特異点（数学）

数学において、特異点とは、与えられた数学的対象が定義されない点、あるいは微分可能性や解析性の欠如など、特定の点で数学的対象が適切に振る舞わなくなる点のことである。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

例えば、逆関数${\displaystyle f(x)=1/x}$特異点を持つ${\displaystyle x=0}$ゼロ除算を含むため、関数の値が定義されていない。絶対値関数${\displaystyle g(x)=|x|}$また、特異点も存在します。${\displaystyle x=0}$なぜなら、そこでは微分できないからである。^{[ 4 ]}

定義される代数曲線${\displaystyle \left\{(x,y):y^{3}-x^{2}=0\right\}}$で${\displaystyle (x,y)}$座標系には、特異点（尖点と呼ばれる）が存在します。${\displaystyle (0,0)}$代数幾何学における特異点については、「代数多様体の特異点」を参照してください。微分幾何学における特異点については、「特異点理論」を参照してください。

実解析では、特異点は不連続性、または導関数の不連続性（場合によっては高階導関数の不連続性）のいずれかです。不連続性には4種類あります。タイプ Iは2つのサブタイプに分けられ、タイプ IIも2つのサブタイプに分けられます（ただし、通常は分けられません）。

これら2種類の制限がどのように使用されているかを説明するために、${\displaystyle f(x)}$実引数の関数である${\displaystyle x}$、また引数の任意の値に対して、${\displaystyle c}$すると左手の限界、${\displaystyle f(c^{-})}$、そして右利きの限界、${\displaystyle f(c^{+})}$は以下のように定義されます。

${\displaystyle f(c^{-})=\lim _{x\to c}f(x)}$制約により${\displaystyle x<c}$そして

${\displaystyle f(c^{+})=\lim _{x\to c}f(x)}$制約により${\displaystyle x>c}$。

価値${\displaystyle f(c^{-})}$関数の値${\displaystyle f(x)}$値として${\displaystyle x}$アプローチ${\displaystyle c}$下から、そしてその値は${\displaystyle f(c^{+})}$関数の値${\displaystyle f(x)}$値として${\displaystyle x}$アプローチ${\displaystyle c}$上から、関数が実際に持つ値に関係なく、${\displaystyle x=c}$ 。

これらの制限が全く存在しない関数もあります。たとえば、関数

${\displaystyle g(x)=\sin \left({\frac {1}{x}}\right)}$

何かに傾倒することはない${\displaystyle x}$アプローチ${\displaystyle c=0}$この場合の限界は無限ではなく、定義されていない。${\displaystyle g(x)}$落ち着く。複素解析から借用すると、これは本質的特異点と呼ばれることもある。

特定の値における考えられるケース${\displaystyle c}$議論の根拠は以下のとおりです。

• 連続点とは、${\displaystyle c}$そのために${\displaystyle f(c^{-})=f(c)=f(c^{+})}$滑らかな関数に期待されるように。すべての値は有限でなければなりません。${\displaystyle c}$連続点ではない場合、不連続点が発生する。${\displaystyle c}$。
• タイプIの不連続性は、 両方が${\displaystyle f(c^{-})}$そして${\displaystyle f(c^{+})}$存在し、有限であるが、以下の3つの条件のうち少なくとも1つも満たされる。
  • ${\displaystyle f(c^{-})\neq f(c^{+})}$;
  • ${\displaystyle f(x)}$の場合、定義されていません${\displaystyle x=c}$; または
  • ${\displaystyle f(c)}$定義済みの値を持つが、その値は2つの制限値とは一致しない。

  タイプIの不連続性は、さらに以下のサブタイプに分類できます。

  • ジャンプ不連続は次のような場合に発生します。${\displaystyle f(c^{-})\neq f(c^{+})}$たとえ${\displaystyle f(c)}$定義されている場合、その値に関係なく定義されます。
  • 除去可能な不連続部は、次のような場合に発生します。${\displaystyle f(c^{-})=f(c^{+})}$また、${\displaystyle f(c)}$が定義され、定義されている場合はその値に関係なく（ただし、2 つの制限値と一致しない）。
• タイプIIの不連続 性は、以下のいずれかの場合に発生します。${\displaystyle f(c^{-})}$または${\displaystyle f(c^{+})}$存在しない（おそらく両方）。これには2つのサブタイプがあり、通常は別々に考慮されない。
  • 無限不連続とは、左側極限または右側極限のいずれかが存在しない（具体的には、それが無限大であるため）場合、そしてもう一方の極限も無限大であるか、または明確に定義された有限値である場合の特殊なケースです。言い換えれば、関数のグラフが垂直漸近線を持つ場合、その関数は無限不連続となります。
  • 本質的特異点とは、複素解析から借用した用語である（下記参照）。これは、いずれかの極限が${\displaystyle f(c^{-})}$または${\displaystyle f(c^{+})}$は存在しないが、それは無限の不連続性だからではない。本質的な特異点は限界に近づきません。有効な答えを拡張して含めたとしても。${\displaystyle \pm \infty }$。

実解析においては、特異点または不連続点は関数固有の性質である。関数の導関数に存在する可能性のある特異点は、元の関数ではなく、導関数に属するものとみなされる。

複素解析には、いくつかの種類の特異点が存在する。これらには、孤立特異点、非孤立特異点、および分岐点が含まれる。

有限時間特異点は、入力変数の1つが時間であり、出力変数が有限時間内に無限大に向かって増加する場合に発生します。これらは運動学や偏微分方程式において重要です。無限大は物理的には存在しませんが、特異点近傍の挙動はしばしば興味深いものです。数学的には、最も単純な有限時間特異点は、さまざまな指数に対するべき乗則の形で表されます。${\displaystyle x^{-\alpha },}$その中で最も単純なのは双曲線成長であり、指数は（負の）1である。${\displaystyle x^{-1}.}$より正確には、時間が経過するにつれて正の時間に特異点を得るため（つまり出力が無限大に増加するため）、代わりに$\displaystyle (t_{0}-t)^{-\alpha }}$（時間をtで表し、方向を反転して${\displaystyle -t}$時間が無限大に増加し、特異点を0から固定時間まで前方に移動させる$t0$)

例えば、平面上での非弾性ボールの跳ね返り運動が挙げられます。運動エネルギーの一定割合が跳ね返りごとに失われるという理想化された運動を考えると、ボールは有限時間内に静止するため、跳ね返りの頻度は無限になります。有限時間特異点の他の例としては、パンルヴェのパラドックスの様々な形態（例えば、黒板の上を引きずるとチョークが跳ねる傾向）や、平らな面上で回転するコインの歳差運動の速度が無限大に加速し、その後突然停止する様子（オイラーの円盤のおもちゃで研究されている）などがあります。

仮説的な例としては、ハインツ・フォン・フェルスターの冗談めいた「終末方程式」（単純化されたモデルでは、有限の時間内に無限の人口が発生するという結果になる）が挙げられる。

代数幾何学において、代数多様体の特異点とは、接空間が正則に定義されない多様体の点のことである。特異点の最も単純な例は、自己交差する曲線である。しかし、尖点のような他の種類の特異点も存在する。例えば、方程式y ² − x ³ = 0は、原点x = y = 0に尖点を持つ曲線を定義する。この点においてx軸を接線として定義することはできるが、この定義は他の点における定義と同じにはなり得ない。実際、この場合、x軸は「二重接線」である。

アフィン多様体および射影多様体の場合、特異点とは、ヤコビ行列のランクが多様体の他の点におけるランクよりも低い点のことである。

可換代数の観点から同等の定義を与えることができ、これは抽象多様体やスキームにも拡張される。ある点が特異であるとは、その点における局所環が正則局所環でないことである。

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