共役クラス

数学、特に群論において、群の2 つの元と は、群内にとなる元がある場合に共役です。これは同値関係であり、その同値類は共役類と呼ばれます。言い換えると、各共役類は群内の すべての元に対して閉じています。${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle g}$${\displaystyle b=gag^{-1}.}$${\displaystyle b=gag^{-1}}$${\displaystyle g}$

同じ共役類のメンバーは、群の構造だけを使用して区別することはできないため、多くの特性を共有しています。非アーベル群の共役類の研究は、それらの構造の研究の基礎となります。^{[1] [2]}アーベル群の場合、各共役類は1つの要素を含む集合（単集合） です。

同じ共役類のメンバーに対して定数である関数は、類関数と呼ばれます。

を群とする。2つの元が共役であるとは、元が存在する場合であり、その場合 はの共役と呼ばれ、 はの共役と呼ばれる。${\displaystyle G}$${\displaystyle a,b\in G}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle ギャグ^{-1}=b,}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b.}$

可逆行列の一般線型群 の場合、共役関係は 行列相似性と呼ばれます。 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n)}$

共役関係は同値関係であり、したがって同値類に分割されることは簡単に示せます。（これは、群のすべての要素が正確に1つの共役類に属し、クラスとが等しいのは、およびが共役である場合のみであり、そうでない場合は互いに素であることを意味します。）要素を含む同値類はであり 、の共役類 と呼ばれます。${\displaystyle G}$${\displaystyle \operatorname {Cl} (a)}$${\displaystyle \operatorname {Cl} (b)}$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a\in G}$$${\displaystyle \operatorname {Cl} (a)=\left\{gag^{-1}:g\in G\right\}}$$${\displaystyle a.}$の類数は、異なる（非同値な）共役類の数です。同じ共役類に属するすべての要素は同じ順序。 ${\displaystyle G}$

共役類は、それらを記述することによって参照されるか、またはより簡潔に「6A」などの略語で参照されることがあります。「6A」は「位数が 6 の特定の共役類」を意味し、「6B」は位数が 6 の別の共役類を意味します。共役類 1A は位数が 1 の恒等式の共役類です。場合によっては、共役類を統一的な方法で記述できます。たとえば、対称群では、共役類をサイクル タイプで記述できます。

3 つの要素の6 つの順列からなる対称群には、3 つの共役類があります。 ${\displaystyle S_{3},}$

1. 変更はありません。単一メンバーの順序は 1 です。${\displaystyle (abc\to abc)}$
2. 2 つのを転置します。3 つの要素はすべて順序 2 になります。${\displaystyle (abc\to acb,abc\to bac,abc\to cba)}$
3. 3 つすべての巡回順列。2つの要素の順序は両方とも 3 です。${\displaystyle (abc\to bca,abc\to cab)}$

これら 3 つのクラスは、正三角形の等長変換の分類にも対応しています。

対称群S 4 , {\displaystyle S_{4},} は 4つの元の24通りの順列から成り、5つの共役類を持ち、その説明、サイクルの種類、要素の順序、要素とともにリストされている。

1. 変更なし。サイクルタイプ = [1 ⁴ ]。順序 = 1。メンバー = { (1, 2, 3, 4) }。この共役クラスを含む単一の行は、隣接する表に黒い円の行として表示されます。
2. 2 つを入れ替えます (他の 2 つは変更されません)。サイクル タイプ = [1 ² 2 ¹ ]。順序 = 2。メンバー = { (1, 2, 4, 3), (1, 4, 3, 2), (1, 3, 2, 4), (4, 2, 3, 1), (3, 2, 1, 4), (2, 1, 3, 4) })。この共役クラスを含む 6 行は、隣接する表で緑色で強調表示されています。
3. 3 つの巡回順列 (他の 1 つは変更されません)。循環タイプ = [1 ¹ 3 ¹ ]。順序 = 3。メンバー = { (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (3, 2, 4, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 1, 3, 2), (2, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4), (2, 3, 1, 4) })。この共役クラスを含む 8 行は、隣接する表に通常の印刷 (太字または色の強調表示なし) で表示されます。
4. 4つすべての巡回順列。循環タイプ = [4 ¹ ]。順序 = 4。メンバー = { (2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (3, 1, 4, 2), (3, 4, 2, 1), (4, 1, 2, 3), (4, 3, 1, 2) })。この共役クラスを含む6行は、隣接する表でオレンジ色で強調表示されています。
5. 2つを交換し、他の2つも交換します。サイクルタイプ = [2 ² ]。順序 = 2。メンバー = { (2, 1, 4, 3), (4, 3, 2, 1), (3, 4, 1, 2) })。この共役クラスを含む3行は、隣接する表に太字で表示されます。

立方体の適切な回転は、体の対角線の順列によって特徴付けられるが、共役によっても記述される。${\displaystyle S_{4}.}$

一般に、対称群${\displaystyle S_{n}}$の共役類の数はの整数分割の数に等しい。 これは、各共役類がの循環へのちょうど1つの分割に対応し、 の要素の順列が${\displaystyle n.}$${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}.}$

一般に、ユークリッド群はユークリッド空間における等長変換の共役によって研究することができます。

例

G = とします${\displaystyle S_{3}}$

a = ( 2 3 )

x = ( 1 2 3 )

x ^-1 = ( 3 2 1 )

次にxax ^-1

= ( 1 2 3 ) ( 2 3 ) ( 3 2 1 ) = ( 3 1 )

= ( 3 1 ) は ( 2 3 ) の共役である

• 単位元は常にそのクラス内の唯一の要素であり、つまり${\displaystyle \operatorname {Cl} (e)=\{e\}.}$
• がアーベルである場合、すべての に対して、すなわちすべて に対してです(逆もまた真です。つまり、すべての共役類がシングルトンである場合、はアーベルです)。${\displaystyle G}$${\displaystyle ギャグ^{-1}=a}$${\displaystyle a,g\in G}$${\displaystyle \operatorname {Cl} (a)=\{a\}}$${\displaystyle a\in G}$${\displaystyle G}$
• 2 つの要素が同じ共役類に属する場合 (つまり、共役である場合)、それらの順序は同じです。より一般的には、写像は内部自己同型と呼ばれるの自己同型であるため、についてのすべてのステートメントはについてのステートメントに変換できます。例については次の特性を参照してください。${\displaystyle a,b\in G}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b=gag^{-1},}$${\displaystyle \varphi (x)=gxg^{-1}}$${\displaystyle G}$
• と が共役であれば、それらの冪も共役です。 (証明: ならば)したがって、k乗を取ると共役類上の写像が得られ、どの共役類がその逆像に含まれるかを検討することができます。 たとえば、対称群では、(3)(2) 型 (3 サイクルと 2 サイクル) の元の平方は、(3) 型元であるため、(3) の冪乗類の 1 つは、(3)(2) 型 (ただし はの冪乗類) です。${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a^{k}}$${\displaystyle b^{k}.}$${\displaystyle a=gbg^{-1}}$${\displaystyle a^{k}=\left(gbg^{-1}\right)\left(gbg^{-1}\right)\cdots \left(gbg^{-1}\right)=gb^{k}g^{-1}.}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a^{k}}$
• 元がの中心にあるのは、その共役類に 1 つの元、つまりそれ自身だけがある場合に限ります。より一般的には、がの中心化、つまり となるすべての元からなる部分群を表す場合、そのインデックスはの共役類の元の数に等しくなります(軌道安定定理より)。${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle \operatorname {Z} (G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a)}$${\displaystyle a\in G,}$${\displaystyle g}$${\displaystyle ga=ag,}$ ${\displaystyle \left[G:\operatorname {C} _{G}(a)\right]}$${\displaystyle a}$
• およびを、サイクル型 のサイクルの長さとして現れる異なる整数とします（1サイクルを含む）。 を、それぞれについての長さのサイクルの数とします（ となるように）。すると、 の共役の数は次のように表されます。^[1]${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$${\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{s}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle i=1,2,\ldots ,s}$${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{s}k_{i}m_{i}=n}$${\displaystyle \sigma }$$${\displaystyle {\frac {n!}{\left(k_{1}!m_{1}^{k_{1}}\right)\left(k_{2}!m_{2}^{k_{2}}\right)\cdots \left(k_{s}!m_{s}^{k_{s}}\right)}}.}$$

任意の2つの要素に対して、の群作用 を定義します。この 作用の軌道は共役類であり、与えられた要素の安定子は要素の中心化子です。[ 3 ^]${\displaystyle g,x\in G,}$$${\displaystyle g\cdot x:=gxg^{-1}.}$$${\displaystyle G}$${\displaystyle G.}$

同様に、のすべての部分集合の集合に対するの群作用を、 の部分群の集合に対して と書くことで 定義できる。${\displaystyle G}$${\displaystyle G,}$$${\displaystyle g\cdot S:=gSg^{-1},}$$${\displaystyle G.}$

が有限群である場合、任意の群元 に対して、の共役類の元は中心化子の剰余類と 1 対 1 に対応します。これは、同じ剰余類に属する任意の 2 つの元および（したがって、中心化子 の一部に対して）は、 を共役すると同じ元を生成することを観察することでわかります。 これは、共役を介して群が自分自身に作用するものと考えると、軌道安定化子定理 からもわかります。そのため、軌道 は共役類であり、安定化子部分群は中心化子です。逆もまた成り立ちます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle a,}$${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a).}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle b=cz}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a)}$${\displaystyle a}$$${\displaystyle bab^{-1}=cza(cz)^{-1}=czaz^{-1}c^{-1}=cazz^{-1}c^{-1}=cac^{-1}.}$$

したがって、 の共役類の要素数はの中心化子のインデックスです。したがって、各共役類のサイズは、群の位数を分割します。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \left[G:\operatorname {C} _{G}(a)\right]}$${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a)}$${\displaystyle G}$

さらに、すべての共役類から1つの代表的要素を選択すると、共役類の非素性から、 要素の中心化要素 である中心の各要素がそれ自身だけを含む共役類を形成することを観察すると、類方程式が生成されます。^[4] ここで、和は中心にない各共役類の代表的要素についてです。 ${\displaystyle x_{i}}$$${\displaystyle |G|=\sum _{i}\left[G:\operatorname {C} _{G}(x_{i})\right],}$$${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(x_{i})}$${\displaystyle x_{i}.}$${\displaystyle \operatorname {Z} (G)}$ $${\displaystyle |G|=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{i}\left[G:\operatorname {C} _{G}(x_{i})\right],}$$

群の順序の約数に関する知識は、中心の順序または共役類の順序に関する情報を得るためによく使用されます。 ${\displaystyle |G|}$

有限- 群（つまり、 が素数でである順序を持つ群）を考えます。すべての有限- 群には非自明な中心があることを証明します。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle p^{n},}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle p}$

の共役類​​の位数はの位数を割り切れるので、中心にない共役類も の位数を持つことになります。ただし、類の等式では が求められます。このことから が割り切れることがわかります。${\displaystyle G}$${\displaystyle G,}$${\displaystyle H_{i}}$${\displaystyle p^{k_{i}},}$${\displaystyle 0<k_{i}<n.}$${\textstyle |G|=p^{n}=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{i}p^{k_{i}}.}$${\displaystyle p}$${\displaystyle |{\operatorname {Z} (G)}|,}$${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|>1.}$

特に、 のとき、はアーベル群である。なぜなら、任意の非自明な群の要素はまたはの位数を持つからである。 の何らかの要素が位数を持つ場合、は位数の巡回群と同型であり、したがってアーベルである。 一方、 のすべての非自明な要素が位数を持つ場合、したがって上記の結論により、または となる。 のとき、の中心にないの要素が存在する。 および の中心には少なくとも個の要素は含まれないが、 個の要素は含まれない点に注意すること。 したがって、 の位数はよりも厳密に大きい。したがって、 はの中心の要素である。したがって、はアーベルであり、実際、 の位数がそれぞれ である 2 つの巡回群の直積と同型である。${\displaystyle n=2,}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p^{2}.}$${\displaystyle a}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p^{2},}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p^{2},}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p,}$${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|>1,}$${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|=p>1}$${\displaystyle p^{2}.}$${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|=p>1,}$${\displaystyle b}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G.}$${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(b)}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(b)}$${\displaystyle p,}$${\displaystyle \left|\operatorname {C} _{G}(b)\right|=p^{2},}$${\displaystyle b}$${\displaystyle G,}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p.}$

より一般的には、任意の部分集合 （必ずしも部分群である必要はない）が与えられたとき、共役となる部分集合が となるようなものが存在する場合、となる部分集合を定義する。となるすべての部分集合の集合を とする。${\displaystyle S\subseteq G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T\subseteq G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle T=gSg^{-1}.}$${\displaystyle \operatorname {Cl} (S)}$${\displaystyle T\subseteq G}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S.}$

よく使われる定理は、任意の部分集合が与えられたとき、 における（ の正規化子）のインデックスはの濃度に等しいというものです。 ${\displaystyle S\subseteq G,}$${\displaystyle \operatorname {N} (S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \operatorname {Cl} (S)}$

${\displaystyle |\operatorname {Cl} (S)|=[G:N(S)].}$

これは、の場合、 の場合に限り、言い換えれば、 の場合に限り、 が同じ剰余類に含まれるためである。${\displaystyle g,h\in G,}$${\displaystyle gSg^{-1}=hSh^{-1}}$${\displaystyle g^{-1}h\in \operatorname {N} (S),}$${\displaystyle g{\text{ and }}h}$${\displaystyle \operatorname {N} (S).}$

この式を使用すると、共役類の要素の数について先に示した式が一般化されます。 ${\displaystyle S=\{a\},}$

上記は、 の部分群について話すときに特に役立ちます。したがって、 の部分群は共役類に分割することができ、2 つの部分群が同じ類に属するのは、それらが共役である場合のみです。共役部分群は同型ですが、同型部分群は共役である必要はありません。たとえば、アーベル群には、同型ではあるが共役になることのない 2 つの異なる部分群が存在する場合があります。 ${\displaystyle G.}$

経路連結位相空間の基本群における共役類は、自由ホモトピーの下での自由ループの同値類として考えることができます。

任意の有限群において、複素数上の非同型な既約表現の数は、共役類の数と正確に一致します。

• 位相共役性 – 位相幾何学における概念
• FC グループ – 群論数学におけるグループ
• 共役閉部分群

• グリエ、ピエール・アントワーヌ（2007）。抽象代数。数学大学院テキスト。第242巻（第2版）。シュプリンガー。ISBN 978-0-387-71567-4。

• 「共役要素」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]