Orbit (dynamics)

In mathematics, specifically in the study of dynamical systems, an orbit is a collection of points related by the evolution function of the dynamical system. It can be understood as the subset of phase space covered by the trajectory of the dynamical system under a particular set of initial conditions, as the system evolves. As a phase space trajectory is uniquely determined for any given set of phase space coordinates, it is not possible for different orbits to intersect in phase space, therefore the set of all orbits of a dynamical system is a partition of the phase space. Understanding the properties of orbits by using topological methods is one of the objectives of the modern theory of dynamical systems.

For discrete-time dynamical systems, the orbits are sequences; for real dynamical systems, the orbits are curves; and for holomorphic dynamical systems, the orbits are Riemann surfaces.

Definition

Given a dynamical system (T, M, Φ) with T a group, M a set and Φ the evolution function

\Phi :U\to M

where

U\subset T\times M

with

\Phi (0,x)=x

we define

I(x):=\{t\in T:(t,x)\in U\},

then the set

\gamma _{x}:=\{\Phi (t,x):t\in I(x)\}\subset M

is called the orbit through x. An orbit which consists of a single point is called constant orbit. A non-constant orbit is called closed or periodic if there exists a $t ≠ 0$ in $I(x)$ such that

\Phi (t,x)=x

.

Real dynamical system

Given a real dynamical system (R, M, Φ), I(x) is an open interval in the real numbers, that is $I(x)=(t_{x}^{-},t_{x}^{+})$ . For any x in M

\gamma _{x}^{+}:=\{\Phi (t,x):t\in (0,t_{x}^{+})\}

is called positive semi-orbit through x and

\gamma _{x}^{-}:=\{\Phi (t,x):t\in (t_{x}^{-},0)\}

is called negative semi-orbit through x.

Discrete time dynamical system

For a discrete time dynamical system with a time-invariant evolution function $f$ :

The forward orbit of x is the set :

\gamma _{x}^{+}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \{f^{t}(x):t\geq 0\}

If the function is invertible, the backward orbit of x is the set :

\gamma _{x}^{-}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \{f^{t}(x):t\leq 0\}

and orbit of x is the set :

\gamma _{x}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \gamma _{x}^{-}\cup \gamma _{x}^{+}

where :

$f$ 進化関数 $f:X\to X$
セット $X$ は動的空間であり、
$t$ は反復回数であり、自然数です。 $t ∈ T$
$x$ システムの初期状態であり、 $x\in X$

一般力学系

一般的な力学系、特に均質力学系において、「良い」群が存在する場合 $G$ 確率空間に作用する $X$ 尺度保存的な方法で、軌道 $Gx\subset X$ 安定器が周期的（または同等に、閉じた）と呼ばれる場合 $Stab_{G}(x)$ 内部に格子があります $G$ 。

さらに、関連する用語として、集合が有界軌道である場合、 $Gx$ 内部はあらかじめコンパクトに梱包されています $X$ 。

軌道の分類は、他の数学分野に関連する興味深い問題につながる可能性があります。例えば、オッペンハイム予想（マルギュリスによって証明）やリトルウッド予想（リンデンシュトラウスによって部分的に証明）は、均質空間上の何らかの自然作用のすべての有界軌道が $SL_{3}(\mathbb {R} )\backslash SL_{3}(\mathbb {Z} )$ 確かに周期的な性質を持つ。この観察はラグナタンによるものであり、別の言い方をすればカッセルズとスウィンナートン＝ダイアーによるものである。このような問題は、深層測度分類定理と密接に関係している。

注記

進化関数は群の要素を構成するものと理解できる場合が多く、その場合、群作用の群論的軌道は力学的軌道と同じものとなる。

例

複素二次多項式に基づく離散力学系の臨界軌道。乗数=0.99993612384259の不動点に弱く引き寄せられる傾向がある。
臨界軌道は、弱い吸引点に向かう傾向があります。吸引固定点から反発固定点（z=0）へと螺旋状に移動する様子が見られますが、反発固定点とは等高線が密集している場所です。

平衡点の軌道は一定の軌道である。

軌道の安定性

軌道の基本的な分類は

一定の軌道または固定点
周期軌道
非定常かつ非周期的な軌道

軌道が閉じない理由は2つあります。1つは、周期軌道に収束する場合、漸近的に周期的な軌道である可能性があります。このような軌道は、真に繰り返されることはないため閉じていませんが、繰り返し軌道に限りなく近づきます。もう1つは、軌道がカオス的である可能性です。このような軌道は初期点に限りなく近づきますが、周期軌道に収束することはありません。初期条件に敏感に依存するため、初期値のわずかな違いが、軌道の将来の点に大きな違いをもたらします。

軌道には、さまざまな分類を可能にする他の特性も存在する。近傍の点が軌道に指数関数的に速く近づいたり遠ざかったりする場合、その軌道は双曲軌道となる。

参考文献

ヘイル、ジャック K. ; コチャック、ヒュセイン (1991). 「周期軌道」.ダイナミクスと分岐. ニューヨーク: スプリンガー. pp. 365–388 . ISBN 0-387-97141-6。
カトク、アナトール；ハッセルブラット、ボリス（1996）。現代力学系理論入門。ケンブリッジ。ISBN 0-521-57557-5。
Perko, Lawrence (2001). 「周期軌道、極限サイクル、分離曲線サイクル」 .微分方程式と力学系（第3 版）. ニューヨーク：Springer. pp. 202–211 . ISBN 0-387-95116-4。

Orbit (dynamics)

Definition

Real dynamical system

Discrete time dynamical system

一般力学系

注記

例

軌道の安定性

関連項目

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関連するトピック

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