シンプレクティック幾何学

シンプレクティック幾何学は、シンプレクティック多様体、すなわち閉じた非退化2形式を備えた微分可能多様体を研究する微分幾何学および微分位相幾何学の一分野です。シンプレクティック幾何学は、古典力学のハミルトン形式に由来し、特定の古典系の位相空間がシンプレクティック多様体の構造をとります。^{[ 1 ]}

ヘルマン・ワイルによって数学に取り入れられた「シンプレクティック」という用語は、^{[ 2 ] [ 3 ]}「complex」のギリシャ語からの借用語である。以前は、「シンプレクティック群」は「線複素群」と呼ばれていた。「complex」はラテン語のcom-plexusに由来し、「一緒に編み込まれた」（co- + plexus）という意味である。一方、「symplectic」は対応するギリシャ語のsym-plektikos（συμπλεκτικός「一緒に絡み合う、または一緒に編む、結合する」）を表している。どちらの場合も、語幹は折り畳むまたは織る概念を表すインド・ヨーロッパ祖語の語根*pleḱ- に由来し、接頭辞は「一体性」を示唆している。この名称は、複素構造とシンプレクティック構造の間の深いつながりを反映している。

ダルブーの定理によれば、シンプレクティック多様体は局所的に標準シンプレクティックベクトル空間と同型である。したがって、シンプレクティック多様体はグローバル（位相的）不変量のみを持つ。「シンプレクティック位相」という用語は、「シンプレクティック幾何学」とほぼ同義で用いられることが多い。

シンプレクティック幾何学は、微分可能な多様体である滑らかな偶数次元空間上で定義されます。この空間上では、空間内の二次元オブジェクトの大きさを測定できる幾何学的オブジェクト、シンプレクティック2形式が定義されます。シンプレクティック幾何学におけるシンプレクティック形式は、リーマン幾何学における計量テンソルと同様の役割を果たします。計量テンソルが長さと角度を測定するのに対し、シンプレクティック形式は向き付けられた面積を測定します。^{[ 4 ]}

シンプレクティック幾何学は古典力学の研究から生まれ、シンプレクティック構造の一例として一次元における物体の運動が挙げられる。物体の軌跡を特定するには、位置qと運動量pの両方が必要であり、これらはユークリッド平面上の点 ( p , q )を形成する。$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$この場合、シンプレクティック形式は

${\displaystyle \omega =dp\wedge dq}$

そして、これは平面上の領域Sの面積Aを積分によって測定する面積形式です。

${\displaystyle A=\int _{S}\omega .}$

この領域が重要なのは、保存力学系が時間とともに進化するにつれて、この領域が不変となるからである。^{[ 4 ]}

高次元のシンプレクティック幾何学も同様に定義される。2n次元のシンプレクティック幾何学は、方向のペアから構成される。

${\displaystyle ((x_{1},x_{2}),(x_{3},x_{4}),\ldots (x_{2n-1},x_{2n}))}$

2 n次元多様体とシンプレクティック形式

${\displaystyle \omega =dx_{1}\wedge dx_{2}+dx_{3}\wedge dx_{4}+\cdots +dx_{2n-1}\wedge dx_{2n}.}$

このシンプレクティック形式は、空間内の 2 n次元領域Vのサイズを、方向のペアによって形成される各平面へのVの投影の面積の合計として与えます^{[ 4 ] 。}

${\displaystyle A=\int _{V}\omega =\int _{V}dx_{1}\wedge dx_{2}+\int _{V}dx_{3}\wedge dx_{4}+\cdots +\int _{V}dx_{2n-1}\wedge dx_{2n}.}$

リーマン幾何学は、非退化で対称な2次元テンソル（計量テンソルと呼ばれる）を備えた微分可能多様体の研究である。シンプレクティック幾何学は、リーマン幾何学と多くの類似点と相違点を持つ。

リーマン多様体の場合とは異なり、シンプレクティック多様体には曲率などの局所不変量はありません。これは、2 n次元シンプレクティック多様体の任意の点の近傍が、開集合上の標準的なシンプレクティック構造と同型であるというダルブーの定理の結果です。$\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$。

リーマン幾何学とのもう1つの違いは、すべての微分可能多様体がシンプレクティック形式を持つわけではないということです。特定の位相的制約があります。たとえば、すべてのシンプレクティック多様体は偶数次元で向き付け可能です。さらに、M が閉じたシンプレクティック多様体である場合、第 2ド・ラーム コホモロジー群H ² ( M ) は非自明です (さらに、すべての偶数次元コホモロジー群は非自明です)。これは、たとえば、シンプレクティック形式を持つ唯一のn次元球面は2 次元球面であることを意味します。

この2つの分野に共通する例として、リーマン幾何学における測地線とシンプレクティック幾何学における擬正則曲線との類似性が挙げられる。測地線は（局所的に）最短の長さを持つ曲線であり、擬正則曲線は面積が最小となる曲面である。これらの概念はどちらも、それぞれの分野において基本的な役割を果たしている。

すべてのケーラー多様体はシンプレクティック多様体でもあります。1970年代に入っても、シンプレクティックの専門家は、コンパクトな非ケーラーシンプレクティック多様体が存在するかどうか確信が持てませんでしたが、それ以降、多くの例が構築されました（最初の例はウィリアム・サーストンによるものです）。特に、ロバート・ゴンプは、すべての有限表示群が何らかのシンプレクティック4多様体の基本群として現れることを示しました。これはケーラーの場合とは著しく対照的です。

ほとんどのシンプレクティック多様体はケーラー多様体ではないと言える。したがって、 シンプレクティック形式と互換性のある積分可能な複素構造を持たない。しかし、ミハイル・グロモフは、シンプレクティック多様体は互換性のある概複素構造を豊富に持ち、遷移写像が正則であるという要件を除いて、ケーラー多様体のすべての公理を満たすという重要な観察を行った。

グロモフは、シンプレクティック多様体上のほぼ複素構造の存在を利用して擬正則曲線の理論を発展させ、^{[ 5 ]}シンプレクティック位相幾何学における多くの進歩につながり、現在グロモフ・ウィッテン不変量として知られるシンプレクティック不変量のクラスもその一つである。後に、アンドレアス・フローアは擬正則曲線の手法を用いて、フローアホモロジーとして知られるシンプレクティック幾何学におけるもう一つの重要なツールを発明した。^{[ 6 ]}

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• ウィキメディア・コモンズにあるシンプレクティック幾何学関連のメディア
• 「シンプレクティック構造」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]