行列差分方程式 は、ある時点における変数のベクトル （または場合によっては行列）の値が、行列を用いて、1 つ以上の前の時点における自身の値と関連付けられる 差分方程式 です。[ 1 ] [ 2 ] は 、変数ベクトルの任意の 2 つの値間の最大時間間隔です。たとえば、
x t = A x t − 1 + B x t − 2 \displaystyle \mathbf {x} _{t}=\mathbf {Ax} _{t-1}+\mathbf {Bx} _{t-2}}
これは、 x n × 1A B n × n 定数項 が追加されていないため、同次方程式です。同じ方程式は、次のように書くこともできます。
x t + 2 = A x t + 1 + B x t \displaystyle \mathbf {x} _{t+2}=\mathbf {Ax} _{t+1}+\mathbf {Bx} _{t}}
または
x n = A x n − 1 + B x n − 2 {\displaystyle \mathbf {x} _{n}=\mathbf {Ax} _{n-1}+\mathbf {Bx} _{n-2}}
最もよく遭遇する行列差分方程式は1階のものである。
非均質な一次の場合と定常状態 非同次1階行列差分方程式の例は次のとおりです。
x t = A x t − 1 + b {\displaystyle \mathbf {x} _{t}=\mathbf {Ax} _{t-1}+\mathbf {b} } 加法定数ベクトルb x x ** は差分方程式でx t = x t −1 = x * と設定し、 x * について解くことで求められる。
x * = [ 私 − A ] − 1 b {\displaystyle \mathbf {x} ^{*}=[\mathbf {I} -\mathbf {A} ]^{-1}\mathbf {b} } ここで、Iは n × n の 単位行列 であり、 [ I − A ]は 可逆で あると仮定する。すると、非同次方程式は、定常状態からの偏差に関して同次形式で書き直すことができる。
[ x t − x * ] = A [ x t − 1 − x * ] {\displaystyle \left[\mathbf {x} _{t}-\mathbf {x} ^{*}\right]=\mathbf {A} \left[\mathbf {x} _{t-1}-\mathbf {x} ^{*}\right]}
一次ケースの安定性 1 階行列差分方程式[ x t x *] = A [ x t −1x *]は 安定 である、 つまりx t は x *に収束するが、 これは遷移行列A 固有値の 絶対値 が 1 未満 (つまりスペクトル半径が 1 未満)である場合に限る。
一次の場合の解 方程式が同次形式y t = Ay t −1y の初期値である初期条件 y 0
y 1 = A y 0 y 2 = A y 1 = A 2 y 0 y 3 = A y 2 = A 3 y 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} _{1}&=\mathbf {Ay} _{0}\\\mathbf {y} _{2}&=\mathbf {Ay} _{1}=\mathbf {A} ^{2}\mathbf {y} _{0}\\\mathbf {y} _{3}&=\mathbf {Ay} _{2}=\mathbf {A} ^{3}\mathbf {y} _{0}\end{aligned}}} などなど、数学的帰納法により、 t に関する解は次のようになる。
y t = A t y 0 {\displaystyle \mathbf {y} _{t}=\mathbf {A} ^{t}\mathbf {y} _{0}} さらに、Aが対角化可能であれば、 Aを その固有値と固有ベクトル で書き直すことができ、解は次のようになる。
y t = P D t P − 1 y 0 、 {\displaystyle \mathbf {y} _{t}=\mathbf {PD} ^{t}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {y} _{0},} ここで、P A 固有ベクトルである n × n D は、対角要素が A n × n 対角行列 です。この解は、上記の安定性結果の動機となります。A t は 、 A の固有値がすべて絶対値で 1 未満である場合に限り、時間とともにゼロ行列に縮小します。
n y t Ay t −1y 1 y tの解方程式は、 y 1, t A n 個 の固有値で表されていることを示しています。したがって、 y 1 y 1
y 1 、 t = 1 1 y 1 、 t − 1 + 1 2 y 1 、 t − 2 + ⋯ + 1 n y 1 、 t − n {\displaystyle y_{1,t}=a_{1}y_{1,t-1}+a_{2}y_{1,t-2}+\dots +a_{n}y_{1,t-n}} ここで、パラメータa i は行列A の特性方程式 から得られる。
λ n − 1 1 λ n − 1 − 1 2 λ n − 2 − ⋯ − 1 n λ 0 = 0. {\displaystyle \lambda ^{n}-a_{1}\lambda ^{n-1}-a_{2}\lambda ^{n-2}-\dots -a_{n}\lambda ^{0}=0.} したがって、 n 次元一次線形システム の各スカラー変数は、行列差分方程式と同じ安定性特性（安定または不安定）を持つ、単変数n 次差分方程式に従って変化します。
高次ケースの解と安定性 高次の行列差分方程式（ つまり、1周期よりも長い時間遅延を持つ方程式）は、 ブロック行列 （行列の行列）を用いて1次形式に変換することで解くことができ、その安定性を解析できます。例えば、2次の方程式があるとします。
x t = A x t − 1 + B x t − 2 {\displaystyle \mathbf {x} _{t}=\mathbf {Ax} _{t-1}+\mathbf {Bx} _{t-2}} 変数ベクトルx n × 1A Bは n × n
[ x t x t − 1 ] = [ A B 私 0 ] [ x t − 1 x t − 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{t}\\\mathbf {x} _{t-1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {I} &\mathbf {0} \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{t-1}\\\mathbf {x} _{t-2}\end{bmatrix}}} ここで、I n × n 単位行列 、0は n × n 零行列 である。次に、現在および 1 回前の変数の2 n × 1スタックベクトルを z t 2 n × 2 n ブロック行列をL
z t = L t z 0 {\displaystyle \mathbf {z} _{t}=\mathbf {L} ^{t}\mathbf {z} _{0}} また、これまでと同様に、この積み重ねられた方程式、ひいては元の2階方程式は、行列L
非線形行列差分方程式：リッカチ方程式 線形二次ガウス制御 では、現在および将来のコスト行列 の逆方向の変化を表す非線形行列方程式（以下、H リカッチ方程式 と呼ばれ、線形行列差分方程式に従って変化する変数ベクトルを、二次 コスト関数を 最適化するために外生 ベクトルを操作することによって制御する場合に生じます。このリカッチ方程式は、以下の形式、または類似の形式をとります。
H t − 1 = K + A ′ H t A − A ′ H t C [ C ′ H t C + R ] − 1 C ′ H t A {\displaystyle \mathbf {H} _{t-1}=\mathbf {K} +\mathbf {A} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {A} -\mathbf {A} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {C} \left[\mathbf {C} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {C} +\mathbf {R} \right]^{-1}\mathbf {C} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {A} } ここで、 H K A n × n C n × k R k × k n k A C は線形方程式 から、パラメータ行列K R ここを参照してください。
一般に、この方程式はt に関してH t を 解析的に解くことはできません。むしろ、 H t R = 0 n = k + 1 の場合、このリッカチ方程式はスカラー有理差分方程式 に還元することで解析的に解けることが示されています[ 3 ] k およびnに対して 、 遷移行列A が [ 4 ]
ほとんどの状況において、 H H は H *確率的制御 § 離散時間 も参照してください。
関連するリッカチ方程式[ 5 ]
X t + 1 = − [ E + B X t ] [ C + A X t ] − 1 {\displaystyle \mathbf {X} _{t+1}=-\left[\mathbf {E} +\mathbf {B} \mathbf {X} _{t}\right]\left[\mathbf {C} +\mathbf {A} \mathbf {X} _{t}\right]^{-1}} ここで、行列X 、A 、B 、C 、E n × n X t = N t D t − 1 、 {\displaystyle \mathbf {X} _{t}=\mathbf {N} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1},} これは確かにt = 0N 0 = X 0 D 0 = I
X t + 1 = − [ E + B N t D t − 1 ] D t D t − 1 [ C + A N t D t − 1 ] − 1 = − [ E D t + B N t ] [ [ C + A N t D t − 1 ] D t ] − 1 = − [ E D t + B N t ] [ C D t + A N t ] − 1 = N t + 1 D t + 1 − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {X} _{t+1}&=-\left[\mathbf {E} +\mathbf {BN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]\mathbf {D} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\left[\mathbf {C} +\mathbf {AN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]^{-1}\\&=-\left[\mathbf {ED} _{t}+\mathbf {BN} _{t}\right]\left[\left[\mathbf {C} +\mathbf {AN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]\mathbf {D} _{t}\right]^{-1}\\&=-\left[\mathbf {ED} _{t}+\mathbf {BN} _{t}\right]\left[\mathbf {CD} _{t}+\mathbf {AN} _{t}\right]^{-1}\\&=\mathbf {N} _{t+1}\mathbf {D} _{t+1}^{-1}\end{aligned}}} したがって帰納法によってその形式はX t = N t D t − 1 {\displaystyle \mathbf {X} _{t}=\mathbf {N} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}} すべてのt に対して成り立つ。すると、 N D
[ N t + 1 D t + 1 ] = [ − B − E A C ] [ N t D t ] ≡ J [ N t D t ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t+1}\\\mathbf {D} _{t+1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\mathbf {B} &-\mathbf {E} \\\mathbf {A} &\mathbf {C} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t}\\\mathbf {D} _{t}\end{bmatrix}}\equiv \mathbf {J} {\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t}\\\mathbf {D} _{t}\end{bmatrix}}} したがって帰納法によって
[ N t D t ] = J t [ N 0 D 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t}\\\mathbf {D} _{t}\end{bmatrix}}=\mathbf {J} ^{t}{\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{0}\\\mathbf {D} _{0}\end{bmatrix}}}
参考文献 ↑ Cull, Paul; Flahive, Mary ; Robson, Robbie (2005). Difference Equations: From Rabbits to Chaos . Springer. ch. 7. ISBN 0-387-23234-6 。 ↑ Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (3rd ed.). McGraw-Hill. pp. 608–612 . ISBN 9780070107809 。↑ Balvers, Ronald J.; Mitchell, Douglas W. (2007). "線形二次制御問題の次元削減" (PDF) . Journal of Economic Dynamics and Control . 31 (1): 141– 159. doi : 10.1016/j.jedc.2005.09.013 . S2CID 121354131 . ↑ Vaughan, DR (1970). "離散リッカチ方程式の非再帰的代数解". IEEE Transactions on Automatic Control . 15 (5): 597–599 . doi : 10.1109/TAC.1970.1099549 . ↑ マーティン、CF;アンマー、G. (1991)。 「行列リカッチ方程式の幾何学と関連する固有値法」。ビタニで。ラウブ;ウィレムス（編）。 リッカティ方程式 。スプリンガー・フェルラーク。 土井 : 10.1007/978-3-642-58223-3_5 。 ISBN 978-3-642-63508-3 。
![{\displaystyle \mathbf {x} ^{*}=[\mathbf {I} -\mathbf {A} ]^{-1}\mathbf {b} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e404724ee47f75c0d0868fc5f6b4f7ea2d2900cd)
![{\displaystyle \left[\mathbf {x} _{t}-\mathbf {x} ^{*}\right]=\mathbf {A} \left[\mathbf {x} _{t-1}-\mathbf {x} ^{*}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70c1370a2651fb30908b000bb5d0691110681d2f)
![\displaystyle \mathbf {H} _{t-1}=\mathbf {K} +\mathbf {A} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {A} -\mathbf {A} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {C} \left[\mathbf {C} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {C} +\mathbf {R} \right]^{-1}\mathbf {C} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e64f06b4994f69562e1d37c1355fe368bcadff50)
![\displaystyle \mathbf {X} _{t+1}=-\left[\mathbf {E} +\mathbf {B} \mathbf {X} _{t}\right]\left[\mathbf {C} +\mathbf {A} \mathbf {X} _{t}\right]^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dafb4978c954da6fa028bb46421954fcb135e0bc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {X} _{t+1}&=-\left[\mathbf {E} +\mathbf {BN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]\mathbf {D} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\left[\mathbf {C} +\mathbf {AN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]^{-1}\\&=-\left[\mathbf {ED} _{t}+\mathbf {BN} _{t}\right]\left[\left[\mathbf {C} +\mathbf {AN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]\mathbf {D} _{t}\right]^{-1}\\&=-\left[\mathbf {ED} _{t}+\mathbf {BN} _{t}\right]\left[\mathbf {CD} _{t}+\mathbf {AN} _{t}\right]^{-1}\\&=\mathbf {N} _{t+1}\mathbf {D} _{t+1}^{-1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66124b1c1269543330c06330e11bb3c9cf65f15e)
