物理学において、ランジュバン方程式（ ポール・ランジュバン にちなんで命名）は、決定論的力と変動的（「ランダム」）力の組み合わせを受けたときのシステムの進化を記述する確率微分方程式 です。ランジュバン方程式の従属変数は、通常、システムの他の（微視的）変数に比べてゆっくりとしか変化しない集合的（巨視的）変数です。この速い（微視的）変数が、ランジュバン方程式の確率的性質の原因となっています。応用例の一つとして、流体中の微粒子の変動運動をモデル化したブラウン運動があります。
一般的なランジュバン方程式 古典力学から一般的なランジュバン方程式が正式に導出されている。[ 8 ] [ 9 ] 臨界力学の理論 [ 10 ] 統計力学 の他の分野で中心的な役割を果たしている。上記のブラウン運動の方程式は、その特殊な場合である。
導出における重要なステップは、自由度を遅いもの と速いもの に分けることである。例えば、液体中の局所的な熱力学的平衡は 数回の衝突時間で達成されるが、質量やエネルギーなどの保存量の密度が平衡に緩和するにははるかに長い時間がかかる。したがって、保存量の密度、特にその長波長成分は、遅い変数候補である。この区分は、ツヴァンツィヒ射影演算子 を用いて形式的に表現できる。[ 11 ] しかしながら、この導出は、厳密な証明のない仮定に依存しており、物理システムの妥当な近似としてのみ正当化されるため、数理物理学の 観点からは完全に厳密ではない。
させてA = { A 私 } {\displaystyle A=\{A_{i}\}} d A 私 d t = k B T ∑ j [ A 私 、 A j ] d H d A j − ∑ j λ 私 、 j （ A ） d H d A j + ∑ j d λ 私 、 j （ A ） d A j + η 私 （ t ） 。 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A_{i}}{\mathrm {d} t}}=k_{\text{B}}T\sum \limits _{j}[A_{i},A_{j}]{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}-\sum \limits _{j}\lambda _{i,j}(A){\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}+\sum \limits _{j}{\frac {\mathrm {d} \lambda _{i,j}(A)}{\mathrm {d} A_{j}}}+\eta _{i}(t).}
変動する力η 私 （ t ） {\displaystyle \eta _{i}(t)} ガウス確率分布 に従う⟨ η 私 （ t ） η j （ t ′ ） ⟩ = 2 λ 私 、 j （ A ） δ （ t − t ′ ） 。 {\displaystyle \langle \eta _{i}(t)\,\eta _{j}(t')\rangle =2\lambda _{i,j}(A)\delta (t-t').} オンサーガーの相互関係を意味する λ 私 、 j = λ j 、 私 {\displaystyle \lambda _{i,j}=\lambda _{j,i}} λ {\displaystyle \lambda } d λ 私 、 j / d A j {\displaystyle \mathrm {d} \lambda _{i,j}/\mathrm {d} A_{j}} λ {\displaystyle \lambda } A {\displaystyle A} H = − ln （ p 0 ） {\displaystyle {\mathcal {H}}=-\ln(p_{0})} ハミルトニアン を表し、p 0 （ A ） {\displaystyle p_{0}(A)} A {\displaystyle A} [ A 私 、 A j ] {\displaystyle [A_{i},A_{j}]} ポアソン括弧 の射影である。A 私 {\displaystyle A_{i}} A j {\displaystyle A_{j}}
ブラウン運動の場合、H = p 2 / （ 2 m k B T ） {\displaystyle {\mathcal {H}}=\mathbf {p} ^{2}/(2mk_{\text{B}}T)} A = { p } {\displaystyle A=\{\mathbf {p} \}} A = { x 、 p } {\displaystyle A=\{\mathbf {x} ,\mathbf {p} \}} [ x 私 、 p j ] = δ 私 、 j {\displaystyle [x_{i},p_{j}]=\delta _{i,j}} d x / d t = p / m {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} /\mathrm {d} t=\mathbf {p} /m} x {\displaystyle \mathbf {x} } η x {\displaystyle \eta _{x}} λ x 、 p {\displaystyle \lambda _{x,p}}
例
電気抵抗器における熱雑音 抵抗器とコンデンサーからなる電気回路 上述の典型的なブラウン粒子と、抵抗器の熱ゆらぎによって発生する電圧であるジョンソンノイズ の間には密接な類似性がある。 [ 12 ] 抵抗 R と容量 C からなる電気回路を示している。遅い変数は、抵抗器の両端間の電圧Uである。ハミルトニアンは次のように表される。 H = E / k B T = C U 2 / （ 2 k B T ） {\displaystyle {\mathcal {H}}=E/k_{\text{B}}T=CU^{2}/(2k_{\text{B}}T)} d U d t = − U R C + η （ t ） 、 ⟨ η （ t ） η （ t ′ ） ⟩ = 2 k B T R C 2 δ （ t − t ′ ） 。 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {U}{RC}}+\eta (t),\quad \langle \eta (t)\,\eta (t')\rangle ={\frac {2k_{\text{B}}T}{RC^{2}}}\delta (t-t').}
この式は相関関数を決定するために使用できます。 ⟨ U （ t ） U （ t ′ ） ⟩ = k B T C exp （ − | t − t ′ | R C ） ≈ 2 R k B T δ （ t − t ′ ） 、 {\displaystyle \langle U(t)\,U(t')\rangle ={\frac {k_{\text{B}}T}{C}}\exp \left(-{\frac {|t-t'|}{RC}}\right)\approx 2Rk_{\text{B}}T\delta (t-t'),} 静電容量C が無視できるほど小さくなる と、ホワイトノイズ（ジョンソンノイズ）になる。
臨界ダイナミクス 秩序パラメーター のダイナミクスφ {\displaystyle \varphi } 臨界点 付近で遅くなり、ランジュバン方程式で記述できる。[ 10 ] 普遍性クラス 「モデル A」である。 ∂ ∂ t φ （ x 、 t ） = − λ δ H δ φ + η （ x 、 t ） 、 H = ∫ d d x [ 1 2 r 0 φ 2 + u φ 4 + 1 2 （ ∇ φ ） 2 ] 、 ⟨ η （ x 、 t ） η （ x ′ 、 t ′ ） ⟩ = 2 λ δ （ x − x ′ ） δ （ t − t ′ ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}\varphi (\mathbf {x} ,t)&=-\lambda {\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \varphi }}+\eta {(\mathbf {x} ,t)},\\{\mathcal {H}}&=\int d^{d}x\left[{\frac {1}{2}}r_{0}\varphi ^{2}+u\varphi ^{4}+{\frac {1}{2}}(\nabla \varphi )^{2}\right],\\\langle \eta (\mathbf {x} ,t)\,\eta (\mathbf {x} ',t')\rangle &=2\lambda \,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\,\delta (t-t').\end{aligned}}}
その他の普遍性クラス（命名法は「モデル A」、 …、「モデル J」）には、拡散する秩序パラメーター、複数の成分を持つ秩序パラメーター、その他の臨界変数、および/またはポアソン括弧からの寄与が含まれます。[ 10 ]
流体中の調和振動子 ランジュバン方程式による広がりを示す調和振動子 の位相図 調和ポテンシャルにおけるランジュバン動力学の平衡確率 m d v d t = − λ v + η （ t ） − k x 。 {\displaystyle m{\frac {dv}{dt}}=-\lambda v+\eta (t)-kx.}
流体中の粒子は、ポテンシャルエネルギー関数、減衰力、およびゆらぎ散逸定理 によって与えられる熱ゆらぎを持つランジュバン方程式によって記述されます。ポテンシャルが二次関数である場合、最初の図に示すように、一定エネルギー曲線は楕円になります。散逸はあるものの熱雑音がない場合、粒子は環境にエネルギーを継続的に失い、その時間依存位相図 （速度対位置）は、速度が0になる方向への内向きの螺旋に対応します。対照的に、熱ゆらぎは粒子に継続的にエネルギーを加え、粒子が正確に0の速度に達するのを防ぎます。むしろ、確率的振動子の初期アンサンブルは、速度と位置がマクスウェル・ボルツマン分布 に従って分布する定常状態に近づきます。2番目の図では、調和ポテンシャル（U = 1 2 k x 2 {\displaystyle U={\tfrac {1}{2}}kx^{2}}
以下の図は、オイラー・丸山法 を用いて得られた、減衰の弱い調和振動子に対する完全なランジュバン方程式の解を示しています。左のパネルは、異なる温度における位相空間図の時間発展を示しています。右のパネルは、対応する平衡確率分布を示しています。温度がゼロの場合、減衰のため、速度は数回の振動を経て、初期値（赤い点）からゆっくりとゼロに減衰します。温度がゼロでない場合、熱ゆらぎにより速度は初期値よりも高い値に跳ね上がることがあります。長時間経過すると、速度はゼロではなく、位置と速度の分布は熱平衡状態に対応します。
自由ブラウン粒子の軌跡 自由ブラウン粒子（半透明の波線）の変位の二乗を、初期速度の二乗 を 0、3 kBT/m、6 kBT/mの3つの選択肢について、時間関数としてシミュレーションした結果を示す。3 kBT / mは熱 平衡状態 における エネルギー等 分配値である。色付きの 実線 は 、 対応するパラメータ選択における平均変位の二乗を表す。質量が の自由粒子 を考えてみましょうm {\displaystyle m} m d v d t = − v μ + η （ t ） 、 {\displaystyle m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=-{\frac {\mathbf {v} }{\mu }}+{\boldsymbol {\eta }}(t),} v = d r / d t {\displaystyle \mathbf {v} =d\mathbf {r} /dt} μ {\displaystyle \mu } η （ t ） = m 1 （ t ） {\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}(t)=m\mathbf {a} (t)} t c {\displaystyle t_{\text{c}}} η （ t ） ¯ = 0 {\displaystyle {\overline {{\boldsymbol {\eta }}(t)}}=0} v （ t ） = v （ 0 ） e − t / τ + ∫ 0 t 1 （ t ′ ） e − （ t − t ′ ） / τ d t ′ 、 {\displaystyle \mathbf {v} (t)=\mathbf {v} (0)e^{-t/\tau }+\int _{0}^{t}\mathbf {a} (t')e^{-(t-t')/\tau }\,dt',} τ = m μ {\displaystyle \tau =m\mu } 自己相関関数は、 v {\displaystyle \mathbf {v} } [ 13 ] R v v （ t 1 、 t 2 ） ≡ ⟨ v （ t 1 ） ⋅ v （ t 2 ） ⟩ = v 2 （ 0 ） e − （ t 1 + t 2 ） / τ + ∫ 0 t 1 ∫ 0 t 2 R 1 1 （ t 1 ′ 、 t 2 ′ ） e − （ t 1 + t 2 − t 1 ′ − t 2 ′ ） / τ d t 1 ′ d t 2 ′ ≃ v 2 （ 0 ） e − | t 2 − t 1 | / τ + [ 3 k B T m − v 2 （ 0 ） ] [ e − | t 2 − t 1 | / τ − e − （ t 1 + t 2 ） / τ ] 、 {\displaystyle {\begin{aligned}R_{vv}(t_{1},t_{2})&\equiv \langle \mathbf {v} (t_{1})\cdot \mathbf {v} (t_{2})\rangle \\&=v^{2}(0)e^{-(t_{1}+t_{2})/\tau }+\int _{0}^{t_{1}}\int _{0}^{t_{2}}R_{aa}(t_{1}',t_{2}')e^{-(t_{1}+t_{2}-t_{1}'-t_{2}')/\tau }\,dt_{1}'\,dt_{2}'\\&\simeq v^{2}(0)e^{-|t_{2}-t_{1}|/\tau }+\left[{\frac {3k_{\text{B}}T}{m}}-v^{2}(0)\right]\left[e^{-|t_{2}-t_{1}|/\tau }-e^{-(t_{1}+t_{2})/\tau }\right],\end{aligned}}} 1 （ t 1 ′ ） {\displaystyle \mathbf {a} (t_{1}')} 1 （ t 2 ′ ） {\displaystyle \mathbf {a} (t_{2}')} t 2 ′ − t 1 ′ ≫ t c {\displaystyle t_{2}'-t_{1}'\gg t_{\text{c}}} リム t → ∞ ⟨ v 2 （ t ） ⟩ = リム t → ∞ R v v （ t 、 t ） {\displaystyle \lim _{t\to \infty }\langle v^{2}(t)\rangle =\lim _{t\to \infty }R_{vv}(t,t)} 3 k B T / m {\displaystyle 3k_{\text{B}}T/m} 等分配定理 に従うように。システムが初期状態で既に熱平衡状態にある場合v 2 （ 0 ） = 3 k B T / m {\displaystyle v^{2}(0)=3k_{\text{B}}T/m} ⟨ v 2 （ t ） ⟩ = 3 k B T / m {\displaystyle \langle v^{2}(t)\rangle =3k_{\text{B}}T/m} t {\displaystyle t}
速度v （ t ） {\displaystyle \mathbf {v} (t)} r （ t ） {\displaystyle \mathbf {r} (t)} r （ t ） = v （ 0 ） τ （ 1 − e − t / τ ） + τ ∫ 0 t 1 （ t ′ ） [ 1 − e − （ t − t ′ ） / τ ] d t ′ 。 {\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {v} (0)\tau (1-e^{-t/\tau })+\tau \int _{0}^{t}\mathbf {a} (t')[1-e^{-(t-t')/\tau }]\,dt'.} ⟨ r （ t ） ⟩ = v （ 0 ） τ （ 1 − e − t / τ ） {\displaystyle \langle \mathbf {r} (t)\rangle =\mathbf {v} (0)\tau (1-e^{-t/\tau })} v （ 0 ） τ {\displaystyle \mathbf {v} (0)\tau } 平均二乗変位は 同様に決定できます。 ⟨ r 2 （ t ） ⟩ = v 2 （ 0 ） τ 2 （ 1 − e − t / τ ） 2 − 3 k B T m τ 2 （ 1 − e − t / τ ） （ 3 − e − t / τ ） + 6 k B T m τ t 。 {\displaystyle \langle r^{2}(t)\rangle =v^{2}(0)\tau ^{2}(1-e^{-t/\tau })^{2}-{\frac {3k_{\text{B}}T}{m}}\tau ^{2}(1-e^{-t/\tau })(3-e^{-t/\tau })+{\frac {6k_{\text{B}}T}{m}}\tau t.} ⟨ r 2 （ t 〜 τ ） ⟩ ≃ v 2 （ 0 ） t 2 {\displaystyle \langle r^{2}(t\ll \tau )\rangle \simeq v^{2}(0)t^{2}} τ {\displaystyle \tau } 時間反転不変で ある。一方、⟨ r 2 （ t ≫ τ ） ⟩ ≃ 6 k B T τ t / m = 6 μ k B T t = 6 D t {\displaystyle \langle r^{2}(t\gg \tau )\rangle \simeq 6k_{\text{B}}T\tau t/m=6\mu k_{\text{B}}Tt=6Dt} 不可逆的で 散逸的なプロセス を示している。
ボルツマン統計の回復 外部ポテンシャルが保存的で、ノイズ項が熱平衡状態のリザーバーから生じる場合、ランジュバン方程式の長時間解はボルツマン分布に帰着する必要があり、これは熱平衡状態にある粒子の確率分布関数です。 過減衰 ダイナミクスの特殊な場合、粒子の慣性は減衰力に比べて無視でき、軌道はx （ t ） {\displaystyle x(t)} λ d x d t = − ∂ V （ x ） ∂ x + η （ t ） ≡ − ∂ V （ x ） ∂ x + 2 λ k B T d B t d t 、 {\displaystyle \lambda {\frac {dx}{dt}}=-{\frac {\partial V(x)}{\partial x}}+\eta (t)\equiv -{\frac {\partial V(x)}{\partial x}}+{\sqrt {2\lambda k_{\text{B}}T}}{\frac {dB_{t}}{dt}},} λ {\displaystyle \lambda } η （ t ） {\displaystyle \eta (t)} ⟨ η （ t ） η （ t ′ ） ⟩ = 2 k B T λ δ （ t − t ′ ） {\displaystyle \langle \eta (t)\,\eta (t')\rangle =2k_{\text{B}}T\lambda \delta (t-t')} ウィーナー過程 ）。この方程式を解く一つの方法は、テスト関数を導入することである。f {\displaystyle f} f （ x （ t ） ） {\displaystyle f{\big (}x(t){\big )}} x （ t ） {\displaystyle x(t)} d d t ⟨ f （ x （ t ） ） ⟩ = 0. {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\big \langle }f{\big (}x(t){\big )}{\big \rangle }=0.}
Itô ドリフト拡散プロセス のItô の補題 d X t = μ t d t + σ t d B t {\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t}} f ( t , x ) d f = （ ∂ f ∂ t + μ t ∂ f ∂ x + σ t 2 2 ∂ 2 f ∂ x 2 ） d t + σ t ∂ f ∂ x d B t 。 {\displaystyle df=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\sigma _{t}^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)\,dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dB_{t}.} ⟨ f （ x （ t ） ） ⟩ {\displaystyle {\big \langle }f{\big (}x(t){\big )}{\big \rangle }} ⟨ − f ′ （ x ） ∂ V ∂ x + k B T f 」 （ x ） ⟩ = 0. {\displaystyle \left\langle -f'(x){\frac {\partial V}{\partial x}}+k_{\text{B}}Tf''(x)\right\rangle =0.} この平均値は確率密度関数 を用いて表すことができる。p （ x ） {\displaystyle p(x)} ∫ （ − f ′ （ x ） ∂ V ∂ x p （ x ） + k B T f 」 （ x ） p （ x ） ） d x = ∫ （ − f ′ （ x ） ∂ V ∂ x p （ x ） − k B T f ′ （ x ） p ′ （ x ） ） d x = 0 、 {\displaystyle {\begin{aligned}&\int \left(-f'(x){\frac {\partial V}{\partial x}}p(x)+k_{\text{B}}Tf''(x)p(x)\right)\,dx\\&\quad =\int \left(-f'(x){\frac {\partial V}{\partial x}}p(x)-k_{\text{B}}Tf'(x)p'(x)\right)\,dx\\&\quad =0,\end{aligned}}} f {\displaystyle f} ∂ V ∂ x p （ x ） + k B T p ′ （ x ） = 0 、 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial x}}p(x)+k_{\text{B}}Tp'(x)=0,} p （ x ） ∝ exp （ − V （ x ） k B T ） 。 {\displaystyle p(x)\propto \exp \left(-{\frac {V(x)}{k_{\text{B}}T}}\right).}
同等の技術 状況によっては、ランジュバン方程式のノイズの具体的な実現値に対する解ではなく、ノイズの平均的な挙動に主眼を置く必要がある場合があります。本節では、ランジュバン方程式に内在する確率微分法とは異なるものの、それと等価な、この平均的な挙動を得るための手法について説明します。
フォッカー・プランク方程式 は、時間依存確率密度関数に対する決定論的方程式である。P （ A 、 t ） {\displaystyle P(A,t)} A {\displaystyle A} [ 14 ] ∂ P （ A 、 t ） ∂ t = ∑ 私 、 j ∂ ∂ A 私 （ − k B T [ A 私 、 A j ] ∂ H ∂ A j + λ 私 、 j ∂ H ∂ A j + λ 私 、 j ∂ ∂ A j ） P （ A 、 t ） 。 {\displaystyle {\frac {\partial P(A,t)}{\partial t}}=\sum _{i,j}{\frac {\partial }{\partial A_{i}}}\left(-k_{\text{B}}T[A_{i},A_{j}]{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\partial }{\partial A_{j}}}\right)P(A,t).} P （ A ） = p 0 （ A ） = const × exp （ − H ） {\displaystyle P(A)=p_{0}(A)={\text{const}}\times \exp(-{\mathcal {H}})}
減衰の少ないブラウン粒子に対するフォッカー・プランク方程式は、 クライン・クラマース方程式 と呼ばれる。[ 15 ] [ 16 ] r ˙ = p m 、 p ˙ = − ξ p − ∇ V （ r ） + 2 m ξ k B T η （ t ） 、 ⟨ η T （ t ） η （ t ′ ） ⟩ = 私 δ （ t − t ′ ） 、 {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {r} }}&={\frac {\mathbf {p} }{m}},\\{\dot {\mathbf {p} }}&=-\xi \,\mathbf {p} -\nabla V(\mathbf {r} )+{\sqrt {2m\xi k_{\text{B}}T}}{\boldsymbol {\eta }}(t),\qquad \langle {\boldsymbol {\eta }}^{\mathrm {T} }(t)\,{\boldsymbol {\eta }}(t')\rangle =\mathbf {I} \delta (t-t'),\end{aligned}}} p {\displaystyle \mathbf {p} } ∂ f ∂ t + 1 m p ⋅ ∇ r f = ξ ∇ p ⋅ （ p f ） + ∇ p ⋅ （ ∇ V （ r ） f ） + m ξ k B T ∇ p 2 f 。 {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\mathbf {p} \cdot \nabla _{\mathbf {r} }f=\xi \nabla _{\mathbf {p} }\cdot (\mathbf {p} f)+\nabla _{\mathbf {p} }\cdot (\nabla V(\mathbf {r} )\,f)+m\xi k_{\text{B}}T\,\nabla _{\mathbf {p} }^{2}f.} ∇ r {\displaystyle \nabla _{\mathbf {r} }} ∇ p {\displaystyle \nabla _{\mathbf {p} }} はr p 勾配演算子 であり、∇ p 2 {\displaystyle \nabla _{\mathbf {p} }^{2}} はp ラプラシアン です。
でd {\displaystyle d} V （ r ） = const {\displaystyle V(\mathbf {r} )={\text{const}}} R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} この方程式はフーリエ変換 を用いて解くことができる。粒子が初期化されている場合t = 0 {\displaystyle t=0} r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} p ′ {\displaystyle \mathbf {p} '} 初期条件 に対応f （ r 、 p 、 0 ） = δ （ r − r ′ ） δ （ p − p ′ ） {\displaystyle f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,0)=\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\,\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p} ')} [ 16 ] [ 17 ]となります。 f （ r 、 p 、 t ） = 1 （ 2 π σ X σ P 1 − β 2 ） d × exp [ − 1 2 （ 1 − β 2 ） （ | r − μ X | 2 σ X 2 + | p − μ P | 2 σ P 2 − 2 β （ r − μ X ） ⋅ （ p − μ P ） σ X σ P ） ] 、 {\displaystyle {\begin{aligned}f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)&={\frac {1}{\left(2\pi \sigma _{X}\sigma _{P}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}\right)^{d}}}\\&\times \exp \left[-{\frac {1}{2(1-\beta ^{2})}}\left({\frac {|\mathbf {r} -{\boldsymbol {\mu }}_{X}|^{2}}{\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {|\mathbf {p} -{\boldsymbol {\mu }}_{P}|^{2}}{\sigma _{P}^{2}}}-{\frac {2\beta (\mathbf {r} -{\boldsymbol {\mu }}_{X})\cdot (\mathbf {p} -{\boldsymbol {\mu }}_{P})}{\sigma _{X}\sigma _{P}}}\right)\right],\end{aligned}}} σ X 2 = k B T m ξ 2 [ 1 + 2 ξ t − （ 2 − e − ξ t ） 2 ] 、 σ P 2 = m k B T （ 1 − e − 2 ξ t ） 、 β = k B T ξ σ X σ P （ 1 − e − ξ t ） 2 、 μ X = r ′ + （ m ξ ） − 1 （ 1 − e − ξ t ） p ′ 、 μ P = p ′ e − ξ t 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{X}^{2}&={\frac {k_{\text{B}}T}{m\xi ^{2}}}[1+2\xi t-(2-e^{-\xi t})^{2}],\qquad \sigma _{P}^{2}=mk_{\text{B}}T(1-e^{-2\xi t}),\\\beta &={\frac {k_{\text{B}}T}{\xi \sigma _{X}\sigma _{P}}}(1-e^{-\xi t})^{2},\\{\boldsymbol {\mu }}_{X}&=\mathbf {r} '+(m\xi )^{-1}(1-e^{-\xi t})\mathbf {p} ',\qquad {\boldsymbol {\mu }}_{P}=\mathbf {p} 'e^{-\xi t}.\end{aligned}}}
3次元空間では、平均二乗変位は ⟨ r （ t ） 2 ⟩ = ∫ f （ r 、 p 、 t ） r 2 d r d p = μ X 2 + 3 σ X 2 。 {\displaystyle \langle \mathbf {r} (t)^{2}\rangle =\int f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\mathbf {r} ^{2}\,d\mathbf {r} \,d\mathbf {p} ={\boldsymbol {\mu }}_{X}^{2}+3\sigma _{X}^{2}.}
経路積分 ランジュバン方程式に相当する経路積分は、対応する フォッカー・プランク方程式 から、またはガウス確率分布を変換することによって得られる。P （ η ） （ η ） d η {\displaystyle P^{(\eta )}(\eta )\,\mathrm {d} \eta } η {\displaystyle \eta } P （ A ） d A = P （ η ） （ η （ A ） ） 検出 （ d η / d A ） d A {\displaystyle P(A)\,\mathrm {d} A=P^{(\eta )}{\big (}\eta (A){\big )}\det(\mathrm {d} \eta /\mathrm {d} A)\,\mathrm {d} A} A （ t + Δ t ） − A （ t ） {\displaystyle A(t+\Delta t)-A(t)} A （ t ） {\displaystyle A(t)} A （ t + Δ t ） {\displaystyle A(t+\Delta t)} 補助応答変数 を導入すると便利であることが判明したA ～ {\displaystyle {\tilde {A}}} [ 18 ] ∫ P （ A 、 A ～ ） d A d A ～ = N ∫ exp （ L （ A 、 A ～ ） ） d A d A ～ 、 {\displaystyle \int P(A,{\tilde {A}})\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} {\tilde {A}}=N\int \exp {\big (}L(A,{\tilde {A}}){\big )}\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} {\tilde {A}},} N {\displaystyle N} L （ A 、 A ～ ） = ∫ ∑ 私 、 j { A ～ 私 λ 私 、 j A ～ j − A ～ 私 { δ 私 、 j d A j d t − k B T [ A 私 、 A j ] d H d A j + λ 私 、 j d H d A j − d λ 私 、 j d A j } } d t 。 {\displaystyle L(A,{\tilde {A}})=\int \sum _{i,j}\left\{{\tilde {A}}_{i}\lambda _{i,j}{\tilde {A}}_{j}-{\widetilde {A}}_{i}\left\{\delta _{i,j}{\frac {\mathrm {d} A_{j}}{\mathrm {d} t}}-k_{\text{B}}T[A_{i},A_{j}]{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} \lambda _{i,j}}{\mathrm {d} A_{j}}}\right\}\right\}\,\mathrm {d} t.} 量子場理論のツールを使用できます。この定式化は、開発者の名前をとって、通常、Martin–Siggia–Rose形式 [ 19 ] [ 18 ] [ 20 ] と呼ばれます。この表現の数学的形式は、抽象ウィーナー空間 上で展開できます。
参考文献 ↑ ランジュバン、P. (1908)。 「Sur la théorie du mouvement Brownien」[ ブラウン運動の理論について] 。CRアカデミー。科学。パリ （フランス語）。146 : 530–533 . ↑ Lemons, Don S.; Gythiel, Anthony (1997). "Paul Langevin's 1908 paper "On the Theory of Brownian Motion" [ "Sur la théorie du mouvement brownien", CR Acad. Sci. (Paris) 146, 530–533 (1908) ] ". American Journal of Physics . 65 (11). American Association of Physics Teachers (AAPT): 1079– 1081. Bibcode : 1997AmJPh..65.1079L . doi : 10.1119/1.18725 . ISSN 0002-9505 . ↑ Pelargonio, Sara; Zaccone, Alessio (2023). "せん断流を伴う一般化ランジュバン方程式とカルデイラ・レゲット・ハミルトニアンから導出されたそのゆらぎ散逸定理". Physical Review E . 107 064102. doi : 10.1103/PhysRevE.107.064102 . hdl : 2434/1107844 . ↑ Cui, Bingyu; Zaccone, Alessio (2018). "外部振動場における粒子浴系に対する一般化ランジュバン方程式とゆらぎ散逸定理". Physical Review E . 97 (6): 060102(R). arXiv : 1802.09848 . doi : 10.1103/PhysRevE.97.060102 . ↑ Petrosyan, Aleksandr; Zaccone, Alessio (2022). "粒子浴ラグランジアンから導出された相対論的ランジュバン方程式". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 55 (1): 015001. arXiv : 2107.07205 . doi : 10.1088/1751-8121/ac3a33 . ↑ ファン・カンペン、NG (1981)。 「伊藤対ストラトノビッチ」。 統計物理学ジャーナル 。 24 (1)。 Springer Science and Business Media LLC: 175–187 。 Bibcode : 1981JSP....24..175V 。 土井 ： 10.1007/bf01007642 。 ISSN 0022-4715 。 S2CID 122277474 。 ↑ van Kampen, NG (2007). Stochastic Processes in Physics and Chemistry . Elsevier. doi : 10.1016/b978-0-444-52965-7.x5000-4 . ISBN 978-0-444-52965-7 。↑ Kawasaki, K. (1973). "一般化された線形および非線形ランジュバン方程式の簡単な導出". J. Phys. A: Math. Nucl. Gen . 6 (9): 1289– 1295. Bibcode : 1973JPhA....6.1289K . doi : 10.1088/0305-4470/6/9/004 . ↑ Dengler, R. (2015). "一般化ランジュバン方程式の別の導出". arXiv : 1506.02650v2 [ physics.class-ph ]. 1 2 3 Hohenberg, PC; Halperin, BI (1977). "動的臨界現象の理論". Reviews of Modern Physics . 49 (3): 435–479 . Bibcode : 1977RvMP...49..435H . doi : 10.1103/RevModPhys.49.435 . S2CID 122636335 . ↑ Zwanzig, R. (1961). "不可逆熱力学における記憶効果". Phys. Rev. 124 (4): 983– 992. Bibcode : 1961PhRv..124..983Z . doi : 10.1103/PhysRev.124.983 . ↑ Johnson, J. (1928). "導体における電気の熱的振動" . Phys. Rev . 32 (1): 97. Bibcode : 1928PhRv...32...97J . doi : 10.1103/PhysRev.32.97 . ↑ Pathria RK (1972). 統計力学 . オックスフォード: Pergamon Press. pp. 443, 474–477 . ISBN 0-08-018994-6 。↑ 市丸真司 (1973)。 プラズマ物理学の基本原理 (第 1 版)。アメリカ：ベンジャミン。 p. 231.ISBN 0-8053-8753-6 。↑ Kramers, HA (1940). "Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions". Physica . 7 (4). Elsevier BV: 284– 304. Bibcode : 1940Phy.....7..284K . doi : 10.1016/s0031-8914(40)90098-2 . ISSN 0031-8914 . S2CID 33337019 . 1 2 Risken、H. (1989)。 フォッカー・プランク方程式: 解法と応用 。ニューヨーク: Springer-Verlag。 ISBN 978-0-387-50498-8 。↑ Chandrasekhar, S. (1943). "物理学および天文学における確率的問題". Reviews of Modern Physics . 15 (1): 1– 89. Bibcode : 1943RvMP...15....1C . doi : 10.1103/RevModPhys.15.1 . ISSN 0034-6861 . 1 2 Janssen, HK (1976). "Lagrangean for Classical Field Dynamics and Renormalization Group Calculations of Dynamical Critical Properties". Z. Phys. B . 23 (4): 377– 380. Bibcode : 1976ZPhyB..23..377J . doi : 10.1007/BF01316547 . S2CID 121216943 . ↑ Martin, PC; Siggia, ED; Rose, HA (1973). "Statistical Dynamics of Classical Systems". Phys. Rev. A . 8 (1): 423– 437. doi : 10.1103/PhysRevA.8.423 . ↑ デ・ドミニシス、C. (1976)。 「シャンの理論と現象批評の動的再正規化の技術」 。 Ｊ．Ｐｈｙｓ．コロック （フランス語）。 37 (C1): 247–253 . doi : 10.1051/jphyscol:1976138 。
さらに読む WT Coffey、Yu P. Kalmykov、「ランジュバン方程式：物理学、化学、電気工学における確率問題への応用」 、第3版、World Scientific Series in Contemporary Chemical Physics、第 27巻。 Reif, F. 『統計物理学と熱力学の基礎』 、McGraw Hill、ニューヨーク、1965年。第15.5節：ランジュバン方程式を参照。 R. Friedrich、J. Peinke、Ch. Renner。「外国為替市場の統計に対する決定論的およびランダムな影響を定量化する方法」 、Phys. Rev. Lett. 84、5224–5227 (2000)。 LCG Rogers、D. Williams。『拡散、マルコフ過程、マルチンゲール』 、ケンブリッジ数学ライブラリー、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、第2版（1994年）の復刻版、2000年。
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A_{i}}{\mathrm {d} t}}=k_{\text{B}}T\sum \limits _{j}[A_{i},A_{j}]{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}-\sum \limits _{j}\lambda _{i,j}(A){\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}+\sum \limits _{j}{\frac {\mathrm {d} \lambda _{i,j}(A)}{\mathrm {d} A_{j}}}+\eta _{それ）。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ac76f8c26abece364f8b846ee4732526a942901)
![{\displaystyle [A_{i},A_{j}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4434b552a3a074fb0813b3c59632e9ce553e30e9)
![{\displaystyle [x_{i},p_{j}]=\delta _{i,j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2625cfd936b8d504ac70e2961cdf7881263438)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}\varphi (\mathbf {x} ,t)&=-\lambda {\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \varphi }}+\eta {(\mathbf {x} ,t)},\\{\mathcal {H}}&=\int d^{d}x\left[{\frac {1}{2}}r_{0}\varphi ^{2}+u\varphi ^{4}+{\frac {1}{2}}(\nabla \varphi )^{2}\right],\\\langle \eta (\mathbf {x} ,t)\,\eta (\mathbf {x} ',t')\rangle &=2\lambda \,\デルタ (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\,\delta (tt').\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccb5e2958b435ead593ae286da15c5324ba9ab1d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}R_{vv}(t_{1},t_{2})&\equiv \langle \mathbf {v} (t_{1})\cdot \mathbf {v} (t_{2})\rangle \\&=v^{2}(0)e^{-(t_{1}+t_{2})/\tau }+\int _{0}^{t_{1}}\int _{0}^{t_{2}}R_{aa}(t_{1}',t_{2}')e^{-(t_{1}+t_{2}-t_{1}'-t_{2}')/\tau }\,dt_{1}'\,dt_{2}'\\&\simeq v^{2}(0)e^{-|t_{2}-t_{1}|/\tau }+\left[{\frac {3k_{\text{B}}T}{m}}-v^{2}(0)\right]\left[e^{-|t_{2}-t_{1}|/\tau }-e^{-(t_{1}+t_{2})/\tau }\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/795243b654ece0bd27a9660010db02dc1c0b6997)
![{\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {v} (0)\tau (1-e^{-t/\tau })+\tau \int _{0}^{t}\mathbf {a} (t')[1-e^{-(tt')/\tau }]\,dt'。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4609c086fd814738ba2eebcec738b96be343a4d)
![\displaystyle {\frac {\partial P(A,t)}{\partial t}}=\sum _{i,j}{\frac {\partial }{\partial A_{i}}}\left(-k_{\text{B}}T[A_{i},A_{j}]{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\partial }{\partial A_{j}}}\right)P(A,t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2024dce12bcc4001f721d6a615e2e92f05680659)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)&={\frac {1}{\left(2\pi \sigma _{X}\sigma _{P}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}\right)^{d}}}\\&\times \exp \left[-{\frac {1}{2(1-\beta ^{2})}}\left({\frac {|\mathbf {r} -{\boldsymbol {\mu }}_{X}|^{2}}{\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {|\mathbf {p} -{\boldsymbol {\mu }}_{P}|^{2}}{\sigma _{P}^{2}}}-{\frac {2\beta (\mathbf {r} -{\boldsymbol {\mu }}_{X})\cdot (\mathbf {p} -{\boldsymbol {\mu }}_{P})}{\sigma _{X}\sigma _{P}}}\right)\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f32f94a29e8b6e9ff24e49b8ce81bbe91be6c71)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{X}^{2}&={\frac {k_{\text{B}}T}{m\xi ^{2}}}[1+2\xi t-(2-e^{-\xi t})^{2}],\qquad \sigma _{P}^{2}=mk_{\text{B}}T(1-e^{-2\xi t}),\\\beta &={\frac {k_{\text{B}}T}{\xi \sigma _{X}\sigma _{P}}}(1-e^{-\xi t})^{2},\\{\boldsymbol {\mu }}_{X}&=\mathbf {r} '+(m\xi )^{-1}(1-e^{-\xi t})\mathbf {p} ',\qquad {\boldsymbol {\mu }}_{P}=\mathbf {p} 'e^{-\xi t}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb2de3484c4c53c7f783cb50b2ab0f041706fac4)
![{\displaystyle L(A,{\tilde {A}})=\int \sum _{i,j}\left\{{\tilde {A}}_{i}\lambda _{i,j}{\tilde {A}}_{j}-{\widetilde {A}}_{i}\left\{\delta _{i,j}{\frac {\mathrm {d} A_{j}}{\mathrm {d} t}}-k_{\text{B}}T[A_{i},A_{j}]{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} \lambda _{i,j}}{\mathrm {d} A_{j}}}\right\}\right\}\,\mathrm {d} t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/235d8de3c5fa6a4d59051916029e8c6d62783b8f)