初期値問題

多変数微分積分学において、初期値問題^[a] ( IVP ) は、領域内の特定の点における未知の関数の値を指定する初期条件を伴う常微分方程式です。物理学やその他の科学においてシステムをモデル化することは、多くの場合、初期値問題を解くことに相当します。その文脈では、微分初期値は、問題の初期条件が与えられた場合に システムが時間の経過とともにどのように進化するかを指定する方程式です。

初期値問題は微分方程式である

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t))}$の開集合 で ある。${\displaystyle f\colon \Omega \subset \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}}$

の領域内の点とともに${\displaystyle f}$

${\displaystyle (t_{0},y_{0})\in \Omega ,}$

初期条件と呼ばれる。

初期値問題の解は、微分方程式の解であり、 ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}.}$

高次元では、微分方程式は方程式の族に置き換えられ、空間内の位置に最も一般的に関連付けされるベクトル として見られます。より一般的には、未知の関数は、バナッハ空間や超関数の空間などの無限次元空間上の値を取ることができます。 ${\displaystyle y_{i}'(t)=f_{i}(t,y_{1}(t),y_{2}(t),\dotsc )}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle (y_{1}(t),\dotsc ,y_{n}(t))}$${\displaystyle y}$

初期値問題は、導関数を独立関数と同じように扱うことによって高次の問題に拡張されます。 ${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t))}$

ピカール・リンデレーフの定理は、t ₀とy _{0 を}含む領域上でfが連続であり、変数yに関するリプシッツ条件を満たす場合、 t _{0 を}含むある区間上で一意の解が保証されることを保証します。この定理の証明は、問題を同等の積分方程式として再定式化することによって進めます。積分は、1 つの関数を別の関数にマッピングする演算子と見なすことができ、その場合、解は演算子の不動点になります。次に、バナッハの不動点定理を適用して、初期値問題の解である一意の不動点が存在することを示します。

ピカール・リンデレーフ定理の古い証明では、積分方程式の解、つまり初期値問題の解に収束する関数の列を構築します。このような構成は、「ピカール法」または「逐次近似法」と呼ばれることもあります。このバージョンは、本質的にバナッハの不動点定理の特殊なケースです。

岡村 宏は、初期値問題の解が一意となるための必要十分条件を得ました。この条件は、システムの リアプノフ関数の存在に関係しています。

状況によっては、関数fがC ¹クラス、あるいはLipschitz クラスでさえない場合があり、そのため一意の解の局所的存在を保証する通常の結果は適用されません。しかし、ペアノの存在定理は、 f が単に連続している場合でも、解が時間的に局所的に存在することが保証されることを証明します。問題は、一意性が保証されていないことです。結果は、Coddington & Levinson (1955、定理 1.3) または Robinson (2001、定理 2.6) に記載されています。さらに一般的な結果は、いくつかの不連続関数fの存在を証明するCarathéodory の存在定理です。

簡単な例として、と を解くことが挙げられます。これら 2 つの方程式を満たす の公式を見つけようとしています。 ${\displaystyle y'(t)=0.85y(t)}$${\displaystyle y(0)=19}$${\displaystyle y(t)}$

方程式を並べ替えて、左側に ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {y'(t)}{y(t)}}=0.85}$

ここで両辺を について積分します(これにより未知の定数 が導入されます)。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle \int {\frac {y'(t)}{y(t)}}\,dt=\int 0.85\,dt}$

${\displaystyle \ln |y(t)|=0.85t+B}$

両辺を累乗して対数を消去する

${\displaystyle |y(t)|=e^{B}e^{0.85t}}$

を新たな未知の定数とすると、 ${\displaystyle C}$${\displaystyle C=\pm e^{B}}$

${\displaystyle y(t)=Ce^{0.85t}}$

ここで の値を見つける必要があります。を最初に指定したように使用し、 に0を、 に19を代入します。${\displaystyle C}$${\displaystyle y(0)=19}$${\displaystyle t}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle 19=Ce^{0.85\cdot 0}}$

${\displaystyle C=19}$

これにより、 の最終解が得られます。 ${\displaystyle y(t)=19e^{0.85t}}$

2番目の例

解決策

${\displaystyle y'+3y=6t+5,\qquad y(0)=3}$

見つけることができる

${\displaystyle y(t)=2e^{-3t}+2t+1.\,}$

確かに、

${\displaystyle {\begin{aligned}y'+3y&={\tfrac {d}{dt}}(2e^{-3t}+2t+1)+3(2e^{-3t}+2t+1) \\&=(-6e^{-3t}+2)+(6e^{-3t}+6t+3)\\&=6t+5.\end{aligned}}}$

3番目の例

解決策

${\displaystyle y'=y^{\frac {2}{3}},\qquad y(0)=0}$

${\displaystyle \int {\frac {y'}{y^{\frac {2}{3}}}}\,dt=\int y^{-{\frac {2}{3}}}\,dy=\int 1\,dt}$

${\displaystyle 3(y(t))^{\frac {1}{3}}=t+B}$

初期条件を適用すると、次の解が得られます。 ${\displaystyle B=0}$

${\displaystyle y(t)={\frac {t^{3}}{27}}}$。

ただし、次の関数も初期値問題の解です。

${\displaystyle f(t)=\left\{{\begin{array}{lll}{\frac {(t-t_{1})^{3}}{27}}&{\text{if}}&t\leq t_{1}\\0&{\text{if}}&t_{1}\leq x\leq t_{2}\\{\frac {(t-t_{2})^{3}}{27}}&{\text{if}}&t_{2}\leq t\\\end{array}}\right.}$

この関数はどこでも微分可能かつ連続であり、微分方程式と初期値問題を満たしています。したがって、これは無限数の解を持つ問題の例です。

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