接線束

接束は、多様体上のすべての点に対する接空間のすべてを集めたもので、それ自体が新しい多様体を形成するように構成されています。正式には、微分幾何学では、微分可能多様体の接束は、 内のすべての接ベクトルをまとめた多様体です。集合としては、の接空間の互いに素な和^{[注 1]}によって与えられます。つまり、 ${\displaystyle M}$${\displaystyle TM}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\begin{aligned}TM&=\bigsqcup _{x\in M}T_{x}M\\&=\bigcup _{x\in M}\left\{x\right\}\times T_{x}M\\&=\bigcup _{x\in M}\left\{(x,y)\mid y\in T_{x}M\right\}\\&=\left\{(x,y)\mid x\in M,\,y\in T_{x}M\right\}\end{aligned}}}$

ここで、 は点 におけるへの接空間を表します。したがって、 の元は のペアとして考えることができます。ここで、 は内の点であり、 はにおけるへの接ベクトルです。 ${\displaystyle T_{x}M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle (x,v)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle v}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$

自然な投影がある

${\displaystyle \pi :TM\twoheadrightarrow M}$

によって定義されます。この投影は、接空間の各要素を単一の点にマッピングします。 ${\displaystyle \pi (x,v)=x}$${\displaystyle T_{x}M}$${\displaystyle x}$

接バンドルには、自然な位相が備わっています(以下のセクションで説明します)。この位相では、多様体への接バンドルはベクトルバンドル(ベクトル空間であるファイバーバンドル) の典型的な例です。の切断は上のベクトル場であり、への双対バンドルは余接バンドルであり、これはの余接空間の互いに交わらない和です。定義により、多様体が平行化可能であるのは、接バンドルが自明である場合に限ります。定義により、多様体がフレーム化されるためには、接バンドルが安定して自明である必要があります。つまり、何らかの自明なバンドルに対してホイットニー和が自明であるということです。たとえば、n次元球面S ^{n は}すべてのnに対してフレーム化されますが、 n = 1、3、7に対してのみ平行化可能です(Bott-Milnor と Kervaire の結果による)。 ${\displaystyle TM}$${\displaystyle M}$${\displaystyle TM}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle TM}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle TM\oplus E}$

接線バンドルの主な役割の 1 つは、滑らかな関数の導関数の定義域と値域を提供することです。つまり、 が滑らかな関数で、と が滑らかな多様体である場合、その導関数は滑らかな関数 です。 ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle Df:TM\rightarrow TN}$

接線バンドルは、自然な位相（分離和位相ではない）と滑らかな構造を備えているため、それ自体で多様体になります。 の次元はの次元の 2 倍です。 ${\displaystyle TM}$${\displaystyle M}$

n次元多様体の各接空間は、n次元ベクトル空間です。が の 開いた縮約可能な部分集合である場合、各接空間からへの線型同型に制限される微分同相写像が存在します。しかし、多様体であるため、は常に積多様体 に微分同相であるとは限りません。 が の形である場合、接バンドルは自明 であると言われています。自明な接バンドルは通常、「適合する群構造」を備えた多様体で発生します。たとえば、多様体がリー群である場合です。単位円の接バンドルは、リー群 (乗法とその自然な微分構造の下で) であるため自明です。ただし、自明な接バンドルを持つすべての空間がリー群であるとは限りません。自明な接バンドルを持つ多様体は平行化可能と呼ばれます。多様体がユークリッド空間上で局所的にモデル化されるのと同様に、接束は 上で局所的にモデル化されます。ここで、 はユークリッド空間の開集合です。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TU\to U\times \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle T_{x}U}$${\displaystyle \{x\}\times \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle TM}$${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle U}$

Mが滑らかなn次元多様体である場合 、それはチャートのアトラスを備えており、ここでは の開集合であり、 ${\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}$${\displaystyle U_{\alpha}}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \phi _{\alpha }:U_{\alpha }\to \mathbb {R} ^{n}}$

は微分同相写像である。 上のこれらの局所座標は、すべての に対して同型写像を生じる。そこで、写像を定義することができる。 ${\displaystyle U_{\alpha}}$${\displaystyle T_{x}M\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x\in U_{\alpha}}$

${\displaystyle {\widetilde {\phi }}_{\alpha }:\pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\right)\to \mathbb {R} ^{2n}}$

による

${\displaystyle {\widetilde {\phi }}_{\alpha }\left(x,v^{i}\partial _{i}\right)=\left(\phi _{\alpha }(x),v^{1},\cdots ,v^{n}\right)}$

これらの写像を用いて 上の位相と滑らかな構造を定義する。の部分集合が開集合となるのは、 ${\displaystyle TM}$${\displaystyle A}$${\displaystyle TM}$

${\displaystyle {\widetilde {\phi }}_{\alpha }\left(A\cap \pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\right)\right)}$

は、各 に対してで開いています。これらの写像は、 との開集合間の同相写像であり、したがって 上の滑らかな構造のチャートとして機能します。チャートの重なり上の遷移関数は、関連する座標変換のヤコビ行列によって誘導されるため、 の開集合間の滑らかな写像になります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle \alpha .}$${\displaystyle TM}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle TM}$${\displaystyle \pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

接線バンドルは、ベクトルバンドルと呼ばれるより一般的な構成の一例です（ベクトルバンドル自体はファイバーバンドルの一種です）。明示的には、次元多様体への接線バンドルは、その遷移関数が関連する座標変換の ヤコビアンによって与えられる階数ベクトルバンドルとして定義できます。${\displaystyle n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle M}$

最も単純な例は の例です。この場合、接束は自明です。つまり、それぞれは を減算する写像を介してに正準同型であり、微分同相写像 を与えます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle T_{x}\mathbf {\mathbb {R} } ^{n}}$${\displaystyle T_{0}\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle T\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}$

もう 1 つの簡単な例は単位円です(上の図を参照)。円の接線束も自明であり、 と同型です。幾何学的には、これは無限の高さの円筒です。 ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }$

簡単に視覚化できる接線束は実数直線と単位円の接線束のみであり、どちらも自明です。2 次元多様体の場合、接線束は 4 次元であるため、視覚化が困難です。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle S^{1}}$

非自明な接束の簡単な例は単位球面です。この接束は、毛球定理の結果として非自明です。したがって、球面は平行化できません。 ${\displaystyle S^{2}}$

多様体の各点への接線ベクトルの滑らかな割り当てはベクトル場と呼ばれる。特に、多様体上のベクトル場は滑らかな写像である。${\displaystyle M}$

${\displaystyle V\colon M\to TM}$

任意の に対してとなるような写像です。ファイバー束の言語では、このような写像は切断と呼ばれます。したがって、 上のベクトル場はの接線束の切断です。 ${\displaystyle V(x)=(x,V_{x})}$${\displaystyle V_{x}\in T_{x}M}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

上のすべてのベクトル場の集合は と表される。ベクトル場は点ごとに加算することができる。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \Gamma (TM)}$

${\displaystyle (V+W)_{x}=V_{x}+W_{x}}$

M上の滑らかな関数を掛け合わせると

${\displaystyle (fV)_{x}=f(x)V_{x}}$

他のベクトル場を得るには、ベクトル場全体の集合は、 と表記されるM上の滑らかな関数の可換代数上の加群の構造をとります。 ${\displaystyle \Gamma (TM)}$${\displaystyle C^{\infty }(M)}$

上の局所ベクトル場は接線束の局所断面です。つまり、局所ベクトル場はある開集合上でのみ定義され、関連する接空間内のベクトルの各点に割り当てられます。上の局所ベクトル場の集合は、上の実ベクトル空間の層と呼ばれる構造を形成します。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle U\subset M}$${\displaystyle U}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

上記の構成は、余接バンドルにも同様に当てはまります。つまり、 上の微分 1 形式は、余接バンドルのセクションとまったく同じで、各点に1 余ベクトルを関連付け、接ベクトルを実数にマップします。 同様に、微分 1 形式は滑らかなベクトル場を滑らかな関数にマップします。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \omega \in \Gamma (T^{*}M)}$${\displaystyle \omega :M\to T^{*}M}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle \omega _{x}\in T_{x}^{*}M}$${\displaystyle \omega _{x}:T_{x}M\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \omega \in \Gamma (T^{*}M)}$${\displaystyle X\in \Gamma (TM)}$${\displaystyle \omega (X)\in C^{\infty }(M)}$

接線束自体は滑らかな多様体なので、接線束の構築を繰り返し適用することで 2 次接線束を定義できます。${\displaystyle TM}$

${\displaystyle T^{2}M=T(TM).\,}$

一般に、番目の接線バンドルはとして再帰的に定義できます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle T^{k}M}$${\displaystyle T\left(T^{k-1}M\right)}$

滑らかな写像には誘導微分があり、その誘導微分に対しては接束が適切な定義域と値域となる。同様に、高次の接束は高次の微分に対して定義域と値域を提供する。 ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$${\displaystyle Df:TM\rightarrow TN}$${\displaystyle D^{k}f:T^{k}M\to T^{k}N}$

異なるが関連する構成として、多様体上のジェット束があり、これはジェットで構成される束です。

あらゆる接線束 を多様体として考えると、各点における接空間への対角写像として正準ベクトル場を定義できます。これが可能なのは、ベクトル空間Wの接空間は自然に積になるためです。ベクトル空間自体は平坦であり、この積構造の下では自然な対角写像がによって与えられるからです。この積構造を各点における接空間に適用し、グローバル化すると、正準ベクトル場が得られます。非公式には、多様体は曲がっていますが、点、、における各接空間は平坦であるため、接線束多様体は局所的には曲がったと平坦なの積です。したがって、接線束の接線束は局所的には次のようになります ( 「座標の選択」に を使用し、「自然な識別」に を使用)。 ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle V:TM\rightarrow T^{2}M}$${\displaystyle TW\cong W\times W,}$${\displaystyle W\to TW}$${\displaystyle w\mapsto (w,w)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle T_{x}M\approx \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle TM}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle \approx }$${\displaystyle \cong }$

${\displaystyle T(TM)\approx T(M\times \mathbb {R} ^{n})\cong TM\times T(\mathbb {R} ^{n})\cong TM\times (\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n})}$

そして地図は最初の座標への投影です: ${\displaystyle TTM\to TM}$

${\displaystyle (TM\to M)\times (\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}).}$

最初のマップをゼロセクションで分割し、2 番目のマップを対角線で分割すると、標準ベクトル場が生成されます。

が の局所座標である場合、ベクトル場は次のような式を持つ。 ${\displaystyle (x,v)}$${\displaystyle TM}$

${\displaystyle V=\sum _{i}\left.v^{i}{\frac {\partial }{\partial v^{i}}}\right|_{(x,v)}.}$

もっと簡潔に言うと、最初の座標のペアはバンドルのセクションであり、これらは単に基本空間の点であるため変化しません。最後の座標のペアはセクションそのものです。ベクトル場のこの式は のみに依存し、 には依存しません。これは、接線方向のみが自然に識別できるためです。 ${\displaystyle (x,v)\mapsto (x,v,0,v)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x}$

あるいは、スカラー乗算関数を考えてみましょう。

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {R} \times TM\to TM\\(t,v)\longmapsto tv\end{cases}}}$

時刻における変数に関するこの関数の導関数は関数であり、これは標準ベクトル場の別の記述です。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle t=1}$${\displaystyle V:TM\rightarrow T^{2}M}$

上のそのようなベクトル場の存在は、余接束上の標準 1 形式に類似しています。 は、リウヴィル ベクトル場、または放射状ベクトル場と呼ばれることもあります。 を使用すると、接束 を特徴付けることができます。基本的に、は 4 つの公理を使用して特徴付けることができ、多様体がこれらの公理を満たすベクトル場を持つ場合、多様体は接束であり、ベクトル場はその上の標準ベクトル場です。たとえば、De León らを参照してください。 ${\displaystyle TM}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

上のオブジェクトを上のオブジェクトに持ち上げる方法はさまざまです。たとえば、 が内の曲線である場合、(の接線) は 内の曲線です。対照的に、(たとえば、リーマン計量) についてのさらなる仮定がなければ、余接バンドルへの同様の持ち上げは存在しません。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle TM}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \gamma '}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle TM}$${\displaystyle M}$

関数の垂直揚力はによって定義される関数であり、 は標準射影です。 ${\displaystyle f:M\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle f^{\vee }:TM\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle f^{\vee }=f\circ \pi }$${\displaystyle \pi :TM\rightarrow M}$

• プッシュフォワード（差動）
• 単位接線束
• 余接束
• フレームバンドル
• 音楽の同型性

• Lee, Jeffrey M. (2009)、「多様体と微分幾何学」、数学大学院研究、第107巻、プロビデンス：アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-4815-9 
• Lee, John M. (2012).滑らかな多様体入門. 数学の大学院テキスト. 第218巻. doi :10.1007/978-1-4419-9982-5. ISBN 978-1-4419-9981-8。
• ユルゲン・ヨスト『リーマン幾何学と幾何解析』 (2002) Springer-Verlag、ベルリン。ISBN 3-540-42627-2 
• ラルフ・エイブラハムとジェロルド・E・マースデン、『力学の基礎』(1978年)ベンジャミン・カミングス、ロンドン。ISBN 0-8053-0102 -X 
• レオン、M.デ;メリノ、E.オウビーニャ、JA;サルガド、M. (1994)。 「接線と安定した接線バンドルの特性評価」(PDF)。Annales de l'IHP: Physique Théorique。61 (1): 1-15。
• グドムンドソン、シグムンドゥル。カッポス、エリアス (2002)。 「接線束の幾何学について」。数学の解説。20：1-41。土井：10.1016/S0723-0869(02)80027-5。

• 「接線束」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Wolfram MathWorld: 接線バンドル
• PlanetMath: 接線バンドル