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力学系の数学分野では、アトラクターとは、システムのさまざまな初期条件に対してシステムが進化する傾向のある状態の集合である[ 2 ]。アトラクター値に十分近づいたシステムの値は、わずかに乱されてもその値に近いままである。
有限次元システムでは、変化する変数はn次元ベクトルとして代数的に表現できます。アトラクターはn次元空間内の領域です。物理システムでは、n次元は例えば、1つまたは複数の物理的実体のそれぞれに対応する2つまたは3つの位置座標である場合があります。経済システムでは、インフレ率や失業率などの個別の変数である場合があります。
変化する変数が2次元または3次元の場合、動的プロセスの吸引子は2次元または3次元で幾何学的に表現できます（たとえば、右に示した3次元の場合のように）。吸引子は、点、有限個の点の集合、曲線、多様体、あるいはストレンジ吸引子として知られるフラクタル構造を持つ複雑な集合である場合もあります（ストレンジ吸引子については後述）。変数がスカラーの場合、吸引子は実数直線の部分集合です。カオス的力学系の吸引子を記述することは、カオス理論の成果の1つです。
アトラクター内の力学系の軌跡は、時間的に順方向にアトラクター上に留まること以外に特別な制約を満たす必要はありません。軌跡は周期的またはカオス的である可能性があります。点の集合が周期的またはカオス的であっても、近傍の流れがその集合から離れる方向であれば、その集合はアトラクターではなく、リペラー（またはリペラー）と呼ばれます。
動的システムは一般的に、1つ以上の微分方程式または差分方程式によって記述されます。与えられた動的システムの方程式は、任意の短い期間におけるそのシステムの挙動を規定します。システムのより長い期間における挙動を決定するには、多くの場合、解析的手法または反復法（多くの場合、コンピュータの助けを借りて）によって方程式を積分する必要があります。
物理世界の力学系は、散逸系から生じる傾向があります。何らかの駆動力がなければ、運動は停止します。（散逸は、内部摩擦、熱力学的損失、物質の損失など、多くの原因から生じます。）散逸と駆動力はバランスを取り、初期の過渡現象を消滅させ、システムを典型的な挙動に落ち着かせます。力学系の位相空間のうち、典型的な挙動に対応する部分集合をアトラクター、または吸引領域、あるいはアトラクターと呼ばれます。
不変集合と極限集合は、アトラクターの概念に似ています。不変集合とは、ダイナミクスの下でそれ自身に進化する集合です。[ 3 ]アトラクターは不変集合を含む場合があります。極限集合とは、時間が無限に近づくにつれて、極限集合（つまり、集合の各点）に任意に近づくような初期状態が存在する点の集合です。アトラクターは極限集合ですが、すべての極限集合がアトラクターであるとは限りません。システムのいくつかの点が極限集合に収束することは可能ですが、極限集合からわずかに外れた別の点が外れて、極限集合の近傍に二度と戻らない場合があります。
例えば、減衰振り子には、最小高さの点x 0と最大高さの点x 1という 2 つの不変点があります。点x 0は軌跡が収束する極限集合でもありますが、点x 1は極限集合ではありません。空気抵抗による散逸のため、点x 0はアトラクターでもあります。散逸がなければ、x 0 はアトラクターにはなりません。アリストテレスは、物体は押されている間だけ動くと考えていましたが、これは散逸アトラクターの初期の定式化と言えます。
アトラクターの中にはカオス的なものもあることが知られており（ストレンジアトラクターを参照）、その場合、アトラクターの任意の2つの異なる点の進化は指数関数的に分岐する軌跡をもたらし、システムにわずかなノイズが存在するだけでも予測を複雑にする。[ 4 ]
させて時間を表し、システムのダイナミクスを指定する関数である。つまり、は、システムの初期状態を表す次元位相空間、次にそして、正の値の場合、これは、この状態が進化した結果です。時間の単位。例えば、システムが1次元の自由粒子の進化を記述する場合、位相空間は平面になります。座標付き、 どこは粒子の位置です。速度は、、進化は次のように表される。
アトラクターは部分集合である以下の3つの条件によって特徴付けられる位相空間について：
吸引領域には開集合が含まれるため十分に近いすべての点に惹かれるアトラクターの定義では位相空間上の計量を用いるが、結果として得られる概念は通常、位相空間のトポロジーのみに依存する。一般的にはユークリッドノルムが用いられる。
アトラクターの定義は文献に数多く存在する。例えば、アトラクターは正の測度を持つ必要がある（点がアトラクターになるのを防ぐ）と主張する著者もいれば、その要件を緩和する著者もいる。近隣地域である。[ 5 ]
アトラクターは、力学系の位相空間の一部または部分集合です。1960年代までは、アトラクターは、点、線、曲面、3次元空間の単純な領域など、位相空間の単純な幾何学的部分集合であると考えられていました。位相的にワイルドな集合など、単純な幾何学的部分集合として分類できないより複雑なアトラクターは当時知られていましたが、脆弱な異常であると考えられていました。スティーブン・スメイルは、彼のホースシューマップが堅牢であり、そのアトラクターがカントール集合の構造を持っていることを示すことができました。
単純なアトラクターの例として、固定点とリミットサイクルが挙げられます。アトラクターは他にも多くの幾何学的形状（位相空間の部分集合）をとることができます。しかし、これらの集合（またはその内部の動き）が、基本的な幾何学的オブジェクト（直線、曲面、球、トーラス、多様体など）の単純な組み合わせ（交差や和集合など）として容易に記述できない場合、そのアトラクターはストレンジアトラクターと呼ばれます。
関数または変換の固定点とは、関数または変換によって自身に写像される点のことです。動的システムの進化を一連の変換とみなすと、各変換の下で固定される点が存在する場合と存在しない場合があります。動的システムが進化する最終状態は、そのシステムの進化関数の吸引固定点に対応します。例えば、減衰振り子の中心底位置、グラスの中で揺れる水の水平で平らな水面線、転がるビー玉が入ったボウルの底の中心などです。しかし、動的システムの固定点は必ずしもシステムの吸引点ではありません。例えば、転がるビー玉が入ったボウルを逆さまにしてビー玉をボウルの上にバランスよく置いた場合、ボウルの中心底（現在は上）は固定状態ですが、吸引点ではありません。これは、安定平衡と不安定平衡の違いに相当します。逆さにしたボウル（丘）の上にビー玉を置いた場合、ボウル（丘）の頂上にある点は固定点（平衡点）ではあるが、アトラクター（不安定な平衡点）ではない。
さらに、少なくとも 1 つの固定点を持つ物理的な動的システムは、スティクション、摩擦、表面粗さ、変形(弾性および塑性)、さらには量子力学の非線形ダイナミクスを含む物理世界のダイナミクスの現実により、必ず複数の固定点とアトラクターを持ちます。[ 6 ]逆さにしたボウルの上にビー玉がある場合、ボウルが完全に半球状に見えても、ビー玉の球形も、顕微鏡で調べると、どちらもはるかに複雑な表面であり、接触中に形状が変化したり変形したりします。あらゆる物理的な表面には、複数のピーク、谷、鞍点、尾根、峡谷、平野からなる粗い地形があることがわかります。[ 7 ]この表面地形 (およびこの微細な地形上を転がる同様に粗いビー玉の動的システム) には、静止点または固定点と見なされる点が多数あり、そのうちのいくつかはアトラクターに分類されます。
離散時間システムでは、アトラクターは、順番に訪れる有限個の点の集合として表されます。これらの各点は周期点と呼ばれます。これはロジスティック写像によって示され、その特定のパラメータ値に応じて、1点、2点、 2n点、3点、3×2n点、4点、5点、または任意の正の整数個の点からなるアトラクターを持つことができます。
リミットサイクルとは、孤立した連続力学系の周期軌道のことです。これは周期的なアトラクターに関係します。例としては、振り子時計の揺れや、安静時の心拍などがあります。理想振り子のリミットサイクルは、軌道が孤立していないため、リミットサイクルアトラクターの例ではありません。理想振り子の位相空間では、周期軌道の任意の点の近くに、別の周期軌道に属する別の点が存在するため、前の軌道は吸引力を持ちません。摩擦のある物理的な振り子の場合、静止状態は固定点アトラクターになります。時計の振り子との違いは、時計の振り子では、脱進機機構によってエネルギーが注入され、周期が維持される点です。
リミットサイクルの状態を通るシステムの周期軌道には、複数の周波数が存在する場合があります。たとえば、物理学では、1つの周波数が惑星が恒星を周回する速度を決定し、2番目の周波数が2つの天体間の距離の振動を表す場合があります。これらの周波数のうち2つが無理数（つまり、互いに不整合）を形成する場合、軌道は閉じなくなり、リミットサイクルはリミットトーラスになります。この種のアトラクターは、 N t個の不整合な周波数がある場合、N tトーラスと呼ばれます。たとえば、2トーラスは次のようになります。
このアトラクターに対応する時系列は準周期系列です。これは、周波数が互いに異なるN t個の周期関数（必ずしも正弦波とは限らない）を離散的にサンプリングした和です。このような時系列は厳密な周期性を持ちませんが、そのパワースペクトルは依然として鋭い直線のみで構成されます。
アトラクターは、フラクタル構造を持つ場合、つまりハウスドルフ次元が整数でない場合、ストレンジと呼ばれます。これは、その上のダイナミクスがカオス的である場合によく当てはまりますが、ストレンジ非カオスアトラクターも存在します。ストレンジアトラクターがカオス的で、初期条件に敏感に依存する場合、アトラクター上の任意の2つの任意の近い代替初期点は、さまざまな反復回数の後、任意の遠く離れた点（アトラクターの制約内）につながり、他のさまざまな反復回数の後、任意の近い点につながります。したがって、カオスアトラクターを持つ動的システムは、局所的に不安定ですが、大域的に安定しています。いくつかのシーケンスがアトラクターに入ると、近くの点は互いに離れますが、アトラクターから離れることはありません。[ 8 ]
ストレンジアトラクターという用語は、流体の流れを記述するシステムの分岐の連続から生じるアトラクターを説明するために、David RuelleとFloris Takensによって造語されました。 [ 9 ]ストレンジアトラクターは多くの場合、いくつかの方向で微分可能ですが、カントールダストのようなものもあり、そのため微分できません。ストレンジアトラクターはノイズが存在する場合にも見つかることがあり、その場合、Sinai–Ruelle–Bowen 型の不変ランダム確率測度を支持することが示されることがあります。[ 10 ]
ストレンジアトラクターの例としては、ダブルスクロールアトラクター、エノンアトラクター、レスラーアトラクター、ローレンツアトラクターなどが挙げられる。
動的システムの挙動は、そのパラメータや初期条件の選択によって影響を受ける可能性がある。ロジスティック写像は次のように定義される。は、1つのパラメータに依存するシステムのよく研究された例である。さまざまな値に対するそのアトラクター図に示されている。小さい場合アトラクターは単一の固定点であり、分岐図では1本の線として示されます。複数の値魅力的になる可能性がある:固定点は2つに分裂し、周期倍分岐中に周期2のサイクルを生成する。が増加すると、周期倍加カスケードによってカオスが発生し、アトラクターは無限個の点から構成される。周期3の軌道が見つかる。シャーコフスキーの定理によれば、この系には任意の自然周期の軌道が存在する。したがって、一つの運動方程式でも、パラメータの選択によって大きく異なるアトラクターを持つ可能性がある。
アトラクターの吸引領域とは、位相空間の領域であり、その領域内の任意の点（任意の初期条件）が漸近的にアトラクターに反復されるような反復が定義されます。安定な線形システムの場合、位相空間内のすべての点が吸引領域内にあります。しかし、非線形システムでは、一部の点が直接または漸近的に無限大に写像される場合もあれば、他の点が異なる吸引領域にあり、漸近的に別のアトラクターに写像される場合もあります。また、他の初期条件は吸引領域内にあったり、吸引領域外の点やサイクルに直接写像される場合もあります。[ 11 ]
単変量線形同次差分方程式無限大に発散する0以外のすべての初期点からの場合、アトラクターは存在せず、したがって吸引領域も存在しません。しかし、数直線上のすべての点は漸近的に（0の場合は直接的に）0に写像されます。0は吸引点であり、数直線全体が吸引領域です。
同様に、動的ベクトルにおける線形行列差分方程式均質な形態正方行列の観点から動的ベクトルの最大固有値が無限大に発散する場合、動的ベクトルのすべての要素が無限大に発散します。絶対値が 1 より大きい場合、アトラクターも吸引領域もありません。しかし、最大固有値の大きさが 1 未満の場合、すべての初期ベクトルは漸近的にゼロベクトル（アトラクター）に収束します。潜在的な初期ベクトルの次元空間は吸引領域である。
同様の特徴は線形微分方程式にも当てはまる。スカラー方程式すべての初期値の原因ゼロを除いて無限大に発散する場合しかし、0 の値でアトラクターに収束するには数直線全体が0の吸引領域となる。そして行列システムは行列の固有値のいずれかがゼロのベクトルを除くすべての初期点からの発散を示すは正ですが、すべての固有値が負の場合、ゼロのベクトルは吸引領域が位相空間全体となる吸引子になります。
非線形方程式やシステムは、線形システムよりも多様な挙動を示すことがあります。その一例として、非線形式の根を求めるニュートン法が挙げられます。式が複数の実根を持つ場合、反復アルゴリズムの初期点によっては漸近的にいずれかの根に収束するものもあれば、別の根に収束するものもあります。式の根の吸引領域は一般的に単純ではありません。つまり、ある根に最も近い点がすべてそこにマッピングされ、近傍の点からなる吸引領域が形成されるという単純なものではありません。吸引領域は無限に存在し、任意に小さくなることもあります。例えば、[ 12 ]では、関数について、次のような初期条件は、連続する吸引領域内に存在する。
ニュートン法は、複素関数の根を求める際にも適用できます。各根は複素平面上に吸引領域を持ち、これらの吸引領域は図のようにマッピングできます。ご覧のとおり、特定の根に対する吸引領域は、多くの分離した領域を持つ場合があります。多くの複素関数において、吸引領域の境界はフラクタルです。
放物型偏微分方程式は、有限次元のアトラクターを持つ場合がある。方程式の拡散項は高周波を減衰させ、場合によってはグローバルアトラクターにつながる。ギンツブルグ・ランダウ方程式、クラモト・シバシンスキー方程式、および2次元強制ナビエ・ストークス方程式は、いずれも有限次元のグローバルアトラクターを持つことが知られている。
周期境界条件を持つ3次元非圧縮性ナビエ・ストークス方程式の場合、グローバルアトラクターが存在するならば、このアトラクターは有限次元となる。[ 13 ]
![{\displaystyle [2.4,4]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05215d196954faf827dd01206860ae00b1291ee8)
{{cite journal}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)