軌道（ダイナミクス）

数学、特に力学系の研究において、軌道とは力学系の発展関数によって関連付けられる点の集合である。これは、システムが発展するにつれて、特定の初期条件セットの下で力学系の軌道によってカバーされる位相空間のサブセットとして理解することができる。位相空間軌道は任意の位相空間座標セットに対して一意に決定されるため、異なる軌道が位相空間で交差することは不可能であり、したがって、力学系のすべての軌道の集合は位相空間の分割である。位相的方法を使用して軌道の特性を理解することは、現代の力学系理論の目的の1つである。

離散時間力学系の場合、軌道はシーケンスです。実数力学系の場合、軌道は曲線です。正則力学系の場合、軌道はリーマン面です。

力学系（T、M、Φ）において、 Tは群、Mは集合、Φは進化関数 である。

${\displaystyle \Phi:U\toM}$どこで${\displaystyle U\subset T\times M}$${\displaystyle \Phi (0,x)=x}$

私たちは定義する

${\displaystyle I(x):=\{t\in T:(t,x)\in U\},}$

そしてセット

${\displaystyle \gamma _{x}:=\{\Phi (t,x):t\in I(x)\}\subset M}$

はx を通る軌道と呼ばれます。1点からなる軌道は定常軌道と呼ばれます。非定常軌道は、が存在 し、${\displaystyle t\neq 0}$${\displaystyle I(x)}$

${\displaystyle \Phi (t,x)=x}$。

実動的システム（R、M、Φ）が与えられたとき、I（x ）は実数における開区間、すなわち、である。M内の任意のxに対して、${\displaystyle I(x)=(t_{x}^{-},t_{x}^{+})}$

${\displaystyle \gamma _{x}^{+}:=\{\Phi (t,x):t\in (0,t_{x}^{+})\}}$

はxを通る正の半軌道と呼ばれ、

${\displaystyle \gamma _{x}^{-}:=\{\Phi (t,x):t\in (t_{x}^{-},0)\}}$

はx を通る負の半軌道と呼ばれます。

時間不変の進化関数を持つ離散時間力学系の場合: ${\displaystyle f}$

x の順軌道は次の集合である:

${\displaystyle \gamma _{x}^{+}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \{f^{t}(x):t\geq 0 \}}$

関数が可逆である場合、 x の逆軌道は次の集合になります。

${\displaystyle \gamma _{x}^{-}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \{f^{t}(x):t\leq 0\}}$

x の軌道は次の集合です:

${\displaystyle \gamma _{x}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \gamma _{x}^{-}\cup \gamma _{x}^{+}}$

どこ ：

• ${\displaystyle f}$進化関数${\displaystyle f:X\to X}$
• 集合は力学空間であり、${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle t}$は反復回数であり、自然数であり、${\displaystyle t\in T}$
• ${\displaystyle x}$システムの初期状態であり、 ${\displaystyle x\in X}$

一般的な力学系、特に同次力学系では、測度を保存する方法で確率空間に作用する「良い」群がある場合、安定化子が内部の格子であれば、軌道は周期的（または同等に、閉じている）と呼ばれます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G.x\subset X}$${\displaystyle Stab_{G}(x)}$${\displaystyle G}$

さらに、関連する用語として、集合が内部で事前コンパクトである場合の有界軌道があります。 ${\displaystyle G.x}$${\displaystyle X}$

軌道の分類は、他の数学の分野に関連する興味深い問題につながることがあります。たとえば、オッペンハイム予想 (マーギュリスによって証明) とリトルウッド予想 (リンデンシュトラウスによって部分的に証明) は、同次空間上の何らかの自然作用のすべての有界軌道が実際に周期軌道であるかどうかという問題を扱っています。この観察は、ラグナサンによるもので、別の言葉ではカッセルスとスウィナートン・ダイアーによるものです。このような問題は、深層測度分類定理と密接に関連しています。 ${\displaystyle SL_{3}(\mathbb {R} )\backslash SL_{3}(\mathbb {Z} )}$

進化関数は群の要素を構成すると理解されることが多く、その場合、群作用の群論的軌道は動的軌道と同じものになります。

• 
  複素二次多項式に基づく離散力学系の臨界軌道。乗数=0.99993612384259の固定点を弱く引き付ける 傾向がある。
• 
  臨界軌道は、弱い引力点に向かう傾向があります。引力固定点から反発固定点（z = 0）までの螺旋を見ることができます。これは、レベル曲線の密度が高い場所です。

• 平衡点の軌道は一定軌道です。

軌道の基本的な分類は

• 一定の軌道または固定点
• 周期軌道
• 非一定かつ非周期的な軌道

軌道が閉じられない場合、2 つの方法があります。漸近的に周期的な軌道は、周期軌道に収束する場合です。このような軌道は、実際には決して繰り返されないため閉じられていませんが、繰り返し軌道に任意に近づきます。軌道はカオスになることもあります。これらの軌道は、初期点に任意に近づきますが、周期軌道に収束することはありません。これらは初期条件に敏感な依存性を示し、初期値の小さな違いが軌道の将来の点で大きな違いを引き起こすことを意味します。

軌道には、さまざまな分類を可能にする他の特性があります。近くの点が指数関数的に速く軌道に近づいたり軌道から離れたりする場合、軌道は双曲軌道である可能性があります。

• 放浪セット
• 位相空間法
• 位相空間
• クモの巣プロットまたはバーフルスト図
• 複素二次写像の周期点と軌道の乗数
• 軌道ポートレート

• Hale, Jack K. ; Koçak, Hüseyin (1991)。「周期軌道」。ダイナミクスと分岐。ニューヨーク: Springer。pp.  365– 388。ISBN 0-387-97141-6。
• カトック、アナトール; ハッセルブラット、ボリス (1996)。『現代動的システム理論入門』ケンブリッジ。ISBN 0-521-57557-5。
• ペルコ、ローレンス (2001)。「周期軌道、リミットサイクル、セパラトリックスサイクル」。微分方程式と動的システム(第 3 版)。ニューヨーク: シュプリンガー。pp.  202– 211。ISBN 0-387-95116-4。