マップのように強制的に固定されるのではなく、動的に変化することが許可されている運動量_p nを導入します。標準マップは、物理学ではキックされたローター ハミルトニアンによって研究されます。

アーノルド舌は、

• 心臓のリズム- Glass, L. et al. (1983) および McGuinness, M. et al. (2004) を参照
• 共鳴トンネルダイオード発振器の同期^[11]

• シュトゥルム語

• Weisstein、Eric W.「サークルマップ」。MathWorld。
• Boyland, PL (1986). 「円マップの分岐: アーノルド・タング、双安定性、回転間隔」. Communications in Mathematical Physics . 106 (3): 353–381. Bibcode :1986CMaPh.106..353B. doi :10.1007/BF01207252. S2CID  121088353.
• ギルモア、R.; ルフランク、M. (2002)。『カオスの位相学：ストレッチランドとスクイーズランドのアリス』。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。ISBN 0-471-40816--6。-セクション 2.12 で基本的な事実を簡単に説明します。
• Glass, L. ; Guevara, MR; Shrier, A.; Perez, R. (1983). 「周期的に刺激される心臓発振器の分岐とカオス」. Physica D: 非線形現象. 7 (1–3): 89–101. Bibcode :1983PhyD....7...89G. doi :10.1016/0167-2789(83)90119-7.-円形マップのコンテキストで心臓の心拍リズムの詳細な分析を実行します。
• McGuinness, M.; Hong, Y.; Galletly, D.; Larsen, P. (2004). 「人間の心肺系におけるアーノルド舌」. Chaos . 14 (1): 1–6. Bibcode :2004Chaos..14....1M. doi :10.1063/1.1620990. PMID  15003038.

• インタラクティブな Java アプレットを備えた円形マップ